Homomorfismul de grup

În matematică , având în vedere două grupuri ( G , ∗) și ( H , •), un homomorfism de grup de la ( G , ∗) la ( H , •) este o funcție h : G → H astfel încât pentru toate u și v din G _

h(u*v)=h(u)\cdot h(v),

unde operația de grup din stânga semnului „=" se referă la grupul G , iar operația din dreapta se referă la grupul H.

Din aceasta putem deduce că h mapează elementul neutru e G al grupului G la elementul neutru e H al grupului H și, de asemenea, mapează inverse la inverse în sensul că

h(u^{-1})=h(u)^{-1}.

Astfel, se poate spune că h „conservă structura grupului”.

În lucrările anterioare, h ( x ) putea fi notat ca x h , deși acest lucru poate duce la confuzie cu indici. Recent, a existat o tendință de a omite parantezele atunci când se scrie un homomorfism, astfel încât h ( x ) devine doar xh . Această tendință este vizibilă în special în domeniile teoriei grupurilor în care se aplică automatizarea , deoarece aceasta este în acord mai bine cu citirea de la stânga la dreapta a cuvintelor convenționale în automate.

În domeniile matematicii în care grupurile sunt înzestrate cu structuri suplimentare, un homomorfism este uneori înțeles ca o mapare care păstrează nu numai structura grupului (ca mai sus), ci și structura suplimentară. De exemplu, un homomorfism al grupurilor topologice este adesea presupus a fi continuu.

Concept

Scopul definirii unui homomorfism de grup este de a crea funcții care păstrează structura algebrică. O definiție echivalentă a unui homomorfism de grup: O funcție h : G → H este un homomorfism de grup dacă a ∗ b = c implică h ( a ) ⋅ h ( b ) = h ( c ). Cu alte cuvinte, grupul H este într-un anumit sens similar cu structura algebrică a lui G , iar homomorfismul h îl păstrează.

Imagine și nucleu

Definim nucleul h ca mulțime de elemente din G care se mapează la un element neutru din H

\mathop {\mathrm {Ker} } (h):=\{u\in G:h(u)=e_{H}\}{\mbox{.))

iar imaginea h ca

\mathop {\mathrm {Im} } (h):=h(G):=\left\{h(u)\colon u\in G\right\}{\mbox{.))

Nucleul h este un subgrup normal al lui G , iar imaginea lui h este un subgrup al lui H :

h\left(g^{-1}\circ u\circ g\right)=h(g)^{-1}\cdot h(u)\cdot h(g)=h(g)^ {-1}\cdot e_{H}\cdot h(g)=h(g)^{-1}\cdot h(g)=e_{H}.

Un homomorfism h este injectiv (și se numește monomorfism de grup ) dacă și numai dacă ker( h ) = { e G }.

Nucleul și imaginea unui homomorfism pot fi înțelese ca măsurând cât de aproape este un homomorfism de un izomorfism. Prima teoremă de izomorfism afirmă că imaginea unui homomorfism al grupului h ( G ) este izomorfă cu coeficientul grupului G /ker h .

Exemple

Luați grupul ciclic Z /3 Z = {0, 1, 2} și grupul de numere întregi Z prin adunare. Maparea h : Z → Z /3 Z cu h ( u ) = u mod 3 este un homomorfism. Este surjectiv și nucleul său este format din numere întregi divizibile cu 3.

Să luăm un grup

G:=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\bigg |}a>0,b\in \mathbf {R} \right\}

Pentru orice număr complex u , funcția f u : G → C este definită ca:

{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\mapsto a^{u}

este un homomorfism.

Să luăm un grup de numere reale pozitive cu operația de înmulțire ( R + , ⋅) . Pentru orice număr complex u , funcția f u : R + → C definită ca

f_{u}(a)=a^{u}

este un homomorfism.

Maparea exponențială este un homomorfism din grupul de numere reale R prin adăugare la grupul de numere reale non-nule R * prin înmulțire. Miezul este mulțimea {0}, iar imaginea constă din numere pozitive reale.

Maparea exponențială formează și un homomorfism din grupul de numere complexe C prin adăugare la grupul de numere complexe non-nule C * prin înmulțire. Această mapare este surjectivă, nucleul său este mulțimea {2π ki : k ∈ Z }, așa cum se poate vedea din formula lui Euler . Câmpuri precum R și C care au un homomorfism dintr-un grup prin adăugare la un grup prin înmulțire se numesc câmpuri exponențiale .

Categorii de grupuri

Dacă h : G → H și k : H → K sunt homomorfisme de grup, atunci k o h : G → K este și un homomorfism. Aceasta arată că clasa tuturor grupurilor, împreună cu homomorfismele de grup ca morfisme, formează categoria .

Tipuri de mapări homomorfe

Dacă homomorfismul h este o bijecție , atunci se poate demonstra că maparea inversă este și un homomorfism de grup și atunci h se numește izomorfism . În acest caz, grupurile G și H se numesc izomorfe - diferă doar în denumirea elementelor și a operațiilor și sunt identice pentru utilizare practică.

Dacă h : G → G este un homomorfism de grup, îl numim un endomorfism al lui G . Dacă este și bijectiv și, prin urmare, este un izomorfism, se numește automorfism . Mulțimea tuturor automorfismelor grupului G cu alcătuirea funcțiilor ca operație formează în sine un grup, grupul automorfismelor lui G . Acest grup este notat ca Aut( G ). Ca exemplu, automorfismul de grup ( Z , +) conține doar două elemente (transformarea identității și înmulțirea cu −1) și este izomorf cu Z /2 Z .

Un epimorfism este un homomorfism surjectiv , adică un homomorfism pe . Un monomorfism este un homomorfism injectiv , adică un homomorfism unu-la-unu .

Omomorfisme ale grupurilor abeliene

Dacă G și H sunt grupuri abeliene (adică comutative), atunci mulțimea Hom( G , H ) a tuturor homomorfismelor de la G la H este ea însăși un grup abelian - suma h + k a două homomorfisme este definită ca

( h + k )( u ) = h ( u ) + k ( u ) pentru tot u din G .

Comutativitatea lui H este necesară pentru a demonstra că h + k este din nou un homomorfism de grup.

De asemenea, homomorfismele sunt compatibile cu alcătuirea homomorfismelor în următorul sens: dacă f aparține lui Hom( K , G ), h , k sunt elemente ale lui Hom( G , H ), iar g aparține lui Hom( H , L ), atunci

( h + k ) o f = ( h o f ) + ( k o f ) și g o ( h + k ) = ( g o h ) + ( g o k ).

Aceasta arată că mulțimea End( G ) a tuturor endomorfismelor unui grup abelian formează un inel , inelul de endomorfism al grupului G . De exemplu, inelul de endomorfism al unui grup abelian, constând din suma directă m copii ale lui Z / n Z , este izomorf cu inelul de m × m matrice cu elemente din Z / n Z . Compatibilitatea menționată mai sus arată, de asemenea, că categoria tuturor grupurilor abeliene cu homomorfisme formează o categorie pre-aditivă . Existența sumelor directe și a nucleelor cu comportament bine condiționat face din această categorie un exemplu de categorie abeliană .

Vezi și

Teorema fundamentală a homomorfismului

Link -uri

D.S. Dummit, R. Foote. Algebră abstractă . - 3. - Wiley, 2004. - S. 71 -72. — ISBN 9780471433347 .
Leng S. Algebră. - Moscova: Mir, 1968.