Acțiune de grup

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 15 aprilie 2022; verificările necesită 4 modificări .

Acțiunea unui grup asupra unui anumit set de obiecte face posibilă studierea simetriilor acestor obiecte folosind aparatul teoriei grupurilor .

Definiții

Acțiune rămasă

Se spune că un grup acționează din stânga asupra unei mulțimi dacă este dat un homomorfism de la grup la grupul simetric al mulțimii . Pentru concizie , este adesea scris ca , sau . Elementele grupului se numesc în acest caz transformări , iar grupul însuși se numește grup de transformare mulțime . $G$ $M$ $\Phi \colon G\to S(M)$ $G$ $S(M)$ $M$ $(\Phi (g))(m)$ $gm$ $g\cdot m$ $g{.}m$ $G$ $G$ $M$

Cu alte cuvinte, grupul acționează din stânga pe mulțime dacă este dată o mapare , notată cu , astfel încât $G$ $M$ $G\ori M\la M$ $(g,m)=gm$

$(gh)m=g(hm)$ pentru toată lumea și $g,\;h\în G$ $m\în M$
$em=m$ , unde este elementul neutru al grupului . Putem spune că unitatea grupului îi corespunde fiecărui element propriu; o astfel de transformare se numește identică . $e$ $G$ $M$

Acțiune dreapta

În mod similar, acțiunea corectă a unui grup este dată de homomorfismul , unde este grupul invers al grupului . În acest caz, se folosește adesea abrevierea: . În acest caz, axiomele homomorfismului sunt scrise după cum urmează: $G$ $M$ $\rho :G^{op}\la S(M)$ $G^{{op}}$ $G$ $\rho (g)(m)=:mg$

$m(gh)=(mg)h,$
$eu=m.$

Comentarii

Orice acțiune din dreapta a unui grup este o acțiune din stânga . De asemenea, deoarece fiecare grup este izomorf cu grupul său invers (de exemplu, maparea este un izomorfism ), atunci din fiecare acțiune din dreapta este posibil să se obțină o acțiune din stânga folosind un astfel de izomorfism. Prin urmare, de regulă, sunt studiate doar acțiunile din stânga. $G$ $G^{{op}}$ $g\mapsto g^{-1}$
Dacă un set este prevăzut cu o structură suplimentară, atunci se presupune de obicei că maparea păstrează această structură. $M$ $m\mapsto gm$
- De exemplu, dacă este un spațiu topologic , atunci se presupune că este continuu (deci, un homeomorfism). O astfel de acțiune de grup este mai precis numită acțiune continuă . $M$ $m\mapsto gm$

Tipuri de acțiuni

Gratuit , dacă pentru orice diferit și orice este satisfăcut . $g,\;h\în G$ $m\în M$ $gm\neq hm$
Tranzitiv dacă pentru oricare există astfel încât . Cu alte cuvinte, o acțiune este tranzitivă dacă pentru orice element . $m,\;n\în M$ $g\în G$ $gm=n$ $Gm=M$ $m\în M$
- O acțiune primitivă este tranzitivă și nu păstrează submulțimi netriviale . $M$
Eficient dacă pentru oricare două elemente există astfel încât . $g\neq h$ $G$ $m\în M$ $gm\neq hm$
Complet discontinuu dacă pentru orice mulțime compactă mulțimea tuturor pentru care intersecția este nevidă este finită. $K$ $g\în G$ $K\cap gK$

Pe spațiile topologice și varietățile netede se iau în considerare în mod special și acțiunile grupurilor dotate cu structurile suplimentare corespunzătoare: grupuri topologice și grupuri Lie . O acțiune a unui grup topologic asupra unui spațiu topologic se spune că este continuă dacă este continuă ca o mapare între spații topologice. O acțiune lină a unui grup Lie pe o varietate netedă este definită în mod similar . $\rho :G\la \mathrm {X}$

O acțiune continuă a unui grup asupra unui spațiu este rigidă (sau cvasi -analitică ) dacă faptul că un element al grupului acționează ca o mapare identică pe o submulțime deschisă a spațiului implică faptul că acesta este elementul de identitate al grupului.
- Orice acțiune continuă efectivă a izometriilor pe o varietate riemanniană conexă este în mod necesar rigidă, ceea ce nu se poate spune despre spațiile metrice generale. De exemplu, acțiunea unui grup ciclic de ordinul 2 prin permutarea a două muchii pe un grafic format din trei muchii care vin din același punct este eficientă, dar nu rigidă.
Se spune că o acțiune continuă a unui grup este cocompactă dacă spațiul coeficient prin această acțiune este compact.

Orbite

Subset

Gm=\{gm\mid g\in G\}\subset M

se numește orbita elementului (uneori notată ca ). $m\în M$ $\mathrm {Orb} (m)$

Acțiunea unui grup asupra unei mulțimi definește o relație de echivalență asupra acesteia $G$ $M$

\forall n,\;m\in M\;(n\,\sim _{_{G}}\,m)\Longftrightarrow (\exists g\in G\;:\;gn=m)\Longleftrightarrow ( Gn=Gm).

În acest caz, clasele de echivalență sunt orbitele elementelor. Prin urmare, dacă numărul total de clase de echivalență este , atunci $k$

M=Gm_{1}\sqcup Gm_{2}\sqcup \ldots \sqcup Gm_{k},

unde sunt inechivalente pe perechi. Pentru o acțiune tranzitivă . $m_{1},\;m_{2},\;\ldots ,\;m_{k}\în M$ $k=1$

Stabilizatoare

Subset

G_{m}=\{g\in G\mid gm=m\}\subset G

este un subgrup al grupului și se numește stabilizator , sau subgrupul staționar al elementului (uneori notat ca ). $G$ $m\în M$ $\mathrm {Stab} (m)$

Stabilizatorii elementelor unei orbite sunt conjugați, adică dacă , atunci există un element astfel încât $n\,\sim _{_{G}}\,m$ $g\în G$

G_{m}=gG_{n}g^{-1}.

Numărul de elemente pe o orbită

|Gm|=[G:G_{m}]

, este stabilizatorul elementului și este indicele subgrupului , în cazul grupurilor finite este egal cu .

G_{m}

m

[G:G_{m}]

G_{m}\subset G

{\frac {|G|}{|G_{m}|}}

Dimensiunea orbitei poate fi calculată după cum urmează:

\dim |Gm|=\dim |G|-\dim |G_{m}|

, Unde

$\dim |Gm|$ dimensiunea unei orbite individuale,

\dim |G_{m}|

dimensiunea stabilizatorului, dimensiunea grupului Lie.

\dim |G|

Dacă , atunci $M=Gm_{1}\sqcup Gm_{2}\sqcup \ldots \sqcup Gm_{k}$

|M|=\sum _{t=1}^{k}[G:G_{m_{t}}]

este formula de expansiune în orbite .

Această formulă implică și următoarele identități:

$\forall m\in M\;\sum _{n\in Gm}|G_{n}|=|G|;$
$\sum _{m\in M}|G_{m}|=k|G|;$
Lema lui Burnside .

Exemple de acțiuni

Self Actions

Stânga

Acțiunea asupra ta din stânga este cel mai simplu exemplu de acțiune. În acest caz , iar homomorfismul este dat ca . $M=G$ $\Phi :G\la S(G)$ $(\Phi (g))(h)=gh$

Dreapta

Acţiunea asupra ei din dreapta este definită în mod similar: . $(\Phi (g))(h)=hg^{-1}$

Stânga și dreapta

Aceste două acțiuni sunt acțiuni ale subgrupurilor produsului direct pe cu homomorfismul dat de . $G\ ori G$ $M=G$ $\Phi :G\time G\la S(G)$ $(\Phi (g_{1},\;g_{2}))(h)=g_{1}hg_{2}^{-1}$

Conjugări

Fie , iar homomorfismul să fie dat ca . În plus, pentru fiecare element , stabilizatorul coincide cu centralizatorul : $M=G$ $\Phi :G\la S(G)$ $(\Phi (g))(h)=ghg^{-1}$ $h\în G$ $G_{h}$ $C(h)$

G_{h}=\{g\in G\mid ghg^{-1}=h\}=\{g\in G\mid gh=hg\}=C(h).

De exemplu, pentru un element din centrul grupului (adică ) avem și . $h$ $G$ $h\în Z(G)$ $C(h)=G$ $G_{h}=G$

Variații și generalizări

Pseudogrup transformat

Vezi și

Vizualizare grup

Literatură

Vinberg, E. B. Curs de algebră. - Ed. a 3-a. - M . : Editura Presa Factorială, 2002. - ISBN 5-88688-0607 . .
Kostrikin, A. I. Introducere în algebră. Partea a III-a. Structuri de bază. - Ed. a 3-a. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 272 p. - ISBN 5-9221-0489-6 . .