Teorema asupra energiei cinetice a sistemului

Teorema privind energia cinetică a sistemului este una dintre teoremele generale ale dinamicii [1] , este o consecință a legilor lui Newton . Conectează energia cinetică a unui sistem mecanic cu munca forțelor care acționează asupra corpurilor care alcătuiesc sistemul. Sistemul în cauză poate fi orice sistem mecanic format din orice corp [2] [3] .

Enunțul teoremei

Energia cinetică a unui sistem este suma energiilor cinetice ale tuturor corpurilor din sistem. Pentru valoarea astfel definită, afirmația [2] [3] este adevărată :

Teorema permite generalizarea în cazul cadrelor de referință neinerțiale . În acest caz, munca forțelor portabile de inerție trebuie adăugată la munca tuturor forțelor externe și interne ( forțele de inerție Coriolis nu pot produce muncă) [4] .

Demonstrarea teoremei

Luați în considerare un sistem de puncte materiale cu mase , viteze și energii cinetice . Pentru o mică modificare a energiei cinetice ( diferenţială ) care are loc într-un interval de timp mic , $m_i$ $\vec v_i$ $T_{i}={\frac {1}{2}}m_{i}{v_{i}}^{2}$ $dt,$

dT_{i}=m_{i}{\vec {v}}_{i}d{\vec {v}}_{i}=m_{i}{\vec {v}}_{i }{\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}dt.

Având în vedere care este accelerația punctului i și este mișcarea aceluiași punct în timp , expresia rezultată poate fi scrisă astfel: ${\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}$ ${\vec {a}}_{i}$ ${\vec {v}}_{i}dt$ $d{\vec {s}}_{i}$ $dt$

dT_{i}=m_{i}{\vec {a}}_{i}d{\vec {s}}_{i}.

Folosind a doua lege a lui Newton și notând rezultanta tuturor forțelor care acționează asupra unui punct ca , obținem $F_{i)$

dT_{i}={\vec {F}}_{i}d{\vec {s}}_{i},

și apoi conform definiției postului $dA_{i)$

dT_{i}=dA_{i}.

Însumarea tuturor ecuațiilor de acest tip, scrisă pentru fiecare dintre punctele materiale, conduce la o formulă pentru modificarea energiei cinetice totale a sistemului:

dT=\sum \limits _{i}dA_{i}.

Această egalitate exprimă afirmația teoremei asupra modificării energiei cinetice a sistemului în formă diferențială.

După ce am integrat ambele părți ale egalității obținute într-un interval de timp luat în mod arbitrar între unele și , obținem expresia teoremei privind modificarea energiei cinetice în formă integrală: $t_{1}$ $t_{2}$

T_{2}-T_{1}=\sum \limits _{i}A_{i},

unde și sunt valorile energiei cinetice a sistemului în momentele de timp și, respectiv. $T_{1}$ $T_{2)$ $t_{1}$ $t_{2}$

Trebuie subliniat că aici, spre deosebire de cazurile teoremei privind modificarea impulsului sistemului și teoremei privind mișcarea centrului de masă al sistemului , acțiunea nu numai a forțelor externe, ci și a forțelor interne. este luată în considerare.

Legea conservării energiei mecanice

De interes deosebit sunt sistemele în care forțele potențiale acționează asupra corpurilor [5] . Pentru astfel de forțe, se introduce conceptul de energie potențială , a cărei modificare în cazul unui punct material, prin definiție, satisface relația:

W_{2i}-W_{1i}=-A_{pi},

unde și sunt valorile energiei potențiale a punctului în starea inițială și, respectiv, finală, și este munca forței potențiale efectuată atunci când punctul trece din starea inițială în starea finală. $W_{1i}$ $W_{2i)$ $A_{pi}$

Modificarea energiei potențiale a sistemului se obține ca urmare a însumării modificărilor energiilor tuturor corpurilor sistemului:

W_{2}-W_{1}=-\sum \limits _{i}A_{pi}.

Dacă toate forțele interne și externe care acționează asupra corpurilor sistemului sunt potențiale [6] , atunci

\sum \limits _{i}A_{i}=\sum \limits _{i}A_{pi}=-(W_{2}-W_{1}).

Înlocuind expresia rezultată în ecuația teoremei energiei cinetice, obținem:

T_{2}-T_{1}=-(W_{2}-W_{1})

sau ce este la fel

T_{2}+W_{2}=T_{1}+W_{1}.

Cu alte cuvinte, se dovedește că pentru energia mecanică totală a sistemului , $T+W$

T+W=const.

Astfel, putem concluziona:

Această afirmație este conținutul legii conservării energiei mecanice , care este o consecință a teoremei asupra energiei cinetice și în același timp un caz special al legii fizice generale a conservării energiei [2] [3] .

Cazul unui sistem cu constrângeri staționare ideale

În cazurile în care subiectul de studiu este doar mișcarea sistemului, iar reacțiile legăturilor nu prezintă interes, se utilizează formularea teoremei pentru un sistem cu legături staționare ideale, care este derivată ținând cont de d' Principiul Alembert-Lagrange .

Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui sistem cu legături staționare ideale se arată [7] :

Teorema se demonstrează după cum urmează. Înlocuind în ecuația generală a dinamicii cu , obținem: $\delta {\vec {r}}_{k}$ ${\vec {v}}_{k}dt$

(\sum m_{k}{\vec {w}}_{k}){\vec {v}}_{k}dt=\sum {\vec {F}}_{k}{\ vec{v}}_{k}dt

(d\sum m_{k}{\vec {v}}_{k}){\vec {v}}_{k}=\sum {\vec {F}}_{k}^{ ae}{\vec {v}}_{k}dt+\sum {\vec {F}}_{k}^{ai}{\vec {v}}_{k}dt

Din moment ce , în sfârșit obținem: $d{\vec {v}}_{k}{\vec {v}}_{k}=d{\frac {v_{k}^{2}}{2}}$

dT=d'A^{ae}+d'A^{ai}

Pictogramele de sus din aceste expresii denotă: - forță activă (adică nu o reacție a legăturilor) forță, (din engleză external ) și (din engleză internal ) - respectiv forțe externe și interne. $^{a)$ $^{e)$ $^{i)$

Vezi și

Note

↑ Targ S. M. Dynamics // Enciclopedia fizică : [în 5 volume] / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1988. - T. 1: Aharonov - Efectul Bohm - Rânduri lungi. — S. 616-617. — 707 p. — 100.000 de exemplare.
↑ 1 2 3 Targ S. M. Un scurt curs de mecanică teoretică. - M . : Şcoala superioară, 1995. - S. 301-323. — 416 p. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ 1 2 3 Zhuravlev VF Fundamentele mecanicii teoretice. - M . : Fizmatlit, 2001. - S. 70-71. — 319 p. — ISBN 5-95052-041-3 .
↑ Zhirnov N. I. Mecanica clasică. — Serie: manual pentru studenții facultăților de fizică și matematică din institutele pedagogice. - M., Iluminismul , 1980. - Tiraj 28.000 exemplare. - Cu. 262
↑ Amintiți-vă că forțele se numesc potențiale dacă munca efectuată de acestea la deplasarea unui punct material este determinată doar de pozițiile inițiale și finale ale punctului și nu depinde de alegerea traiectoriei.
↑ Adică nu există forțe disipative .
↑ 1 2 Bugaenko G. A. , Malanin V. V. , Yakovlev V. I. Fundamentele mecanicii clasice. - M .: Şcoala superioară, 1999. - S. 221-223. — ISBN 5-06-003587-5