Zonogon

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 29 iunie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Un zonogon este un poligon convex simetric central .

Definiții echivalente

Un zonogon este un poligon convex cu un număr par de laturi, care poate fi împărțit în perechi egale și paralele . De fapt, este suficient să ceri adevărul ambelor condiții pentru toate perechile de laturi, cu excepția uneia - pentru aceasta condiția va fi deja o consecință, ceea ce este ușor de demonstrat prin inducție asupra numărului de laturi ale poligonului. Totuși, o pereche de laturi a căror paralelism și egalitate nu sunt postulate trebuie să fie neapărat aceeași pentru ambele condiții, altfel poligonul nu mai este neapărat un zonogon: un exemplu de poligon care nu este un zonogon, în care laturile opuse doar o pereche nu este paralelă și laturile opuse sunt doar o pereche nu sunt egale, prezentate în figura din dreapta.
Un zonogon este un poligon convex cu un număr par de laturi, în care toate laturile și unghiurile opuse sunt egale.
Un zonogon este suma Minkowski a unui număr finit de segmente dintr-un plan. Numărul de laturi ale zonogonului rezultat este egal cu dublul numărului de segmente.
Un zonogon este limita de proiecție a unui hipercub de o anumită dimensiune pe plan . Această definiție poate fi obținută din cea anterioară, folosind faptul că un hipercub este suma Minkowski a muchiilor sale care iese dintr-un vârf și faptul că proiecția sumei Minkowski a segmentelor (ca orice alte mulțimi) este suma Minkowski. a proiecțiilor lor. Pentru dimensiunea unui hipercub , zonogonul rezultat are exact laturi în cazul general și cel mult laturi în orice caz. Este important ca un hipercub de dimensiune să nu fie proiectat din spațiul -dimensional pe un plan conținut în acest spațiu: de exemplu, proiectând un cub cu o muchie din spațiul tridimensional pe un plan conținut în acesta, nu se poate obține un figură cu un diametru mai mic decât , deoarece acesta este diametrul sferei înscrise a cubului , a cărei proiecție este un cerc de diametru și este conținută în interiorul proiecției cubului însuși în oricare dintre pozițiile sale, dar proiecția ortogonală a unui cub de aceeași dimensiune cu vârfuri din spațiul cincidimensional pe un plan format din toate punctele formei constă dintr-un singur punct - . Această rafinare afectează nu numai dimensiunea zonogoanelor rezultate - unele zonogoane, până la similitudine , pot fi obținute doar prin proiectarea unui hipercub pe un plan dintr-un spațiu de o dimensiune mai mare decât dimensiunea hipercubului în sine. $n$ $2n$ $2n$ $n$ $n$ $2$ $2$ $2$ $(0,0,\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ $(x,y,0,0,0)$ $(0,0,0,0,0)$

Cazuri speciale

Un paralelogram este un patrulater care este un zonogon. În special, zonogonurile sunt rombul , dreptunghiul și pătratul .
Un poligon regulat cu un număr par de laturi este un zonogon.

Proprietăți

O generalizare a teoremei lui Monsky : niciun zonogon nu poate fi tăiat într- un număr impar de triunghiuri de arie egală . Acest fapt a fost dovedit de același Paul Monsky după teorema principală [1] [2] .

Numărul maxim de perechi de vârfuri care pot fi la aceeași distanță într-un zonogon cu laturi este . Există zonogoni cu numărul de astfel de perechi egal cu (vezi „O” mare și „o” mic ) [3] . $n$ $2n-3$ $2n-O({\sqrt {n}))$

Orice zonogon strict convex cu laturi poate fi împărțit în paralelograme, iar între ele va exista întotdeauna exact un paralelogram cu aceleași direcții laterale pentru fiecare pereche de direcții posibile ale laturilor zonogonului [4] . Numărul de astfel de partiții posibile pentru zonogonuri cu orice număr de laturi este dat de secvența A006245 în OEIS . $2n$ ${\binom {n}{2}}={\frac {n(n-1)}{2}}$

Pentru orice partiție a unui zonogon arbitrar în paralelograme (în orice număr posibil dintre ele), există cel puțin trei vârfuri de zonogon, fiecare aparținând doar unuia dintre paralelograme [5] .

Modalități de reducere a numărului de laturi

Aceste metode pot fi aplicate în inducție pe numărul de laturi ale zonogonului pentru a demonstra definițiile și proprietățile echivalente de mai sus.

Tăierea vârfurilor - cu ajutorul acesteia, de exemplu, este ușor de demonstrat echivalența definiției principale cu a doua definiție din secțiunea cu definiții echivalente.
Decuparea benzilor de paralelograme - printre altele, poate fi folosit pentru a demonstra proprietățile de mai sus, legate de împărțirea completă a zonogonilor în paralelograme.

Placarea planului cu zonogoane

Toate zonogonurile cu mai mult de patru vârfuri în plăcile de mai jos pot fi împărțite în zonogonuri cu mai puține vârfuri prin tăierea straturilor de paralelogram prezentate în una dintre figurile de mai sus. De asemenea, aceste paralelograme pot fi îndepărtate de pe placă, ceea ce va echivala cu „prăbușirea” zonogonilor într-o anumită direcție.

Tilings cu un singur tip de zonogons

Patraunghiurile și hexagoane , care sunt zonogoni, sunt și ele paralelagoane și permit placarea planului cu propriile copii, obținute numai cu ajutorul translației paralele .

Placarea planului cu un tip de zonogonuri
Placarea cu zonogonuri patrulatere	Placarea cu zonogoane hexagonale

Placuri cu două tipuri de zonogoane

Aceste plăci sunt un fel de trunchiere a plăcirii planului prin paralelograme (zongoane patrulatere) de-a lungul marginilor și, respectiv, de-a lungul vârfurilor.

Placarea planului cu două tipuri de zonogoane
Placarea cu zongoane patrulatere și hexagonale	Teselație cu zonogoane patrulatere și octogonale

Alte teselații

Plasări ale unui plan cu mai multe tipuri de zonogoane, inclusiv cele octogonale obținute din placarea unui plan cu un tip de zonogonuri
Teselație cu zonogoane patrulatere și octogonale	Placare cu zongoane patrulatere, hexagonale și octogonale
Cadre

Teselații

În cazul general, un zonogon octogonal definește două plăci similare.	În cazul general, un zonogon octogonal definește patru astfel de plăci.

Plasări ale planului prin zonogoane patrulatere, hexagonale și octogonale obținute din plăcile tabelului anterior
O placă obținută dintr-o placare cu zonogoane patrulatere și octogonale	O placă obținută dintr-o placare cu zonogoane patrulatere, hexagonale și octogonale
Cadre

Teselații

În cazul general, un zonogon octogonal definește patru plăci similare (există două moduri de a conecta octagooanele în sine și în alte două moduri, pentru fiecare locație a octagogoanelor, grupează părțile rămase ale planului în patrulatere și hexagoane).	În cazul general, un zonogon octogonal definește patru plăci similare, ca în cazul din stânga. În această placă, spre deosebire de cea din stânga, patrulaturile implicate în umplerea găurilor din „inelele” a opt octogoane coincid cu patrulaterele care umplu găurile din „inelele” a patru octogoane - acest fapt ilustrează posibilitatea umplerii duble. „inelele” ” din opt octogoane (în cea de-a doua versiune, patrulaturile lor ar coincide cu patrulaturile din „inelele” a șase octagoane).

Câteva moduri de a „împinge în afară” teselații

Placile pot fi „împrăștiate” de-a lungul tăierilor periodice dintre poligoane, iar golurile rezultate pot fi umplute cu dungile prezentate mai jos. În primul tabel al secțiunii precedente, țiglarea dreaptă a fost obținută din cea din stânga folosind

Metode cu alternarea uniformă a laturilor
Perioada 1
Perioada 2
Perioada 3
Perioada 4		Cu această bandă, placarea din stânga de la primul tabel din secțiunea anterioară poate fi transformată într-o placare din dreapta a aceluiași tabel.

Modalități în care părțile se întâlnesc la frecvențe diferite
Perioada 4		La marginea unei benzi date, un tip de latură apare de două ori mai des decât oricare dintre celelalte două.

Generalizări

Un zonoedru (zonotop) este un poliedru , care este o generalizare a unui zonogon pentru spațiu tridimensional și spații de dimensiune superioară. Uneori, un zonoedru înseamnă doar un poliedru tridimensional, iar un zonotop este un poliedru de dimensiune arbitrară.
Se poate considera un poligon simetric central care nu este convex sau chiar care nu se intersectează. În acest caz, numai primele două definiții din secțiunea „Definiții echivalente” vor fi adevărate pentru acesta, cu cerințele de convexitate eliminate corespunzător. Într-un fel, astfel de poligoane cu puține laturi vor permite în continuare teselații plane.

Note

↑ Monsky, Paul (1990), A conjecture of Stein on plane dissections , Mathematische Zeitschrift T. 205 (4): 583–592 , DOI 10.1007/BF02571264
↑ Stein, Sherman & Szabó, Sandor (1994), Algebra și Tiling: Homomorfisme în serviciul geometriei , voi. 25, Carus Mathematical Monographies, Cambridge University Press, p. 130 , ISBN 9780883850282
↑ Young, John Wesley & Schwartz, Albert John (1915), Plane Geometry , H. Holt, p. 121 , < https://books.google.com/books?id=PzEAAAAAYAAJ&pg=PA121 > Arhivat 18 martie 2022 la Wayback Machine
↑ Beck, József (2014), Probabilistic Diophantine Approximation: Randomness in Lattice Point Counting , Springer, p. 28, ISBN 9783319107417 , < https://books.google.com/books?id=4fawBAAAQBAJ&pg=PA28 > Arhivat 18 martie 2022 la Wayback Machine
↑ Andreescu, Titu & Feng, Zuming (2000), Mathematical Olympiads 1998-1999: Problems and Solutions from Around the World , Cambridge University Press, p. 125, ISBN 9780883858035 , < https://books.google.com/books?id=T0CnqnoKu6QC&pg=PA125 > Arhivat 18 martie 2022 la Wayback Machine