Funcții de testare pentru optimizare

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 23 martie 2021; verificările necesită 14 modificări .

În matematica aplicată, funcțiile de testare cunoscute sub numele de peisaje artificiale sunt utile pentru evaluarea performanței algoritmilor de optimizare, cum ar fi:

rata de convergenta.
Precizie.
robustețe .
Performanța generală.

Acest articol prezintă câteva funcții de testare pentru a vă oferi o idee despre diferitele situații cu care trebuie să vă confruntați atunci când depășiți astfel de probleme.

Articolul prezintă formula generală a ecuației, locul funcției obiectiv, limitele variabilelor și coordonatele minimului global.

Funcții de testare pentru o singură țintă de optimizare

Nume	Formulă	Minimum global	Metoda de căutare
Funcția Rastrigin	$f(\mathbf {x} )=An+\sum _{i=1}^{n}\left[x_{i}^{2}-A\cos(2\pi x_{i})\ dreapta]$ ${\text{unde: }}A=10$	$f(0,\dots ,0)=0$	$-5,12\leq x_{i}\leq 5,12$
Funcția Ackley	$f(x,y)=-20\exp \left[-0,2{\sqrt {0,5\left(x^{2}+y^{2}\right)))\right]$ $-\exp \left[0,5\left(\cos(2\pi x)+\cos(2\pi y)\right)\right]+e+20$	$f(0,0)=0$	$-5\leq x,y\leq 5$
Funcția sferă	$f({\boldsymbol {x}})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}$	$f(x_{1},\dots,x_{n})=f(0,\dots,0)=0$	$-\infty \leq x_{i}\leq \infty$ , $1\leq i\leq n$
Funcția Rosenbrock	$f({\boldsymbol {x}})=\sum _{i=1}^{n-1}\left[100\left(x_{i+1}-x_{i}^{2} \right)^{2}+\left(x_{i}-1\right)^{2}\right]$	${\text{Min)}={\begin{cases}n=2&\rightarrow \quad f(1,1)=0,\\n=3&\rightarrow \quad f(1,1,1) =0,\\n>3&\rightarrow \quad f(\underbrace {1,\dots ,1} _{n{\text{ times}}})=0\\\end{cases}}$	$-\infty \leq x_{i}\leq \infty$ , $1\leq i\leq n$
Funcția lui Beal	$f(x,y)=\left(1,5-x+xy\right)^{2}+\left(2,25-x+xy^{2}\right)^{2}$ $+\left(2.625-x+xy^{3}\right)^{2}$	$f(3,0.5)=0$	$-4,5\leq x,y\leq 4,5$
Funcția Goldstein-Preț	$f(x,y)=\left[1+\left(x+y+1\right)^{2}\left(19-14x+3x^{2}-14y+6xy+3y^{ 2}\dreapta)\dreapta]$ $\left[30+\left(2x-3y\right)^{2}\left(18-32x+12x^{2}+48y-36xy+27y^{2}\right)\right]$	$f(0,-1)=3$	$-2\leq x,y\leq 2$
Funcția de cabină	$f(x,y)=\left(x+2y-7\right)^{2}+\left(2x+y-5\right)^{2)$	$f(1,3)=0$	$-10\leq x,y\leq 10$
Funcția Bukin N 6	$f(x,y)=100{\sqrt {\left\|y-0,01x^{2}\right\|}}+0,01\left\|x+10\right\|.\quad$	$f(-10,1)=0$	$-15\leq x\leq -5$ , $-3\leq y\leq 3$
Funcția lui Matthias	$f(x,y)=0,26\left(x^{2}+y^{2}\right)-0,48xy$	$f(0,0)=0$	$-10\leq x,y\leq 10$
Funcția de taxare N 13	$f(x,y)=\sin ^{2}3\pi x+\left(x-1\right)^{2}\left(1+\sin ^{2}3\pi y\right) )$ $+\left(y-1\right)^{2}\left(1+\sin ^{2}2\pi y\right)$	$f(1,1)=0$	$-10\leq x,y\leq 10$
Funcția Himmelblau	$f(x,y)=(x^{2}+y-11)^{2}+(x+y^{2}-7)^{2}.\quad$	${\text{Min)}={\begin{cases}f\left(3.0,2.0\right)&=0.0\\f\left(-2.805118,3.131312\right)&=0.0\\f\ stânga(-3.779310,-3.283186\right)&=0.0\\f\left(3.584428,-1.848126\right)&=0.0\\\end{cases}}$	$-5\leq x,y\leq 5$
Funcția cămilei cu trei cocoașe	$f(x,y)=2x^{2}-1,05x^{4}+{\frac {x^{6}}{6}}+xy+y^{2}$	$f(0,0)=0$	$-5\leq x,y\leq 5$
Funcția Isom	$f(x,y)=-\cos \left(x\right)\cos \left(y\right)\exp \left(-\left(\left(x-\pi \right)^{ 2}+\stânga(y-\pi\dreapta)^{2}\dreapta)\dreapta)$	$f(\pi ,\pi )=-1$	$-100\leq x,y\leq 100$
Funcția „Cruce pe tavă”. (Funcția de încrucișare în tavă)	$f(x,y)=-0,0001\left[\left\|\sin x\sin y\exp \left(\left\|100-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{ 2}}}{\pi }}\right\|\right)\right\|+1\right]^{0.1}$	${\text{Min)}={\begin{cases}f\left(1,34941,-1,34941\right)&=-2,06261\\f\left(1,34941,1,34941\right)&=-2,06261\\ f\left(-1.34941,1.34941\right)&=-2.06261\\f\left(-1.34941,-1.34941\right)&=-2.06261\\\end{cases}}$	$-10\leq x,y\leq 10$
Funcția stand de ouă (Funcția suport de ouă)	$f(x,y)=-\left(y+47\right)\sin {\sqrt {\left\|{\frac {x}{2))+\left(y+47\right)\ dreapta\|}}-x\sin {\sqrt {\left\|x-\left(y+47\right)\right\|}}$	$f(512,404,2319)=-959,6407$	$-512\leq x,y\leq 512$
Funcția de suport tabelar	$f(x,y)=-\left\|\sin x\cos y\exp \left(\left\|1-{\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2)}} {\pi ))\dreapta\|\dreapta)\dreapta\|$	${\text{Min)}={\begin{cases}f\left(8.05502,9.66459\right)&=-19.2085\\f\left(-8.05502,9.66459\right)&=-19.2085\\ f\left(8.05502,-9.66459\right)&=-19.2085\\f\left(-8.05502,-9.66459\right)&=-19.2085\end{cases}}$	$-10\leq x,y\leq 10$
Funcția McCormick	$f(x,y)=\sin \left(x+y\right)+\left(xy\right)^{2}-1,5x+2,5y+1$	$f(-0,54719;-1,54719)=-1,9133$	$-1,5\leq x\leq 4$ , $-3\leq y\leq 4$
Funcția Shaffer N2	$f(x,y)=0,5+{\frac {\sin ^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right) -0,5}{\left[1+0,001\ stânga(x^{2}+y^{2}\dreapta)\dreapta]^{2}}}$	$f(0,0)=0$	$-100\leq x,y\leq 100$
Funcția Shaffer N4	${\displaystyle f(x,y)=0,5+{\frac {\cos ^{2}\left[\sin \left(\left\|x^{2}-y^{2}\right\|\right) \right]-0,5}{\left[1+0,001\left(x^{2}+y^{2}\right)\right]^{2))))$	$f(0,1,25313)=0,292579$	$-100\leq x,y\leq 100$
Funcția Stybinsky-Tang	$f({\boldsymbol {x)})={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{4}-16x_{i}^{2}+5x_{ i}}{2}}$	$-39,16617n<f(\underbrace {-2,903534,\ldots ,-2,903534} _{n{\text{ times}}})<-39,16616n$	$-5\leq x_{i}\leq 5$ .. _ $1\leq i\leq n$

Funcții de testare pentru optimizarea condiționată

Nume	Formulă	Minimum global	Metoda de căutare
funcția rosenbrock, limitată la cubic și direct [1]	$f(x,y)=(1-x)^{2}+100(yx^{2})^{2)$ , supus la: $(x-1)^{3}-y+1<0{\text{ și }}x+y-2<0$	$f(1.0,1.0)=0$	$-1,5\leq x\leq 1,5$ , $-0,5\leq y\leq 2,5$
Funcția lui Rosenbrock limitată de un disc [2]	$f(x,y)=(1-x)^{2}+100(yx^{2})^{2)$ , supus la: $x^{2}+y^{2}<2$	$f(1.0,1.0)=0$	$-1,5\leq x\leq 1,5$ , $-1,5\leq y\leq 1,5$
Funcția Mishra-Bird delimitată [3] [4]	$f(x,y)=\sin(y)e^{\left[(1-\cos x)^{2}\right]}+\cos(x)e^{\left[(1 -\sin y)^{2}\right]}+(xy)^{2}$ , supus la: $(x+5)^{2}+(y+5)^{2}<25$	$f(-3,1302468;-1,5821422)=-106,7645367$	$-10\leq x\leq 0$ , $-6,5\leq y\leq 0$
Funcția Townsend modificată [5]	$f(x,y)=-[\cos((x-0.1)y)]^{2}-x\sin(3x+y)$ , supus la: unde: t = Atan2(x,y) $x^{2}+y^{2}<\left[2\cos t-{\frac {1}{2}}\cos 2t-{\frac {1}{4}}\cos 3t -{\frac {1}{8}}\cos 4t\right]^{2}+[2\sin t]^{2}$	$f(2,0052938,1,1944509)=-2,0239884$	$-2,25\leq x\leq 2,5$ , $-2,5\leq y\leq 1,75$
funcția Simonescu [6]	$f(x,y)=0,1xy$ , supus la: $x^{2}+y^{2}\leq \left[r_{T}+r_{S}\cos \left(n\arctan {\frac {x}{y}}\right)\ dreapta]^{2}$ ${\text{unde: }}r_{T}=1,r_{S}=0,2{\text{ și }}n=8$	$f(\pm 0,85586214,\mp 0,85586214)=-0,072625$	$-1,25\leq x,y\leq 1,25$

Funcții de testare pentru optimizarea multiobiectivă

Titlu/Imagine	Formulă	Minim	Zona de căutare
Funcția Bean și Korn	${\text{Minimizare}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=4x^{2}+4y^{2}\\f_{2}\ stânga(x,y\right)&=\left(x-5\right)^{2}+\left(y-5\right)^{2}\\\end{cases}}$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&=\left(x-5\right)^{2}+y^{2 }\leq 25\\g_{2}\left(x,y\right)&=\left(x-8\right)^{2}+\left(y+3\right)^{2}\geq 7.7\\\end{cazuri}}$	$0\leq x\leq 5$ , $0\leq y\leq 3$
Funcționează Chakong și Haimes	${\text{Minimizare}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=2+\left(x-2\right)^{2}+\left (y-1\right)^{2}\\f_{2}\left(x,y\right)&=9x-\left(y-1\right)^{2}\\\end{cases} }$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&=x^{2}+y^{2}\leq 225\\g_{ 2}\left(x,y\right)&=x-3y+10\leq 0\\\end{cases}}$	$-20\leq x,y\leq 20$
Funcția Fonseca și Fleming	${\text{Minimizare}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1-\exp \left(-\sum _{i= 1}^{n}\left(x_{i}-{\frac {1}{\sqrt {n))}\right)^{2}\right)\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1-\exp \left(-\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}+{\frac {1}{\sqrt {n}} }\right)^{2}\right)\\\end{cases}}$		$-4\leq x_{i}\leq 4$ , $1\leq i\leq n$
funcția de testare 4	${\text{Minimizare}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=x^{2}-y\\f_{2}\left(x, y\right)&=-0.5xy-1\\\end{cases}}$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&=6,5-{\frac {x}{6}}-y\geq 0\ \g_{2}\left(x,y\right)&=7,5-0,5xy\geq 0\\g_{3}\left(x,y\right)&=30-5x-y\geq 0\\ \end{cazuri}}$	$-7\leq x,y\leq 4$
Funcția cursivă	${\text{Minimizare}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=\sum _{i=1}^{2}\left [-10\exp \left(-0,2{\sqrt {x_{i}^{2}+x_{i+1}^{2}}}\right)\right]\\&\\f_{2} \left({\boldsymbol {x}}\right)&=\sum _{i=1}^{3}\left[\left\|x_{i}\right\|^{0.8}+5\sin \left (x_{i}^{3}\dreapta)\dreapta]\\\end{cases}}$		$-5\leq x_{i}\leq 5$ , . $1\leq i\leq 3$
Funcția Schaffer N. 1	${\text{Minimizare}}={\begin{cases}f_{1}\left(x\right)&=x^{2}\\f_{2}\left(x\right)&= \left(x-2\right)^{2}\\\end{cases}}$		$-A\leq x\leq A$ . Valorile formei să fi fost utilizate cu succes. Valorile mai mari ale cresc dificultatea problemei. $A$ $zece$ $10^{5}$ $A$
Funcția Schaffer N.2	${\text{Minimizare}}={\begin{cases}f_{1}\left(x\right)&={\begin{cases}-x,&{\text{if }}x\leq 1\\x-2,&{\text{if }}1<x\leq 3\\4-x,&{\text{if }}3<x\leq 4\\x-4,&{\ text{dacă }}x>4\\\end{cases}}\\f_{2}\left(x\right)&=\left(x-5\right)^{2}\\\end{cases }}$		$-5\leq x\leq 10$ .
Funcția obiectivă Poloni2	${\text{Minimizare}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=\left[1+\left(A_{1}-B_{1}\ stânga(x,y\dreapta)\right)^{2}+\left(A_{2}-B_{2}\left(x,y\right)\right)^{2}\right]\\f_ {2}\left(x,y\right)&=\left(x+3\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}\\\end{cases}}$ ${\text{unde}}={\begin{cases}A_{1}&=0,5\sin \left(1\right)-2\cos \left(1\right)+\sin \left( 2\right)-1,5\cos \left(2\right)\\A_{2}&=1,5\sin \left(1\right)-\cos \left(1\right)+2\sin \left( 2\right)-0,5\cos \left(2\right)\\B_{1}\left(x,y\right)&=0,5\sin \left(x\right)-2\cos \left(x \right)+\sin \left(y\right)-1,5\cos \left(y\right)\\B_{2}\left(x,y\right)&=1,5\sin \left(x\right) )-\cos \left(x\right)+2\sin \left(y\right)-0,5\cos \left(y\right)\end{cases}}$		$-\pi \leq x,y\leq \pi$
Funcția Zister-Dieb-Teri N. 1	${\text{Minimizare}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}\\f_{2}\left({ \boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left ({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i= 2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\dreapta )&=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)))}\\ \end{cazuri}}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 30$
Funcția Zister-Dieb-Teri N. 2	${\text{Minimizare}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}\\f_{2}\left({ \boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left ({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i= 2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\dreapta )&=1-\stânga({\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)))\dreapta) ^{2}\\\end{cazuri}}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 30$
Funcția Zister-Dieb-Terin N. 3	${\text{Minimizare}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}\\f_{2}\left({ \boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left ({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1+{\frac {9}{29}}\sum _{i= 2}^{30}x_{i}\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\dreapta )&=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)))}-\ stânga({\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)))\right)\sin \left(10 \pi f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\end{cases}}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 30$
Funcția Zister-Dieb-TeriN. patru	${\text{Minimizare}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}\\f_{2}\left({ \boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x}}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left ({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left({\boldsymbol {x}}\right)&=91+\sum _{i=2}^{10}\left(x_ {i}^{2}-10\cos \left(4\pi x_{i}\right)\right)\\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right) ,g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)&=1-{\sqrt {\frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\ stânga({\boldsymbol {x}}\right)}}}\end{cases}}$		$0\leq x_{1}\leq 1$ . . $-5\leq x_{i}\leq 5$ $2\leq i\leq 10$
Funcția Zister-Dieb-Teri N. 6	${\text{Minimizare}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=1-\exp \left(-4x_{1}\right) )\sin ^{6}\left(6\pi x_{1}\right)\\f_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=g\left({\boldsymbol {x }}\right)h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)\\g\left( {\boldsymbol {x}}\right)&=1+9\left[{\frac {\sum _{i=2}^{10}x_{i}}{9}}\right]^{0,25} \\h\left(f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right),g\left({\boldsymbol {x}}\right)\right)&=1-\left({\ frac {f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)}{g\left({\boldsymbol {x}}\right)}}\right)^{2}\\\end{case }}$		$0\leq x_{i}\leq 1$ , . $1\leq i\leq 10$
Funcția Winnet	${\text{Minimizare}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=0,5\left(x^{2}+y^{2}\right) +\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)\\f_{2}\left(x,y\right)&={\frac {\left(3x-2y+4\ dreapta)^{2}}{8}}+{\frac {\left(x-y+1\right)^{2}}{27}}+15\\f_{3}\left(x,y \right)&={\frac {1}{x^{2}+y^{2}+1}}-1,1\exp \left(-\left(x^{2}+y^{2}\ dreapta)\dreapta)\\\end{cazuri}}$		$-3\leq x,y\leq 3$ .
Funcția lui Osyzki și Kundu	$F_{1}(x)=-25\left(x_{1}-2\right)^{2}-\left(x_{2}-2\right)^{2}$ $-\left(x_{3}-1\right)^{2}-\left(x_{4}-4\right)^{2}-\left(x_{5}-1\right) ^{2}$ ${\text{Minimizare}}={\begin{cases}f_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=F_{1}(x)\\f_{2}\ stânga({\boldsymbol {x}}\right)&=\sum _{i=1}^{6}x_{i}^{2}\\\end{cases}}$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=x_{1}+x_{2}-2\geq 0 \\g_{2}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=6-x_{1}-x_{2}\geq 0\\g_{3}\left({\boldsymbol {x} }\right)&=2-x_{2}+x_{1}\geq 0\\g_{4}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=2-x_{1}+3x_{ 2}\geq 0\\g_{5}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=4-\left(x_{3}-3\right)^{2}-x_{4}\ geq 0\\g_{6}\left({\boldsymbol {x}}\right)&=\left(x_{5}-3\right)^{2}+x_{6}-4\geq 0\ sfârșit{cazuri}}$	$0\leq x_{1},x_{2},x_{6}\leq 10$ , , . $1\leq x_{3},x_{5}\leq 5$ $0\leq x_{4}\leq 6$
Funcția CTP1 (2 variabile)	${\text{Minimizare}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=x\\f_{2}\left(x,y\right)&= \left(1+y\right)\exp \left(-{\frac {x}{1+y}}\right)\end{cases}}$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&={\frac {f_{2}\left(x,y\right)} {0,858\exp \left(-0,541f_{1}\left(x,y\right)\right)}}\geq 1\\g_{1}\left(x,y\right)&={\frac {f_{2}\left(x,y\right)}{0,728\exp \left(-0,295f_{1}\left(x,y\right)\right)}}\geq 1\end{cases} }$	$0\leq x,y\leq 1$ .
Problema Constr-Ex	${\text{Minimizare}}={\begin{cases}f_{1}\left(x,y\right)&=x\\f_{2}\left(x,y\right)&= {\frac {1+y}{x}}\\\end{cazuri}}$	${\text{st}}={\begin{cases}g_{1}\left(x,y\right)&=y+9x\geq 6\\g_{1}\left(x,y \right)&=-y+9x\geq 1\\\end{cases}}$	$0,1\leq x\leq 1$ , $0\leq y\leq 5$

Vezi și

Literatură

Panteleev A. V., Metlitskaya D. V., E. A. Aleshina Metode de optimizare globală. Strategii și algoritmi metaeuristici // M.: Vuzovskaya kniga. 2013. 244 p. ISBN 978-5-9502-0743-3
Sergienko AB Funcții de testare pentru optimizare globală.

Link -uri

Testarea algoritmilor de optimizare multivariată

Note

↑ Simionescu, PA (29 septembrie–2 octombrie 2002). Noi concepte în vizualizarea grafică a funcțiilor obiective (PDF) . ASME 2002 International Design Engineering Technical Conferences și Computers and Information in Engineering Conference. Montreal, Canada. pp. 891-897. Arhivat (PDF) din original pe 2017-01-08 . Preluat la 7 ianuarie 2017 . Parametrul depreciat folosit |deadlink=( ajutor )
↑ Rezolvarea unei probleme neliniare constrânse - MATLAB & Simulink . www.mathworks.com . Preluat la 29 august 2017. Arhivat din original la 29 august 2017. (nedefinit)
↑ Problema păsărilor (constrânsă) | Integrare Phoenix (link indisponibil) . wayback.archive.org . Preluat la 29 august 2017. Arhivat din original la 29 decembrie 2016. (nedefinit)
↑ Mishra, Sudhanshu. Câteva funcții noi de testare pentru optimizarea globală și performanța metodei roiului de particule respingătoare (engleză) // MPRA Paper : journal. - 2006. Arhivat la 4 noiembrie 2018.
↑ Townsend, Alex Optimizare constrânsă în Chebfun . chebfun.org (ianuarie 2014). Preluat la 29 august 2017. Arhivat din original la 29 august 2017. (nedefinit)
↑ Simionescu , PA Instrumente de grafică și simulare asistate de computer pentru utilizatorii AutoCAD . — 1-a. — Boca Raton, FL: CRC Press , 2014. — ISBN 978-1-4822-5290-3 .