Teoria dimensiunilor

Teoria dimensiunilor este o parte a topologiei generale , în care se studiază dimensiunile - invarianți topologici numerici de un anumit tip. Dimensiunea este definită într-un fel sau altul într-un mod natural pe o clasă largă de spații topologice. Mai mult, dacă există un poliedru (în special, o varietate ), dimensiunea coincide cu numărul de dimensiuni în sensul geometriei elementare. $X$ $X$

Tipuri de dimensiuni

Dimensiunea inductivă - dimensiuni inductive mari și mici și $\left(\operatorname {Ind}\right.$ $\left.\operatorname {ind}\right)$
Dimensiunea Lebesgue $\left(\operatorname {dim}\right)$
Dimensiunea omologică
Dimensiunea coomologică

Istorie

Prima definiție generală a dimensiunii (dimensiune inductivă mare ) a fost dată de Brouwer (1913), bazată pe ideea lui Poincaré . În 1921, Menger și Uryson , independent de Brouwer și unul de celălalt, au ajuns la o definiție similară (așa-numita dimensiune inductivă mică ). O abordare complet diferită a conceptului de dimensiune provine din Lebesgue . $\operatorname {Ind}$ $\operatorname {ind}$

Dimensiunea Hausdorff este o definiție înrudită pentru spațiile metrice . Această definiție a fost dată de Hausdorff în 1919 .

Definiție după Uryson

O figură topologică este zero-dimensională dacă nu există nicio figură conectată care să conțină mai mult de un punct în ea. O mulțime are dimensiunea zero dacă oricare dintre punctele sale are o vecinătate relativ mică, cu o limită goală [1] .

O mulțime are dimensiunea unu dacă nu este zero-dimensională, dar oricare dintre punctele sale are o vecinătate relativă arbitrar mică, a cărei limită este zero-dimensională. O mulțime are dimensiune dacă nu este , dar oricare dintre punctele sale are o vecinătate relativă arbitrar mică, a cărei graniță este normală [2] . $n$ $n-1$

Un punct al unei mulțimi este separat de un punct printr-o mulțime dacă nu există o mulțime conexă în figură care să conțină punctele și și să nu se intersecteze cu . $A$ $X$ $b$ $A$ $X$ $A$ $b$ $A$

O figură de dimensiune topologică este definită ca o figură care nu este o figură de dimensiune și în care orice punct, împreună cu vecinătatea lui, poate fi separat de restul figurii printr-un set de dimensiuni care nu depășește [3] [4] . $n$ $n-1$ $n-1$

Note

↑ Vilenkin, 1969 , p. 149.
↑ Vilenkin, 1969 , p. 151.
↑ Boltyansky, 1982 , p. 35.
↑ Vilenkin, 1969 , p. 152.

Literatură

Gurevici V. , Volman G. Teoria dimensiunii. - IL, 1948.
Boltyansky V.G. , Efremovici V.A. Topologie vizuală. — M .: Nauka, 1982. — 160 p.
Vilenkin N.Ya. Setați povești. - M. : Nauka, 1969. - 159 p.