Poliedru

Un poliedru sau poliedru este de obicei o suprafață închisă formată din poligoane , dar uneori se mai numește și un corp delimitat de această suprafață.

Definiție

Poliedru , mai precis un poliedru tridimensional  - o mulțime de un număr finit de poligoane plate în spațiul euclidian tridimensional , astfel încât:

1. fiecare latură a oricăruia dintre poligoane este în același timp latura celeilalte (dar numai una), numită adiacentă primului (de-a lungul acestei laturi);
2. conectivitate : din oricare dintre poligoanele care alcătuiesc poliedrul, se poate ajunge la oricare dintre ele mergând la cel adiacent acestuia, iar de la acesta, la rândul său, la cel adiacent acestuia etc.

Aceste poligoane se numesc fețe , laturile lor se numesc muchii , iar vârfurile lor se numesc vârfuri ale poliedrului [1] .

Cel mai simplu exemplu de politop este un politop convex, adică limita unei astfel de submulțimi limitate a spațiului euclidian, care este intersecția unui număr finit de semi-spații.

Opțiuni de semnificație

Definiția dată a unui poliedru capătă o semnificație diferită în funcție de modul în care este definit poligonul , pentru care sunt posibile următoarele două opțiuni:

• Linii întrerupte plate închise (chiar dacă se auto-intersectează);
• Părți ale planului delimitate prin linii întrerupte.

În primul caz, obținem conceptul de poliedru stelar . În al doilea, un poliedru este o suprafață compusă din piese poligonale. Dacă această suprafață nu se intersectează, atunci este întreaga suprafață a unui corp geometric, care se mai numește și poliedru. De aici apare a treia definiție a poliedrului, ca însuși corpul geometric.

Definiții înrudite

Un poliedru cu n fețe se numește n -edru. În special, un tetraedru este un tetraedru, un dodecaedru este un dodecaedru, un icosaedru este unul cu douăzeci de laturi etc.

Poliedru convex

Un poliedru se numește convex dacă este situat pe o parte a planului fiecăreia dintre fețele sale.

Pentru un poliedru convex , teorema lui Euler B + G − P = 2 este adevărată, unde B este numărul de vârfuri ale poliedrului, G este numărul de fețe, P este numărul de muchii.

Variații și generalizări

• Conceptul de poliedru este generalizat inductiv ca dimensiune; o astfel de generalizare este de obicei numită politop n -dimensional .
• Un poliedru infinit admite un număr finit de fețe și muchii nemărginite în definiția sa.
• Poliedre curbilinie permit muchii și fețe curbilinii.
• Poliedru sferic .

Vezi și

• Poliedru dublu
• Poliedru flexibil
• Combinatoria poliedrelor
• poliedrul Johnson
• Poliedru de permutare
• Piramidă
• Polytop
• Poliedru semiregulat
• poliedru regulat
• Prismă
• Teorema lui Aleksandrov asupra poliedrelor convexe
• Teorema politopului lui Cauchy
• Teorema lui Lindelöf asupra unui poliedru cu arie minimă pentru un volum dat
• Teorema poliedrelor lui Minkowski

Note

1. ↑ Selivanov D. F. ,. Corp geometric // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron  : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.

Literatură

• Timorin V.A. Combinatoria poliedrelor convexe . - MTSNMO , 2002. - 16 p. — ISBN 5-94057-024-0 .
• Laszlo Fejes Toth . Aranjamente pe plan, pe sferă și în spațiu = Lagerungen in der Ebene auf der Kugel und im Raum / transl. cu el. N. M. Makarova, ed. I. M. Yagloma . - M .: Editura de stat de literatură fizică și matematică , 1958.
• Wenninger, Magnus . modele de poliedre. - M .: Mir , 1974. - S. 236.
• Gonchar V.V. Modele de poliedre . - M .: Akim, 1997. - S. 64. - ISBN 5-85399-032-2 .
  • Reeditare: Rostov-pe-Don: Phoenix, 2010, ISBN 978-5-222-17061-8 .