Teorema lui De Gua

Teorema lui De Gua  este una dintre generalizările teoremei lui Pitagora la dimensiuni superioare.

Să sculptăm o piramidă din cub tăind unul dintre vârfurile sale cu un plan . Atunci următoarea relație este adevărată pentru o astfel de piramidă: pătratul ariei feței opus vârfului cubului (partea de sus în unghi drept) este egal cu suma pătratelor suprafețelor fețelor adiacente până la acest colț (vezi figura).

Cu alte cuvinte, dacă înlocuim un unghi drept plat cu unul tridimensional, segmente cu fețe și un triunghi cu piramidă, atunci teorema va fi din nou adevărată, dar nu pentru lungimile laturilor, ci pentru zone. a feţelor piramidei rezultate.

Există o generalizare a acestei teoreme [1] pentru spațiu n -dimensional și n - simplexuri ortogonale : suma pătratelor tuturor volumelor fețelor (n - 1)-dimensionale adiacente colțului ortogonal al n -simplexului este egală cu pătratul volumului feței ( n − 1)-dimensional opus unghiului ortogonal. Un unghi ortogonal este unghiul unui n -simplex, toate fețele adiacente ( n - 1)-dimensionale sunt ortogonale pe perechi. Teorema lui De Gua este un caz special al acestei teoreme pentru 3-simplici (adică tetraedre), iar teorema lui Pitagora este pentru 2-simplici (triunghiuri plane obișnuite).

Dovezi

Dovada #1

Să exprimăm muchiile DA , DB și DC ale tetraedrului dreptunghiular în termeni de vectori de coordonate unitare și [1] :

unde sunt lungimile laturilor corespunzătoare ale tetraedrului.

Pentru vectorii AB și AC avem:

Deoarece aria unui triunghi este jumătate din produsul încrucișat al celor două laturi ale sale,

Punând la pătrat ultima expresie și deschizând parantezele, ținând cont de faptul că produsele vectoriale perechi ale vectorilor de coordonate unitare sunt egale cu unu, obținem

Zonele fețelor ABD , ACD și BCD sunt egale

Unde

Dovada #2

Se știe că aria de proiecție a unei figuri plate pe un anumit plan este egală cu aria acestei figuri înmulțită cu cosinusul unghiului diedric dintre figură și planul de proiecție [2] . Proiecțiile triunghiului ABC pe planurile de coordonate sunt triunghiurile ABD , ACD și BCD . De aceea

unde sunt cosinusurile de direcție ale normalei la planul ABC .

După proprietatea cosinusurilor de direcție

Unde

și

Dovada #3

Teorema poate fi demonstrată pe baza formulei lui Heron pentru aria unui triunghi și a teoremei lui Pitagora.

Istorie

În 1783, teorema a fost prezentată Academiei de Științe din Paris de către matematicianul francez Jean-Paul de Gua , dar anterior a fost cunoscută de René Descartes [3] înainte de el de Fulgaber care probabil a descoperit-o pentru prima dată în 1622 [4] ] . Într-o formă mai generală, teorema a fost formulată de Charles Tinsault în raportul Academiei de Științe din Paris din 1774 [4] .

Note

  1. ↑ 1 2 Sergio A. Alvarez Notă despre o teoremă lui Pitagora n-dimensională Arhivată la 2 octombrie 2012 la Wayback Machine .
  2. ↑ Osgood, WF și Graustein, W. C. Plane and Solid Analytic Geometry . New York: Macmillan, Th. 2, p. 517, 1930.
  3. ↑ Descartes, R. Œuvres inédites de Descartes . Paris, 1859.
  4. ↑ 1 2 Altshiller-Court, N. Modern Pure Solid Geometry. New York: Chelsea, pp. 92 și 300, 1979.

Link -uri