Parabolă

Parabolă

Parabola, focarul și directriza acesteia
Excentricitate	$e=1$
Ecuații
${\begin{aligned}&y=x^{2}\\&y=ax^{2}+bx+c\\&Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey=F \\&\quad (B^{2}-4AC=0)\end{aliniat}}$
Alte secțiuni conice
Hiperbolă Parabolă Elipsă Cerc

Parabola ( greacă παραβολή - aproximare [1] ) este o curbă plană, unul dintre tipurile de secțiuni conice .

Definiție

Matematicienii antici au definit o parabolă ca rezultat al intersecției unui con circular cu un plan care nu trece prin vârful conului și este paralel cu generatricea acestuia (vezi figura). În geometria analitică , o definiție echivalentă este mai convenabilă: o parabolă este un loc de puncte de pe un plan pentru care distanța până la un punct dat ( focalizare ) este egală cu distanța până la o linie dreaptă dată ( directrice ) (vezi figura) [ 2] .

Dacă focalizarea se află pe directrice, atunci parabola degenerează într-o linie întreruptă .

Alături de elipsă și hiperbola , parabola este o secțiune conică . Poate fi definită ca o secțiune conică cu excentricitate unitară .

Summit

Punctul unei parabole cel mai apropiat de directricea ei se numește vârful acelei parabole. Vârful este punctul de mijloc al perpendicularei coborât de la focar la directrix.

Ecuații

Ecuația canonică a unei parabole într-un sistem de coordonate dreptunghiular este :

\textstyle y^{2}=2px,p>0

(sau , dacă axele de coordonate sunt inversate).

\textstyle x^{2}=2py

Numărul p se numește parametru focal, este egal cu distanța de la focar la directrix [3] . Deoarece fiecare punct al parabolei este echidistant de focalizare și directrice, la fel este și vârful, deci se află între focar și directrice la o distanță de ambele. $\frac{p}{2}$

Concluzie
Ecuația directrice PQ: , focarul F are coordonate . Astfel, originea O este punctul de mijloc al segmentului CF. Prin definiția unei parabole, pentru orice punct M situat pe ea, egalitatea KM = FM este satisfăcută . În plus, deoarece și , atunci egalitatea ia forma: $\textstyle x+{\frac {p}{2}}=0$ $\left (\frac{p}{2};0\right ).$ $\textrm{KM=KD+DM}=\frac{p}{2}+x$ $\textrm{FM}=\sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}$ ${\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {p}{2}}+x .$ După pătrat și unele transformări se obține o ecuație echivalentă $y^{2}=2px.$

Concluzie

Ecuația directrice PQ: , focarul F are coordonate . Astfel, originea O este punctul de mijloc al segmentului CF. Prin definiția unei parabole, pentru orice punct M situat pe ea, egalitatea KM = FM este satisfăcută . În plus, deoarece și , atunci egalitatea ia forma: $\textstyle x+{\frac {p}{2}}=0$ $\left (\frac{p}{2};0\right ).$ $\textrm{KM=KD+DM}=\frac{p}{2}+x$ $\textrm{FM}=\sqrt{\left (x-\frac{p}{2}\right )^2+y^2}$

{\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {p}{2}}+x .

După pătrat și unele transformări se obține o ecuație echivalentă $y^{2}=2px.$

Parabola dată de o funcție pătratică

Funcția pătratică pentru este, de asemenea, o ecuație a unei parabole și este reprezentată grafic prin aceeași parabolă, dar, spre deosebire de aceasta din urmă, are un vârf nu la origine, ci la un punct A, ale cărui coordonate sunt calculate prin formulele: $y=ax^{2}+bx+c$ $a\neq 0$ $y=ax^{2},$

x_{\textrm {A}}=-{\frac {b}{2a)),\;y_{\textrm {A}}=-{\frac {D}{4a)),

unde este discriminantul unui trinom pătrat.

D=b^2-4ac

Axa de simetrie a unei parabole dată de o funcție pătratică trece prin vârful paralel cu axa y. Pentru a > 0 ( a < 0 ), focalizarea se află pe această axă deasupra (sub) vârfului la o distanță de 1/4 a , iar directriza se află sub (deasupra) vârfului la aceeași distanță și este paralelă cu axa x. Ecuația poate fi reprezentată sub forma și în cazul transferului originii în punctul A, ecuația parabolei se transformă într-una canonică. Astfel, pentru fiecare funcție pătratică, se poate găsi un sistem de coordonate astfel încât în acest sistem ecuația parabolei corespunzătoare să fie reprezentată ca canonică. în care $y=ax^{2}+bx+c$ $y=a(x-x_{\textrm {A}))^{2}+y_{\textrm {A}),$ $p=\frac{1}{|2a|}.$

Ecuația generală a unei parabole

În general, o parabolă nu trebuie să aibă o axă de simetrie paralelă cu una dintre axele de coordonate. Cu toate acestea, ca orice altă secțiune conică, parabola este o curbă de ordinul doi și, prin urmare, ecuația sa pe planul sistemului de coordonate carteziene poate fi scrisă ca un polinom pătratic:

Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.

Dacă o curbă de ordinul doi dată în această formă este o parabolă, atunci discriminantul compus din coeficienții la cei mai înalți termeni este egal cu zero. $B^2-4AC$

Ecuația din sistemul polar

O parabolă în coordonate polare centrată la focalizare și direcția zero de-a lungul axei parabolei (de la focalizare la vârf) poate fi reprezentată prin ecuație $(\rho,\vartheta)$

\rho (1 + \cos \vartheta) = p,

unde p este parametrul focal (distanța de la focalizare la directrice sau de două ori distanța de la focalizare la vârf)

Calculul coeficienților unei funcții pătratice

Dacă pentru ecuația unei parabole cu o axă paralelă cu axa y sunt cunoscute coordonatele a trei puncte diferite ale parabolei , atunci coeficienții ei pot fi găsiți după cum urmează: $y=ax^{2}+bx+c$ $(x_{1};y_{1}),\;(x_{2};y_{2}),\;(x_{3};y_{3}),$

a=\frac{y_{3}-\tfrac{x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{ 2}-x_{1}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}, \ \ b=\frac{y_{ 2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}-a(x_{1}+x_{2}), \ \ c=\frac{x_{2}y_{1}-x_ {1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}+ax_{1}x_{2}.

Dacă vârful și coeficientul de conducere sunt date , atunci coeficienții și rădăcinile rămase sunt calculate cu formulele: $(x_{0};y_{0})$ $A$

b=-2ax_0

c=ax_0^2+y_0

x_1=x_0+\sqrt{-\frac{y_0}{a}}

x_2=x_0-\sqrt{-\frac{y_0}{a}}

Proprietăți

O parabolă este o curbă de ordinul doi .
Are o axă de simetrie numită axa parabolei . Axa trece prin focar și vârful perpendicular pe directrice.
proprietate optică. Un fascicul de raze paralel cu axa parabolei, reflectat în parabolă, este colectat la focarul său. În schimb, lumina de la o sursă focalizată este reflectată de o parabolă într-un fascicul de raze paralel cu axa ei. Semnalul va veni și într-o singură fază, ceea ce este important pentru antene.
Dacă focalizarea parabolei este reflectată în raport cu tangenta, atunci imaginea ei se va afla pe directrice .
Segmentul care leagă punctul de mijloc al unei coarde arbitrare a parabolei și punctul de intersecție al tangentelor la acesta de la capetele acestei coarde este perpendicular pe directrice, iar punctul său de mijloc se află pe parabolă.
Parabola este antipodera liniei .
Toate parabolele sunt similare . Distanța dintre focalizare și directrice determină scara.
Traiectoria focarului unei parabole care se rostogolește de-a lungul unei linii drepte este Catenarul [4] .
Cercul circumscris al unui triunghi circumscris unei parabole trece prin focarul său, iar punctul de intersecție al înălțimilor se află pe directricea sa

Definiții înrudite

Când o parabolă este rotită în jurul axei de simetrie, se obține un paraboloid eliptic .

Variații și generalizări

Graficele unei funcții de putere cu exponent natural se numesc parabole de ordin [5] [6] . Definiția considerată anterior corespunde , adică unei parabole de ordinul 2. $y=x^{n}$ $n>1$ $n$ $n=2,$

Parabola este, de asemenea, o spirală sinusoidală la ; $\textstyle n=-{\frac {1}{2}}$

Parabole în spațiul fizic

Traiectoriile unor corpuri cosmice ( comete , asteroizi și altele) care trec lângă o stea sau alt obiect masiv ( stea sau planetă ) cu o viteză suficient de mare au forma unei parabole (sau hiperbolă ). Aceste corpuri, datorită vitezei lor mari, nu sunt captate de câmpul gravitațional al stelei și își continuă zborul liber. Acest fenomen este utilizat pentru manevrele gravitaționale ale navelor spațiale (în special, vehiculelor Voyager ).

Pentru a crea imponderabilitate în condiții terestre, aeronavele zboară de-a lungul unei traiectorii parabolice, așa-numita parabolă Kepler.

În absența rezistenței aerului, calea de zbor a unui corp în aproximarea unui câmp gravitațional uniform este o parabolă.

De asemenea, oglinzile parabolice sunt utilizate în telescoapele portabile de amatori ale sistemelor Cassegrain, Schmidt-Cassegrain, Newton, iar oglinzile auxiliare sunt instalate la focarul parabolei, alimentând imaginea către ocular.

Când un vas cu un lichid se rotește în jurul unei axe verticale, suprafața lichidului din vas și planul vertical se intersectează de-a lungul unei parabole.

Proprietatea unei parabole de a focaliza un fascicul de raze paralel cu axa parabolei este utilizată în proiectarea proiectoarelor, lămpilor, farurilor, precum și a telescoapelor reflectorizante (optice, infraroșii, radio...), în proiectarea antene orientate îngust ( de satelit și altele) necesare pentru transmiterea datelor la distanțe mari, centrale solare și alte zone.

Forma parabolă este uneori folosită în arhitectură pentru construcția de acoperișuri și cupole.

Orbită parabolică și mișcarea satelitului de-a lungul acesteia (animație)
baschet în cădere _
Centrală solară parabolică din California , SUA
Traiectorii parabolice ale jeturilor de apă
Vas rotativ cu lichid
Parabola - antipodera dreaptă

Note

↑ Parabola . Dicționar de cuvinte străine . Preluat la 19 iunie 2021. Arhivat din original la 14 ianuarie 2020. (nedefinit)
↑ Encyclopedia of Mathematics, 1984 .
↑ Alexandrov P. S. Parabola // Curs de geometrie analitică și algebră liniară. - M . : Nauka , 1979. - S. 69-72. — 512 p.
↑ Savelov A. A. Curbe plane. Sistematică, proprietăți, aplicații (Ghid de referință) / Ed. A. P. Norden. M.: Fizmatlit, 1960. S. 250.
↑ Funcția de putere Bityutskov V.I. // Enciclopedia matematică (în 5 volume). - M .: Enciclopedia Sovietică , 1985. - T. 5. - S. 208-209. — 1248 p.
↑ Funcția de putere // Dicționar enciclopedic matematic. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1988. - S. 564 -565. — 847 p.

Literatură

Akopyan A. A., Zaslavsky A. V. Proprietățile geometrice ale curbelor de ordinul doi . - M. : MTSNMO, 2007. - 136 p.
Bronstein I. Parabola // Kvant . - 1975. - Nr 4 . - S. 9-16 .
Markushevich AI Curbe remarcabile . - Gostekhizdat , 1952. - 32 p. - ( Prelegeri populare de matematică , numărul 4).
Parabola // Enciclopedia matematică (în 5 volume). - M .: Enciclopedia Sovietică , 1984. - T. 4. - S. 191-192. — 1216 p.

Link -uri

Articol din cartea de referință „Matematică aplicată”.
Desene animate care ilustrează unele dintre proprietățile unei parabole.
Informații ( în engleză ) despre legătura parabolei cu fizica.
Film educativ despre parabolă

Curbe

Definiții

Transformat

Neplanare

algebric plat

Secțiuni conice

Ordinul 3 ( cubic )

Eliptic	Curba eliptică Funcții eliptice Jacobi Integrală eliptică Funcții eliptice
Alte	Verziera Agnesi Foaie carteziană Maclaurin trisector Chirnhaus Ophiurida Strofoid Parabola semimicubă Trident Cissoid din Diocle

Ordinul 4

Lemniscate

Apropiere

Splina
- B-spline
- Cub
- monospline
- Netezire
- Perfect
- Sihastrul
beziers

Cicloidală

Alte

Ferma strâmbă

Plat
transcendental

Spirale	Arhimedov Fermă Galileea Hiperbolic "Baghetă" De aur clotoid logaritmică sinusoidal
Cicloidală	trohoid Cicloid Epitrohoid Epicicloid Hipotrocoid Hipocicloid Quasitrocoid "Trandafir" quadrifolium Coborâre rapidă (brahistocron, arc cicloid)
Alte	Quadratrix cohleoid urmarire tractor trohoid linie de lanț arcuit inversat latime constanta sinusoid Ribokura Super formula Superelipsă Triunghiul Reuleaux poligon figurile Lissajous

fractal

Simplu	Gilbert Gosper curba dragonului Koch Taxă Minkowski Peano Sierpinsky
topologic	Servetul Sierpinski covor Sierpinski Sponge Menger fractal circular covorul Apollonius

Secțiuni conice
Principalele tipuri	Elipsă Hiperbolă Parabolă
Degenerat	Punct Drept Pereche de linii drepte
Un caz special al unei elipse	Cerc
Construcție geometrică	sectiune conica Mingi de păpădie Designul lui Steiner
Vezi si	Constanta conica
Matematică • Geometrie