Matrice tridiagonală

O matrice tridiagonală sau matrice Jacobi [1] este o matrice de bandă de următoarea formă:

{\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&a_{2}&b_{2}\\&c_{2}&\ddots &\ddots \\&&\ddots &\ ddots &b_{n-1}\\&&&c_{n-1}&a_{n}\end{pmatrix}},

unde în toate celelalte locuri, cu excepția diagonalei principale și a două adiacente acesteia, există zerouri.

Sistemele de ecuații algebrice liniare cu astfel de matrici sunt întâlnite în rezolvarea multor probleme de fizică matematică. Condițiile la limită și , care sunt preluate din contextul problemei, definesc primul și ultimul rând. Deci, condiția de limită de primul fel va defini primul rând în forma , , iar condiția de limită de al doilea fel va corespunde valorilor , . $x_{1}$ $x_{n}$ $F{\bigl |}_{x=x_{1}}=f_{1}$ $c_{1}=1$ $b_{1}=0$ ${\frac {\partial F}{\partial x}}{\Bigl |}_{x=x_{1}}=f_{1}$ $c_{1}=-1$ $b_{1}=1$

Determinant

Determinantul unei matrice tridiagonale este dat de următoarea formulă recurentă [2] . Sa punem

f_{n}={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&a_{2}&b_{2}\\&c_{2}&\ddots &\ddots \\ &&\ddots &\ddots &b_{n-1}\\&&&c_{n-1}&a_{n}\end{vmatrix}}

pentru toți n > 1 și f 1 = a 1 . Apoi

f_{n}=a_{n}f_{n-1}-c_{n-1}b_{n-1}f_{n-2},

unde f 0 = 1 și f -1 = 0.

Metoda măturare

Pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare de forma Ax = F , unde A este o matrice tridiagonală, se folosește de obicei metoda balarii .

Vezi și

Note

↑ Prasolov V.V. Probleme și teoreme ale algebrei liniare . — M .: Nauka, 1996. — ISBN 5-02-014727-3 . Arhivat pe 9 ianuarie 2015 la Wayback Machine
↑ El-Mikkawy, MEA Despre inversul unei matrice tridiagonale generale (nedefinită) // Matematică aplicată și calcul. - 2004. - T. 150 , nr 3 . - S. 669-679 . - doi : 10.1016/S0096-3003(03)00298-4 .