Teorema privind mișcarea centrului de masă al sistemului

Teorema privind mișcarea centrului de masă (centrul de inerție) al sistemului este una dintre teoremele dinamicii , o consecință a legilor lui Newton . El susține că accelerația centrului de masă al sistemului nu depinde de forțele interne de interacțiune dintre corpurile sistemului și relaționează această accelerație cu forțele externe care acționează asupra sistemului [1] [2] .

Sistemul la care se face referire în teoremă poate fi orice sistem mecanic, de exemplu, un set de puncte materiale , un corp extins sau un set de corpuri extinse.

Enunțul standard al teoremei

Adesea, când luăm în considerare mișcarea unui sistem, este util să cunoaștem legea mișcării centrului său de masă. În cazul general, această lege, care este conținutul teoremei asupra mișcării centrului de masă, se formulează astfel [1] :

Dovada

Fie sistemul format din puncte materiale cu mase și vectori cu rază . Centrul de masă (centrul de inerție) este [1] [3] un punct geometric al cărui vector rază satisface egalitatea $N$ $m_{i}$ $\vec r_i$ ${\vec R}_{c}$

{\vec {R}}_{c}={\frac {\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{M}}, \qquad \qquad

unde este masa întregului sistem, egală cu $M$ $\sum \limits _{i}m_{i}.$

Diferențiând de două ori în timp, pentru accelerația centrului de masă obținem: ${\vec a}_{c}$

{\vec {a}}_{c}={\frac {\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}}{M}}, \qquad \qquad

unde este accelerația unui punct material cu număr i . ${\vec a}_{i}$

Pentru o analiză suplimentară, împărțim toate forțele care acționează asupra corpurilor sistemului în două tipuri:

externe - forțe care acționează din corpuri care nu sunt incluse în sistemul luat în considerare. Rezultanta forțelor externe care acționează asupra unui punct material cu numărul i , notat cu ; $\vec F_i$
interne - forțe cu care corpurile sistemului însuși interacționează între ele. Forța cu care acționează un punct cu numărul k asupra unui punct cu numărul i se va nota cu . În consecință, forța de impact a punctului i pe punctul k va fi notat cu . Pentru voință ${\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{k,i}}$ $i=k$ ${\vec f}_{{i,k}}=0.$

Folosind notația introdusă, a doua lege a lui Newton pentru fiecare dintre punctele materiale considerate poate fi scrisă sub formă

m_{i}{\vec {a}}_{i}={\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i, k}.\qquad \qquad

Însumând astfel de ecuații pentru tot i , obținem:

\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}+\sum \ limite _{i}\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.\qquad \qquad

Expresia este suma forțelor interne care acționează în sistem. Să luăm acum în considerare că, conform legii a treia a lui Newton, în această sumă fiecare forță corespunde unei forțe astfel încât și, prin urmare, este satisfăcută.Deoarece întreaga sumă este formată din astfel de perechi, suma în sine este egală cu zero. În acest fel, $\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{i,k}}$ ${\vec f}_{{k,i}}$ ${\vec f}_{{i,k}}=-{\vec f}_{{k,i}}$ ${\vec f}_{{i,k}}+{\vec f}_{{k,i}}=0.$

\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.\qquad \ qquad

În plus, notând și substituind expresia rezultată în egalitatea pentru , ajungem la ecuație $\sum \limits _{i}{\vec F}_{i}={\vec F}$ ${\vec a}_{c}$

{\vec {a}}_{c}={\frac {\vec {F}}{M}}\,\,\,

\,\,M{\vec {a}}_{c}={\vec {F}}.\qquad \qquad

Astfel, mișcarea centrului de masă este determinată doar de forțe externe, iar forțele interne nu pot avea nicio influență asupra acestei mișcări. Ultima formulă este expresia matematică a teoremei asupra mișcării centrului de masă al sistemului.

Formularea alternativă a teoremei

Forma formulei finale pentru este exact aceeași cu cea a formulei celei de-a doua legi a lui Newton. Aceasta implică validitatea unei astfel de formulări a teoremei asupra mișcării centrului de masă [1] [3] : ${\vec a}_{c}$

Legea conservării mișcării centrului de masă

În absența forțelor externe și, de asemenea, atunci când suma tuturor forțelor externe este egală cu zero, accelerația centrului de masă este zero și, prin urmare, viteza sa este constantă. Astfel, este adevărată afirmația, care este conținutul legii conservării mișcării centrului de masă:

În special, dacă centrul de masă a fost inițial în repaus, atunci în aceste condiții va continua să fie în repaus.

Din legea conservării mișcării centrului de masă rezultă că cadrul de referință asociat cu centrul de masă al unui sistem închis este inerțial. Utilizarea unor astfel de sisteme de referință în studiul proprietăților mecanice ale sistemelor închise este de preferat, deoarece în acest fel mișcarea uniformă și rectilinie a sistemului în ansamblu este exclusă din considerare.

Există cazuri când suma forțelor externe nu este egală cu zero, dar proiecția sa pe orice direcție este egală cu zero. În acest caz, proiecția accelerației centrului de masă pe această direcție este, de asemenea, egală cu zero și, în consecință, viteza centrului de masă de-a lungul acestei direcții nu se modifică.

Semnificația teoremei

Teorema demonstrată extinde și fundamentează posibilitățile de utilizare a conceptului de punct material pentru a descrie mișcarea corpurilor. Într-adevăr, dacă corpul se mișcă translațional, atunci mișcarea sa este complet determinată de mișcarea centrului de masă, care la rândul său este descris de ecuația rezultată pentru . Astfel, un corp în mișcare progresivă poate fi întotdeauna considerat un punct material cu o masă egală cu masa corpului, indiferent de dimensiunile sale geometrice. În plus, corpul poate fi considerat ca punct material în toate acele cazuri când, din cauza condițiilor problemei, rotația corpului nu prezintă interes, iar pentru a determina poziția corpului este suficient să cunoaștem poziția centrului său de masă. ${\vec a}_{c}$

Valoarea practică a teoremei constă în faptul că, atunci când rezolvați problema determinării naturii mișcării centrului de masă, vă permite să excludeți complet toate forțele interne din considerare.

Istorie

Legea conservării mișcării centrului de masă a fost formulată de Isaac Newton în celebra sa lucrare „ Principiile matematice ale filosofiei naturale ”, publicată în 1687 . I. Newton scria: „Centrul de greutate al unui sistem de două sau mai multe corpuri din interacțiunea corpurilor unul asupra celuilalt nu își schimbă nici starea de repaus, nici de mișcare; prin urmare, centrul de greutate al sistemului tuturor corpurilor care acționează unul asupra celuilalt (în absența acțiunilor exterioare și a obstacolelor) fie este în repaus, fie se mișcă uniform și rectiliniu” [4] . Mai departe, el a concluzionat: „Astfel, impulsul de translație al unui corp individual sau al unui sistem de corpuri trebuie întotdeauna calculat din mișcarea centrului lor de greutate” [4] .

Vezi și

Note

↑ 1 2 3 4 Targ S. M. Un scurt curs de mecanică teoretică. - M . : Liceu, 1995. - S. 273-280. — 416 p. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ Sivukhin D.V. Curs general de fizică. — M .: Fizmatlit; Editura MIPT, 2005. - T. I. Mecanica. - S. 115-116. — 560 p. — ISBN 5-9221-0225-7 .
↑ 1 2 Targ S. M. Centrul de inerție (centrul de masă) // Enciclopedie fizică : [în 5 volume] / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M . : Marea Enciclopedie Rusă , 1999. - V. 5: Dispozitive stroboscopice - Luminozitate. - S. 624-625. — 692 p. — 20.000 de exemplare. — ISBN 5-85270-101-7 .
↑ 1 2 Isaac Newton . Principii matematici ale filosofiei naturale = Philosophia naturalis principia matematica / Traducere din latină și note de A. N. Krylov . - M . : Nauka, 1989. - S. 45-49. — 688 p. - (Clasice ale științei). - ISBN 5-02-000747-1 .