Teorema Gnomon

Teorema gnomonului [1] este o teoremă geometrică . Ea afirmă că două paralelograme dintr-un gnomon au aceeași zonă.

Formulare

Se dă un paralelogram , se marchează un punct pe diagonală . O linie dreaptă, paralelă și care trece prin punctul , intersectează latura în punctul , și latura în punctul . O linie dreaptă, paralelă și care trece prin punctul , intersectează latura în punctul , și latura în punctul . Teorema gnomonului afirmă că paralelogramele și au aria egală [2] . $ABCD$ ${\textstyle AC}$ ${\textstyle P}$ ${\textstyle AB}$ ${\textstyle P}$ ${\textstyle AD}$ ${\textstyle I}$ ${\textstyle B.C.}$ ${\textstyle F}$ ${\textstyle B.C.}$ ${\textstyle P}$ ${\textstyle AB}$ ${\textstyle H}$ ${\textstyle CD}$ ${\textstyle G}$ ${\textstyle HBFP}$ ${\textstyle ipgd}$

Gnomon este numele unei figuri în formă de L, în acest exemplu figura este un gnomon . Paralelogramele de arie egală, conform teoremei, sunt numite „adăugiri” ( complemente în engleză ) ale gnomonului. ${\textstyle ADGPFB}$

Dovada

Pentru a demonstra teorema, luăm în considerare aria celui mai mare paralelogram ( ) și două paralelograme interne, în interiorul cărora există o diagonală (acestea sunt paralelograme și ). În primul rând, prin proprietatea unui paralelogram, diagonalele împart paralelogramul în două triunghiuri de arie egală. În al doilea rând, diferența dintre aria celui mai mare paralelogram și cele două paralelograme, în interiorul cărora se află diagonala, este aria a două complemente ale gnomonului (în figură, complementele gnomonului sunt evidențiate cu verde). și roșu) [3] . Asta implică: $ABCD$ $AC$ $AIPH$ $PGCF$

$|IPGD|={\frac {|ABCD|}{2}}-{\frac {|AHPI|}{2}}-{\frac {|PFCG|}{2}}=|HBFP|$

Afirmații și generalizări înrudite

Teorema gnomonului este folosită pentru a construi un nou paralelogram sau dreptunghi de suprafață egală folosind o busolă și o linie dreaptă . De asemenea, vă permite să oferiți o interpretare geometrică a diviziunii, ceea ce vă permite să traduceți problemele geometrice în cele algebrice. Deci, dacă sunt date lungimile a două segmente, este posibil să se construiască un al treilea egal cu câtul segmentelor date. O altă modalitate de a aplica teorema este împărțirea unui segment la un punct în exact același raport cu care este împărțit segmentul dat (vezi desenul) [2] .

O afirmație similară poate fi făcută în spațiu. În acest caz, pe diagonala spațială a paralelipipedului este dat un punct și în loc de două drepte paralele apar trei plane. Trei avioane împart cutia în opt cutii mai mici, două avioane sunt adiacente diagonalei. Trei paralelipipede joacă aici rolul de adăugiri, au un volum egal [4] .

Istorie

Teorema gnomonului este descrisă în „ Principii ” de Euclid (aproximativ 300 î.Hr.), cu ajutorul ei și alte teoreme sunt demonstrate în carte. Teorema este descrisă la numărul 43 în prima carte a Începuturilor, iar Euclid nu a folosit termenul „gnomon” pentru a descrie desenul.Ea va fi introdusă în a doua carte a Începuturilor. Cu ajutorul gnomonului, Euclid demonstrează alte teoreme, de exemplu, nr. 6 din cartea a II-a, nr. 29 din cartea a VI-a și teoremele 1, 2, 3 și 4 din cartea a XIII -a [3] [5] [6] .

Literatură

Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli. Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie . — Springer-Verlag, 2016-09-02. — 219 p. — ISBN 9783662530344 .
GEORGE W. EVANS. UNELE DIN ALGEBRA LUI EUCLID // Profesorul de matematică. - 1927. - T. 20 , nr. 3 . — S. 127–141 . — ISSN 0025-5769 .
William J. Hazard. Generalizări ale Teoremei lui Pitagora și Teorema lui Euclid a Gnomonului // The American Mathematical Monthly. - 1929. - T. 36 , nr. 1 . — S. 32–34 . — ISSN 0002-9890 . - doi : 10.2307/2300175 .
Vittorio Capecchi, Massimo Buscema, Pierluigi Contucci, Bruno D'Amore. Aplicații ale matematicii în modele, rețele neuronale artificiale și arte: matematică și societate . — Springer Science & Business Media, 2010-08-03. — 616 p. — ISBN 9789048185818 .

Link -uri

David E. Joyce Teorema Gnomon mathcs.clarku.edu
David E. Joyce Definiția gnomonului în Elementele lui Euclid mathcs.clarku.edu

Note

↑ Zeiten I. G. Istoria matematicii în antichitate și în Evul Mediu . — Directmedia, 22-12-2014. — 228 p. — ISBN 9785445815303 .
↑ 1 2 Lorenz Halbeisen, Norbert Hungerbühler, Juan Läuchli. Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie . — Springer-Verlag, 2016-09-02. — 219 p. — ISBN 9783662530344 .
↑ 1 2 Roger Herz-Fischler. O istorie matematică a numărului de aur . — Courier Corporation, 2013-12-31. — 228 p. — ISBN 9780486152325 .
↑ William J. Hazard. Generalizări ale Teoremei lui Pitagora și Teorema lui Euclid a Gnomonului // The American Mathematical Monthly. - 1929. - T. 36 , nr. 1 . — S. 32–34 . — ISSN 0002-9890 . - doi : 10.2307/2300175 . Arhivat din original pe 28 noiembrie 2018.
↑ Vittorio Capecchi, Massimo Buscema, Pierluigi Contucci, Bruno D'Amore. Aplicații ale matematicii în modele, rețele neuronale artificiale și arte: matematică și societate . — Springer Science & Business Media, 2010-08-03. — 616 p. — ISBN 9789048185818 .
↑ GEORGE W. EVANS. UNELE DIN ALGEBRA LUI EUCLID // Profesorul de matematică. - 1927. - T. 20 , nr. 3 . — S. 127–141 . — ISSN 0025-5769 . Arhivat din original pe 26 ianuarie 2019.