Funcția eliptică

O funcție eliptică este, în analiza complexă , o funcție care este periodică în două direcții și este definită pe planul complex. Funcțiile eliptice pot fi considerate analoge ale funcțiilor trigonometrice (având o singură perioadă). Din punct de vedere istoric, funcțiile eliptice au fost descoperite ca funcții inverse ale integralelor eliptice .

Definiție

O funcție eliptică este o funcție meromorfă definită pe un domeniu pentru care există două numere complexe diferite de zero și astfel încât $f$ $\mathbb {C}$ $A$ $b$

f(z+a)=f(z+b)=f(z),\quad \forall z\in C,

și, de asemenea, coeficientul nu este un număr real. ${\frac {a}{b}}$

De aici rezultă că pentru orice numere întregi și $m$ $n$

f(z+ma+nb)=f(z),\quad \forall z\in C

Orice număr complex astfel încât $\omega$

f(z+\omega)=f(z),\quad \forall z\in C,

se numeste perioada functiei . Dacă punctele și sunt de așa natură încât oricare poate fi scris ca $f$ $A$ $b$ $\omega$

\omega =ma+nb,

se numesc perioade fundamentale . Fiecare funcție eliptică are o pereche de perioade fundamentale. $A$ $b$

Un paralelogram cu vârfuri la , , , se numește paralelogram fundamental . $\Pi$ $0$ $A$ $b$ $a+b$

Proprietăți

Nu există funcții eliptice întregi neconstante ( prima teoremă a lui Liouville ).
Dacă o funcție eliptică nu are poli la limita unui paralelogram , atunci suma reziduurilor de la toți polii aflați în interior este egală cu zero (a doua teoremă a lui Liouville). $f(z)$ $\alpha +\pi$ $f(z)$ $\alpha +\pi$
Orice funcție eliptică cu perioade și poate fi reprezentată ca $A$ $b$ $f(z)=h{\big (}\wp (z){\big )}+g{\big (}\wp (z){\big )}\wp '(z),$

unde h , g sunt funcții raționale, este o funcție Weierstrass cu aceleași perioade ca y . Dacă, în plus , este o funcție pară , atunci poate fi reprezentată ca , unde h este rațional.

\wp (z)

f(z)

f(z)

f(z)=h{\big (}\wp (z){\big ))

Funcțiile eliptice nu sunt elementare, acest lucru a fost dovedit de Jacobi în anii 1830.

Vezi și

Literatură

Funcții eliptice // E. Knapp. Curbe eliptice. — M.: Factorial Press, 2004.
Capitolul 11 // Privalov II Introducere în teoria funcţiilor unei variabile complexe. - M .: Ediția de stat a literaturii fizice și matematice, 1960.