Teorema pentru tăierea unui pătrat în triunghiuri de arie egală

Teorema tăierii unui pătrat în triunghiuri de aceeași arie spune că un pătrat nu poate fi tăiat într-un număr impar de triunghiuri de aceeași zonă [1] .

Teorema este renumită pentru demonstrația sa neașteptată folosind norma 2-adic .

Istorie

Problema a fost pusă de Fred Richman în American Mathematical Monthly în 1965 și rezolvată de Paul Monsky în 1970 [2] .

Despre dovada

Folosind numere 2-adice , se construiește o anumită colorare în trei culori a punctelor pătratului unității.

Principalele proprietăți ale colorării sunt următoarele:

1. Aria oricărui triunghi cu vârfuri de culori diferite nu poate fi exprimată ca o fracție cu numărător și numitor impar.
   • În special, dacă ar exista o împărțire a unui pătrat într-un număr impar de triunghiuri de dimensiuni egale, atunci niciunul dintre triunghiuri nu ar avea vârfuri ale tuturor celor trei culori.
2. Orice linie dreaptă este vopsită cu exact două culori.

Aceasta și alte proprietăți ale acestei colorări duc la o contradicție cu lema lui Sperner .

Variații și generalizări

• -Cubul dimensional poate fi împărțit în simplexe de același volum numai dacă numărul de simplexe este multiplu al [3] [4] .
• Demonstrarea teoremei implică și existența patrulaterelor care nu pot fi tăiate în triunghiuri de suprafață egală.
• Pentru un număr întreg , un -gon regulat poate fi tăiat în triunghiuri de arie egală dacă și numai dacă este divizibil cu [5] .
• Niciun zonogon nu poate fi tăiat într- un număr impar de triunghiuri de arie egală . Acest fapt a fost dovedit de același Paul Monsky după teorema principală [6] [7] .

Note

1. ↑ Martin Aigner, Günter M. Ziegler. Un pătrat și un număr impar de triunghiuri // Dovezi din carte . — al 4-lea. - Berlin, 2010. - S.  131-138 . - ISBN 978-3-642-00856-6 . - doi : 10.1007/978-3-642-00856-6_20 .
2. ↑ P. Monsky. Despre împărțirea unui pătrat în triunghiuri  //  The American Mathematical Monthly  : jurnal. - 1970. - Vol. 77 , nr. 2 . - P. 161-164 . - doi : 10.2307/2317329 . MR : 0252233 _
3. ↑ Mead, David G. (septembrie 1979), Dissection of the hypercube into simplexes , Proceedings of the American Mathematical Society vol. 76: 302–304 , DOI 10.1090/S0002-9939-1979-0537093-6 
4. ↑ Sperner's Leemma Arhivat 19 aprilie 2016 la Wayback Machine , Moor Xu
5. ↑ EA Kasimatis, Disecția poligoanelor regulate în triunghiuri de zone egale, Geometrie discretă și computațională, august 1989, volumul 4, numărul 4, pp. 375-381
6. ↑ Monsky, Paul (1990), A conjecture of Stein on plane dissections , Mathematische Zeitschrift T. 205 (4): 583–592 , DOI 10.1007/BF02571264 
7. ↑ Stein, Sherman & Szabó, Sandor (1994), Algebra și Tiling: Homomorfisme în serviciul geometriei , voi. 25, Carus Mathematical Monographies, Cambridge University Press, p. 130 , ISBN 9780883850282 

Literatură

• B. Becker, S. Vostokov, Yu. Ionin. 2-numere adice  // Kvant . - 1979. - T. 2 . - S. 26-31 .