Teorema adiției vitezei

Teorema adunării vitezelor este una dintre teoremele cinematicii , ea leagă vitezele unui punct material în diferite cadre de referință . Susține că, la o mișcare complexă a unui punct material, viteza lui absolută este egală cu suma vitezelor relative și de translație [1] [2] .

Mișcare compusă

Mișcarea în mecanică este întotdeauna considerată în raport cu un anumit cadru de referință (FR). Cu toate acestea, în unele cazuri este oportun sau chiar necesar să se studieze simultan mișcarea unui punct material (MT) în raport cu două sisteme de referință diferite. Unul dintre aceste cadre de referință este considerat condiționat a fi nemișcat, de bază, iar celălalt este considerat a fi în mișcare față de primul. Atunci mișcarea unui punct poate fi considerată ca fiind formată din două mișcări: prima este mișcarea relativă la cadrul de referință în mișcare, a doua este mișcarea împreună cu cadrul în mișcare față de cel staționar. O astfel de mișcare a unui punct se numește complexă sau compusă .

Definiții

Un cadru de referință fix condiționat este de obicei numit absolut . În consecință, mișcarea, deplasarea , viteza și accelerația unui punct în raport cu acest CO sunt numite absolute. În figură, sistemul de referință K este ales ca absolut.

Un cadru de referință care se mișcă condiționat este de obicei numit relativ . Mișcarea, deplasarea, viteza și accelerația unui punct în raport cu acest sistem se mai numesc relative. Sistemul K' din figură este relativ.

Mișcarea efectuată de sistemul mobil K’ și toate punctele spațiului conectate rigid cu acesta [3] în raport cu sistemul K se numește portabil . Dacă un MT se mișcă în raport cu sistemul mobil K', atunci în cazul general acel punct al sistemului K', în care MT este situat în prezent, se mișcă și în raport cu sistemul staționar K. Viteza instantanee a acestui punct al sistemul K’ se numește viteza portabilă a MT.

Dovada

Fie MT la un moment dat să fie în punctul A, iar după o perioadă de timp să fie în punctul B (vezi Fig.). Atunci deplasarea sa relativ la sistemul K (deplasarea absolută) va fi egală cu . Punctul A al sistemului mobil K' sa deplasat împreună cu K' în timp și a ajuns în punctul C, deplasându-se în raport cu sistemul K (mișcare de translație), prezentat în figură de vectorul . Din punctul de vedere al unui observator asociat cu sistemul K’, punctul C este punctul în care a fost localizat inițial MT, deci vectorul reprezintă mișcarea MT în raport cu sistemul mobil K’, adică mișcarea relativă. . Din cele spuse și din diagrama vectorială din figură, rezultă $\Delta t$ ${\vec {S}}_{a}$ ${\displaystyle}$ ${\vec {S}}_{e}$ ${\vec {S}}_{r}$

{\vec {S}}_{a}={\vec {S}}_{e}+{\vec {S}}_{r}.

Împărțind această egalitate la intervalul de timp și apoi tinzând-o la zero, în limita pe care o obținem $\Delta t$

{\vec {v}}_{a}={\vec {v}}_{e}+{\vec {v}}_{r},

unde este absolutul, este figurativ și este viteza relativă a mișcării MT. ${\vec {v}}_{a}$ ${\vec {v}}_{e}$ ${\vec v}_{r}$

Egalitatea rezultată este o expresie matematică a teoremei privind adăugarea vitezelor, care se formulează după cum urmează:

Teorema de adunare a vitezei se mai numește și regula paralelogramului vitezei [4] .

Discuție

În cazul general, mișcarea sistemului K' poate fi reprezentată ca suma a două mișcări: mișcare de translație cu o viteză egală cu viteza originii sistemului K' și mișcare de rotație în jurul axei instantanee care trece prin aceasta. origine. Se poate arăta că viteza de translație , viteza originii coordonatelor și viteza unghiulară a mișcării de rotație a sistemului sunt legate prin relația [5] ${\vec {v}}_{e}$ $\vec v_0$ ${\vec {\omega ))$

{\vec {v}}_{e}={\vec {v}}_{0}+[{\vec {\omega }}\times {\vec {r'}}].

Ținând cont de această egalitate, expresia matematică a teoremei ia forma

{\vec {v}}_{a}={\vec {v}}_{0}+[{\vec {\omega }}\times {\vec {r'}}]+{\ vec{v}}_{r}.

Enunțul teoremei, dovedit pentru două cadre de referință, poate fi generalizat cu ușurință în cazul unui număr arbitrar dintre ele. Într-adevăr, să presupunem că sistemul K, pe care l-am considerat până acum nemișcat, se mișcă în raport cu un al treilea sistem. Atunci, pentru viteza absolută a MT în acest sistem, în virtutea teoremei demonstrate, ${\vec {v'_{a)})$

{\vec {v'_{a}}}={\vec {v'_{e}}}+{\vec {v}}_{e}+{\vec {v}}_{ r},

unde este viteza portabilă a punctului sistemului K, în care MT se află la un moment dat de timp, a cărui mișcare o studiem. Evident, raționând într-un mod similar, se poate obține o formulă de adăugare a vitezelor potrivite pentru orice număr de cadre de referință. ${\vec {v'_{e)})$

Afirmația teoremei de adăugare a vitezei este valabilă numai atâta timp cât vitezele la care se face referire în teoremă sunt mult mai mici decât viteza luminii . În caz contrar, ar trebui utilizată formula relativistă de adunare a vitezei .

Observație . Vectorul rază MT din cadrul de referință K poate fi întotdeauna reprezentat ca suma a doi vectori: $r(t)$

{\vec {r}}(t)={\vec {R}}(t)+{\vec {r'}}(t),

unde este vectorul rază al originii sistemului de coordonate în mișcare și este vectorul rază al lui MT în cadrul în mișcare K'. După diferențiere, egalitatea implică ${\vec {R}}(t)$ ${\vec {r'}}(t)$

{\vec {v}}_{a}={\frac {d{\vec {R}}(t)}{dt}}+{\frac {d{\vec {r'}}( t)}{dt}}.

Raportul rezultat este valabil pentru orice MT și pentru orice moment de timp. Cu toate acestea, trebuie avut în vedere că, în cazul general, primul termen al sumei nu este egal cu viteza de transfer, iar al doilea nu este egal cu viteza relativă. Într-adevăr, este viteza originii sistemului de coordonate K' și, în prezența rotației sistemului, K' nu coincide cu viteza acelui punct al sistemului în care MT este situat în prezent. La rândul său , reprezintă viteza MT relativă la originea coordonatelor , adică este definită diferit de viteza relativă . Egalitățile și sunt îndeplinite numai în acele cazuri când sistemul K' se mișcă progresiv, adică atunci când nu face ture ( ) și toate punctele sale se mișcă în același mod [6] . ${\frac {d{\vec {R}}(t)}{dt}}$ $\vec v_0$ ${\frac {d{\vec {r'}}(t)}{dt}}$ ${\vec {v}}_{r}$ ${\frac {d{\vec {R}}(t)}{dt}}={\vec {v}}_{e}$ ${\frac {d{\vec {r'}}(t)}{dt}}={\vec {v}}_{r}$ ${\vec {\omega }}=0$

Exemple

În cadrul de referință legat de Pământ , viteza unui pasager [7] care se deplasează de-a lungul coridorului de transport poate fi considerată ca o combinație a două viteze. Prima dintre acestea este viteza la care se mișcă punctul mașinii la care se află în prezent pasagerul - viteza de transfer, adică viteza cu care mașina „poartă” pasagerul. Al doilea termen este viteza pasagerului în raport cu mașina. Dacă mașina se mișcă de-a lungul unei rotunjiri a căii, atunci direcția vitezei absolute a pasagerului se schimbă din cauza unei modificări a vitezei portabile.
Viteza absolută a unei muște [8] , târându-se de-a lungul unui disc de gramofon rotativ , este egală cu suma geometrică a vitezei mișcării acesteia în raport cu înregistrarea și viteza pe care o are punctul plăcii de sub muscă în raport cu Pământul. - viteza de translație.
Mișcarea unui punct de roată (cerc) care se rostogolește pe o suprafață orizontală fără alunecare poate fi considerată o mișcare complexă constând din mișcarea roții în ansamblu cu viteză și rotirea punctelor roții în jurul axei sale cu viteză unghiulară . Apoi, în conformitate cu teorema adunării vitezei, proiecțiile vitezei absolute a punctului roții pe axele orizontale și verticale pot fi scrise ca $v$ $\omega$

v_{x}=vv\cos \omega t

v_{y}=v\sin \omega t,

unde este raza roții. După integrare și luând în considerare aceste ecuații, urmează:

R

v=\omega R

x=\omega Rt-R\sin \omega t

y=RR\cos \omega t.

Ecuațiile rezultate sunt ecuații parametrice ale cicloidei , respectiv, traiectoria punctului roții este cicloida.

Note

↑ Targ S. M. Un scurt curs de mecanică teoretică. - M . : Liceu, 1995. - S. 156-158. — 416 p. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ Buchholz N. N. Cursul principal de mecanică teoretică / Ediția a șasea, revăzută și completată de S. M. Targ. - M . : "Nauka" , 1965. - T. 1. - S. 88-90.
↑ Adică puncte fixate în raport cu sistemul K'.
↑ Kilchevsky N. A. Curs de mecanică teoretică. - M . : „Nauka”, 1977. - T. I. - S. 144.
↑ Sivukhin D.V. Curs general de fizică. - M. : Fizmatlit , 2005. - T. I. Mecanica. - S. 362. - 560 p. — ISBN 5-9221-0225-7 .
↑ Golubev Yu. F. Fundamentele mecanicii teoretice. - M. : MGU, 2000. - S. 119. - 720 p. — ISBN 5-211-04244-1 .
↑ În acest caz este viteza absolută.
↑ Viteza relativă la Pământ.