Paralelogram

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 12 februarie 2021; verificările necesită 17 modificări .

Paralelogramul ( altă greacă παραλληλόγραμμον ← παράλληλος  „paralel” + γραμμή  „linie”) este un patrulater , în care laturile opuse sunt paralele perechi, adică se află pe drepte paralele . (Vezi alte definiții )

Cazurile speciale ale unui paralelogram sunt un dreptunghi , un pătrat și un romb .

Proprietăți

• Laturile opuse ale unui paralelogram sunt egale.
• Unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt egale.
• Suma unghiurilor adiacente unei laturi este de 180° (prin proprietatea dreptelor paralele).
• Diagonalele unui paralelogram se intersectează, iar punctul de intersecție le traversează: .
• Punctul de intersecție al diagonalelor este centrul de simetrie al paralelogramului.
• Un paralelogram este împărțit de o diagonală în două triunghiuri egale .
• Liniile de mijloc ale unui paralelogram se intersectează în punctul de intersecție al diagonalelor sale. În acest moment, cele două diagonale ale sale și cele două linii mediane se bisectează.
• Identitatea paralelogramului: suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu de două ori suma pătratelor celor două laturi adiacente ale acestuia: fie

 - lungimea laterală ,  - lungimea laterală , și  sunt lungimile diagonalelor; apoi Identitatea paralelogramului este o consecință simplă a formulei lui Euler pentru un patrulater arbitrar : de patru ori pătratul distanței dintre punctele medii ale diagonalelor este egal cu suma pătratelor laturilor patrulaterului minus suma pătratelor diagonalelor sale. . Un paralelogram are laturile opuse egale, iar distanța dintre punctele medii ale diagonalelor este zero.

• O transformare afină duce întotdeauna de la un paralelogram la un paralelogram. Pentru orice paralelogram, există o transformare afină care îl mapează la un pătrat.

Caracteristici paralelograme

Patrulaterul ABCD este un paralelogram dacă una dintre următoarele condiții este îndeplinită (în acest caz, toate celelalte sunt de asemenea îndeplinite):

1. Un patrulater fără autointersecții are două laturi opuse care sunt simultan egale și paralele: .
2. Toate unghiurile opuse sunt egale în perechi: .
3. Într-un patrulater fără auto-intersecții, toate laturile opuse sunt egale pe perechi: .
4. Toate laturile opuse sunt paralele pe perechi: .
5. Diagonalele se împart în jumătate în punctul lor de intersecție: .
6. Suma distanțelor dintre punctele medii ale laturilor opuse ale unui patrulater convex este egală cu jumătatea perimetrului acestuia.
7. Suma pătratelor diagonalelor este egală cu suma pătratelor laturilor unui patrulater convex: .

Aria unui paralelogram

Iată formulele care sunt caracteristice unui paralelogram. Vezi și formulele pentru aria patrulaterelor arbitrare .

Aria unui paralelogram este egală cu produsul dintre baza și înălțimea acestuia:

, unde  - latura,  - înălțimea trasă în această parte.

Aria unui paralelogram este egală cu produsul laturilor sale și sinusul unghiului dintre ele:

unde și  sunt laturile și a  este unghiul dintre laturile și .

De asemenea, aria unui paralelogram poate fi exprimată în termeni de laturi și lungime a oricăreia dintre diagonale folosind formula Heron ca sumă a ariilor a două triunghiuri egale alăturate:

Unde

Vezi și

• Paralelipiped
• Dreptunghi
• Romboid
• Paralelogramul lui Varignon
• Teorema lui Tebo 1

Note

Poligoane
După numărul de laturi	Monogon Bigon Triunghi Patrulater Pentagon Hexagon Heptagon Octogon pentagon Decagon Hendecagon Dodecagonul Treisprezece tetradecagon Pentagon Hexagon Şaptesprezece octogon Nouăsprezece agon Dodecagonul Douăzeci și una de părți Douăzeci și doi de unghi Twentytrigon Douăzeci și patru de unghi Douăzeci de pentagon Douăzeci de octogon Tridecagon Thirty-Biagon Patruzeci de pătrați Patruzeci de bicagon penticostal penticostal Hexagon Șaizeci și patru Heptagon Octogon Nonagon [ en Millagon Zece-mii de gon Suta de mii Milliogon infinit
corect	convex Triunghi Pătrat Pentagon Hexagon Heptagon Octogon pentagon tetradecagon Şaptesprezece 257-gon 65537-gon 4294967295-gon stelat Pentagramă Hexagrama Heptagramă Octagrama ( Steaua lui Lakshmi ) Eneagrama Decagram Endecagramă Dodecagramă
triunghiuri	Isoscel Dreapta Dreptunghiular
Cadrilatere	Inscris descris Nedescris Paralelogram Antiparalelogram Dreptunghi dreptunghi auriu Romb Romboid Trapez Deltoid Pătrat pătrat unitar Lambert saccheri
Vezi si	Lista de poligoane Punct aparținând unui poligon Teorema Bolyai-Gervin teorema lui Brahmagupta Teorema Gauss-Wancel Formula de vârf Teorema sumei unghiului poligonului Raportul Bretschneider