Vârf (geometrie)

Un vârf este un punct în care converg două curbe , două linii drepte sau două muchii . Din această definiție rezultă că punctul în care două raze converg, formând un unghi , este un vârf, precum și punctele de colț ale poligoanelor și poliedrelor [1] .

Definiție

Colț de sus

Vârful unui unghi este punctul de unde provin două raze ; unde cele două segmente converg; unde două linii se intersectează; unde orice combinație de raze, segmente de linie și linii care formează două „laturi” (rectilinii) care converg într-un punct [2] .

Vârful poliedrului unui poliedru

Un vârf este un punct de colț al unui poligon sau poliedru (de orice dimensiune), cu alte cuvinte, fețele sale 0-dimensionale .

Într-un poligon, se spune că un vârf este „ convex ” dacă unghiul interior al poligonului este mai mic de π radiani (180° reprezintă două unghiuri drepte ). În caz contrar, vârful se numește „concav”.

Mai general, un vârf al unui politop este convex dacă intersecția politopului cu o sferă suficient de mică care are vârful ca centru este o figură convexă; în caz contrar, vârful este concav.

Varfurile poliedrului sunt conectate cu varfurile grafului , deoarece poliedrul este un graf ale carui varfuri corespund varfurilor politopului [3] , si prin urmare, graficul poliedrului poate fi considerat ca un simplic unidimensional. complex , ale cărui vârfuri sunt vârfurile graficului. Cu toate acestea, în teoria grafurilor, vârfurile pot avea mai puțin de două muchii incidente , ceea ce de obicei nu este permis pentru vârfurile geometrice. Există, de asemenea, o legătură între vârfurile geometrice și vârfurile curbei , punctele extreme ale curburii sale - vârfurile poligonului sunt într-un sens puncte de curbură infinită, iar dacă poligonul este aproximat printr-o curbă netedă, punctele de curbură extremă se vor afla în apropierea vârfurilor poligonului [4] . Cu toate acestea, aproximarea poligonului cu o curbă netedă oferă vârfuri suplimentare în punctele de curbură minimă.

Vârfurile plăcilor plane

Vârful unei plăci plane ( tiling ) este punctul în care trei sau mai multe plăci ale plăcii [5] se întâlnesc , dar nu numai: plăcile plăcilor sunt și poligoane, iar vârfurile plăcii sunt vârfurile acestora. gresie. Mai general, un tiling poate fi privit ca un fel de complex CW topologic . Vârfurile altor tipuri de complexe, cum ar fi complexele simpliale , sunt fețe zero-dimensionale.

Summit principal

Vârful unui poligon simplu este vârful principal dacă diagonala intersectează limitele numai la și . Există două tipuri de vârfuri principale: „urechi” și „guri” (vezi mai jos) [6] . $x_{i}$ $P$ $[x_{i-1},x_{i+1}]$ $P$ $x_{i-1)$ $x_{i+1}$

„Urechi”

Vârful principal al unui poligon simplu se numește „ureche” dacă diagonala se află în întregime în . (vezi și poligon convex ) $x_{i}$ $P$ $[x_{i-1},x_{i+1}]$ $P$

„Guri”

Vârful principal al unui poligon simplu se numește „gura” dacă diagonala se află în exterior . $x_{i}$ $P$ $[x_{i-1},x_{i+1}]$ $P$

Numărul de vârfuri ale unui poliedru

Orice suprafață a unui poliedru convex tridimensional are caracteristica lui Euler :

V-E+F=2,

unde este numărul de vârfuri, este numărul de muchii și este numărul de fețe. Această egalitate este cunoscută sub numele de ecuația lui Euler . De exemplu, un cub are 12 muchii și 6 fețe și, prin urmare, - 8 vârfuri: . $V$ $E$ $F$ $8-12+6=2$

Noduri în grafica computerizată

În grafica computerizată , obiectele sunt adesea reprezentate ca poliedre triangulate , în care vârfurile obiectului sunt asociate nu numai cu trei coordonate spațiale , ci și cu alte informații grafice necesare pentru construirea corectă a imaginii obiectului, cum ar fi culoarea, reflectivitate , textura , normale de vârf [7] . Aceste proprietăți sunt folosite la randarea cu vertex shader , parte a procesorului vertex

Note

^ Weisstein , Eric W. Vertex (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
↑ Heath, 1956 .
↑ McMullen, Schulte, 2002 , p. 29.
↑ Bobenko, Schröder, Sullivan, Ziegler, 2008 .
↑ Jaric, 1989 , p. 9.
↑ Devadoss, O'Rourke, 2011 .
↑ Christen, 2009 .

Literatură

Thomas L. Heath. Cele treisprezece cărți ale elementelor lui Euclid. — Ed. a II-a. New York: Dover Publications, 1956 (Traducere autentică a Elementelor lui Euclid , cu cercetări istorice extinse și comentarii detaliate asupra textului cărții.)
Lanru Jing, Ove Stephansson. Fundamentele metodelor cu elemente discrete pentru ingineria rocilor: teorie și aplicații. - 2007. - ISBN 978-0-444-82937-5 .
Peter McMullen, Egon Schulte. Politopuri regulate abstracte . - Cambridge University Press, 2002. - ISBN 0-521-81496-0 .
Introducere în matematica cvasicristalelor / MV Jaric. - Academic Press, 1989. - Vol. 2. - (Aperiodicitate și ordine). — ISBN 0-12-040602-0 .
Alexander I. Bobenko, Peter Schröder, John M. Sullivan, Günter M. Ziegler Geometrie diferențială discretă. - Birkhäuser Verlag AG, 2008. - ISBN 978-3-7643-8620-7 .
Satyan Devadoss, Joseph O'Rourke. Geometrie discretă și computațională . - Princeton University Press , 2011. - ISBN 978-0-691-14553-2 .
Martin Christen. Tutoriale Clockworkcoders: Atribute Vertex. — Grupul Khronos , 2009.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Polygon Vertex (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Polyhedron Vertex (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Principal Vertex (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .