Teorema în nouă puncte pe o curbă cubică

Teorema în 9 puncte pe o curbă cubică este o teoremă în geometria algebrică care spune că

Dacă 8 din 9 puncte de intersecție a două triple de linii drepte (în figura din dreapta - albastru și roșu) se află pe un cub (curbă de ordinul trei, negru) , atunci și al nouălea se află pe el.

Această teoremă stă la baza posibilității de a determina structura unui grup pe o curbă cubică.

Dovada

Mai jos este o dovadă simplă utilizând numai faptele din curriculum școlar. Este format din trei părți: două leme și teorema în sine.

Lema 1

Dacă un polinom din două variabile la un număr infinit de puncte de pe o dreaptă ia valoare zero, atunci este divizibil cu ecuația acestei linii, adică . $P\,(x,\,y)$ $l:\,ax+by+c=0$ $P\,(x,\,y)\,\vdots \,ax+by+c$

Să notăm . O linie dreaptă este specificată în condiție, deci fie , fie nu este egală cu 0. Vom presupune că aceasta este , atunci și . Pe un polinom direct , dar în același timp poate lua un număr infinit de valori diferite, prin urmare și, prin urmare, . ■ $z\,:=\,ax+by+c$ $A$ $b$ $b$ $y={\frac {z-ax-c}{b}}=S\,(x,z)$ $P\,(x,\,y)=P\,(x,\,S\,(x,\,z))=F\,(x,\,z)=z\cdot Q\,(x ,\,z)+R\,(x)$ $l:\,z=0$ $F\,(x,\,z)=R\,(x)=0$ $X$ $R\,(x)\equiv 0$ $P\,(x,\,y)=F\,(x,\,z)\,\vdots \,z=ax+by+c$

Lema 2

Dacă cuburile și se intersectează în trei puncte de pe linie , atunci există un număr astfel încât . $P\,(x,\,y)$ $Q\,(x,\,y)$ $l:\,ax+by+c=0$ $t$ $P\,(x,\,y)-t\cdot Q\,(x,\,y)\,\vdots \,ax+by+c$

Similar Lemei 1 , vom presupune că , atunci egalitatea este valabilă pentru punctele dreptei , similar cu . Polinoamele și sunt egale cu 0 la trei puncte comune, gradul lor nu este mai mare de 3, deci există un astfel de număr încât pentru toate punctele de pe această dreaptă. Aplicând lema 1 , obținem aserția necesară. ■ $b\neq 0$ $l$ $P\,(x,\,y)=P\,\left(x,\,-{\frac {ax+c}{b}}\right)=P_{1}\,(x)$ $Q\,(x,\,y)=Q_{1}\,(x)$ $P_{1}\,(x)$ $Q_{1}\,(x)$ $t$ $P\,(x,\,y)=t\cdot Q\,(x,\,y)$

Demonstrarea teoremei

În cele ce urmează, pentru concizie, parametrii polinoamelor vor fi omiși. Să notăm ecuația cubului negru ca , liniile roșii ca și , iar cubul roșu ca . În mod similar, pentru linii și cuburi albastre . În acest caz, vom lua în considerare numerotarea astfel încât este necesar să demonstrăm că punctul de intersecție aparține cubului . $(X y)$ $H$ $K_{1},K_{2}$ $K_{3}$ $K=K_{1}\cdot K_{2}\cdot K_{3}$ $S=S_{1}\cdot S_{2}\cdot S_{3}$ $K_{2}\cap S_{2}$ $H$

Aplicând pentru linie și cub și Lema 2 , obținem că există un număr pentru care . În mod similar, există astfel încât . Atunci polinomul de gradul al treilea este divizibil cu și , adică . Polinomul este egal cu zero pentru toate punctele dreptei , liniile și poziția generală, ceea ce înseamnă că ia valoarea 0 în exact un punct al dreptei . Prin urmare, este egal cu zero la un număr infinit de puncte de pe linia dreaptă și, după Lema 1 , este divizibil cu ecuația sa. Astfel , ceea ce înseamnă , unde este un polinom de grad nu mai mare decât primul, adică o linie dreaptă sau zero. $K_1$ $S$ $H$ $A$ $Ha\cdot S\,\vdots \,K_{1}$ $b$ $Hb\cdot K\,\vdots \,S_{1}$ $A=Ha\cdot Sb\cdot K$ $K_1$ $S_{1}$ $A=A_{1}\cdot K_{1}$ $A$ $S_{1}$ $K_1$ $S_{1}$ $K_1$ $S_{1}$ $A_{1}$ $S_{1}$ $A\,\vdots \,K_{1}\cdot S_{1}$ $A=K_{1}\cdot S_{1}\cdot Q$ $Q$

Să presupunem că este o linie dreaptă. Partea stângă a egalității este egală cu zero în punctele și , ceea ce înseamnă că unul dintre cei trei factori din partea dreaptă este, de asemenea, egal cu zero. Dar liniile nu trec prin aceste puncte, așa că toate se află pe aceeași linie - . Dar acest lucru este imposibil. $Q$ $Ha\cdot Sb\cdot K=K_{1}\cdot S_{1}\cdot Q$ $K_{2}\cap S_{3},K_{3}\cap S_{3}$ $K_{3}\cap S_{2}$ $K_1$ $S_{1}$ $Q$

Astfel , ceea ce înseamnă . Dar cuburile și trec prin punctul , și, prin urmare, cubul trece și prin acest punct. ■ $Q\equiv 0$ $H=a\cdot S+b\cdot K$ $K$ $S$ $K_{2}\cap S_{2}$ $H$

Aplicație

Cu ajutorul teoremei în 9 puncte, unele fapte din geometria proiectivă sunt demonstrate simplu, cum ar fi teorema lui Pascal :

Dacă un hexagon este înscris într-o secțiune conică , atunci punctele de intersecție a trei perechi de laturi opuse se află pe aceeași linie dreaptă.

În figura din dreapta, un hexagon cu 3 laturi roșii și 3 albastre este înscris într-o parabolă neagră . Liniile roșii și albastre se intersectează în 9 puncte verzi, dintre care 6 se află pe o parabolă, iar o linie neagră este trasată prin celelalte 2. Deoarece cubul negru conține 8 puncte verzi formate prin intersecția cuburilor roșii și albastre, conține și al nouălea punct. Dar acest punct nu se află pe parabolă, ceea ce înseamnă că aparține liniei. ■

Poate fi folosit și pentru a demonstra asociativitatea operației de adunare a punctelor pe o curbă eliptică [1] . Și anume, dacă A , B , C , O aparțin unei curbe cubice. Pentru trei linii BC , O (A + B) și A (B + C) ; iar pentru cele trei drepte AB , O (B + C) și C (A + B) . Următoarele opt puncte A, B, C, A + B, -A-B, B + C, -BC, O se află pe cub. Prin urmare, al nouălea punct -A-(B+C)=-(A+B)-C îi aparține.

Teorema lui Chall

Teorema lui Chall este o generalizare pentru cazul în care nu se iau triple de linii, ci cuburi arbitrare [2] :

Dacă în planul proiectiv două cuburi au 9 puncte comune, atunci orice alt cub care trece prin 8 dintre ele trece și prin al nouălea.

Note

↑ V. V. Ostrik, M. A. Tsfasman. Geometrie algebrică și teoria numerelor: curbe raționale și eliptice . - M. : MTsNMO , 2001. - S. 20-24. — 48 s. — (Educație matematică). — ISBN 5-900916-71-5 . Arhivat pe 28 decembrie 2010 la Wayback Machine
↑ D. Eisenbud, M. Green, J. Harris. Teorema Cayley-Bacharach și ipoteze . — 1996. Arhivat 14 mai 2011 la Wayback Machine .

Vezi și

Teorema Cayley-Bacharach
Conică de nouă puncte