Formula trigonometrică a lui Vieta

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 22 noiembrie 2021; verificările necesită 4 modificări .

Formula trigonometrică a lui Vieta este una dintre modalitățile de a rezolva ecuația cubică $x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$

Prima soluție la această ecuație a fost găsită de Niccolo Tartaglia , Gerolamo Cardano și-a publicat soluția în 1545 sub propriul său nume (vezi formula lui Cardano ). Cu toate acestea, formula Vieta este mai convenabilă pentru utilizare practică.[ clarifica ] pentru că îți permite să faci fără valori imaginare.

Formula

calculati $Q={\frac {3b-a^{2}}{9}}$
calculati $R={\frac {9ab-2a^{3}-27c}{54}}$
calculati $S=Q^{3}+R^{2}$
Dacă , atunci calculăm și avem trei rădăcini reale: $S<0$ $\phi ={\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {R}{\sqrt {-Q^{3}}}}\right)$ $x_{1}=2{\sqrt {-Q}}\cos(\phi )-{\frac {a}{3}}$ $x_{2,3}=2{\sqrt {-Q}}\cos \left(\phi \pm {\frac {2}{3}}\pi \right)-{\frac {a} {3}}$
Dacă , atunci înlocuim funcțiile trigonometrice cu unele hiperbolice . Următoarele cazuri sunt posibile aici, în funcție de semn : $S>0$ $Q$
- $Q>0$ : $\phi ={\frac {1}{3}}\,\operatorname {Arch}\left({\frac {|R|}({\sqrt {Q^{3}}}}}\right)$ $x_{1}=-2\operatorname{sgn}(R){\sqrt {Q}}\,\operatorname {ch}(\phi )-{\frac {a}{3}}$ (radacina adevarata) $x_{{2,3}}=\operatorname{sgn}(R){\sqrt {Q}}\,\operatorname {ch}(\phi )-{\frac {a}{3}}\pm i{ \sqrt {3}}{\sqrt {Q}}\,\operatorname {sh}(\phi )$ (pereche de rădăcini complexe)
- $Q<0$ : $\phi ={\frac {1}{3}}\,\operatorname {Arsh}\left({\frac {|R|}({\sqrt {|Q|^{3))))}\dreapta)$ $x_{1}=-2\operatorname{sgn}(R){\sqrt {|Q|}}\,\operatorname {sh}(\phi )-{\frac {a}{3}}$ (radacina adevarata) $x_{{2,3}}=\operatorname{sgn}(R){\sqrt {|Q|}}\,\operatorname {sh}(\phi )-{\frac {a}{3}}\pm i{\sqrt {3}}{\sqrt {|Q|}}\,\operatorname {ch}(\phi )$ (pereche de rădăcini complexe)
- $Q=0$ :
$x_{1}=-{\sqrt[ {3}]{c-{\frac {a^{3}}{27}}}}-{\frac {a}{3}}$ (radacina adevarata) $x_{{2,3}}=-{\frac {a+x_{1}}{2}}\pm {\frac {i}{2}}{\sqrt {|(a-3x_{1}) (a+x_{1})-4b|}}$ (pereche de rădăcini complexe)
Dacă , atunci ecuația este degenerată și are mai puțin de 3 soluții diferite (a doua rădăcină a multiplicității 2): $S=0$ $x_{1}=-2\operatorname{sgn}(R){\sqrt {Q}}-{\frac {a}{3}}=-2{\sqrt[ {3}]{R}}-{ \frac {a}{3}}$ $x_{2}=\operatorname{sgn}(R){\sqrt {Q}}-{\frac {a}{3}}={\sqrt[ {3}]{R}}-{\frac {a {3}}$

Derivarea formulei

Polinomul original are forma . $P(x_{1})=x_{1}^{3}+a\cdot x_{1}^{2}+b\cdot x_{1}+c$

Prin substituție , aducem polinomul la forma , unde și . $x_{1}=x-{\frac a3}$ $Q(x)=x^{3}+p\cdot x+q$ $p=b-{\frac {a^{2}}3}$ $q={\frac {2a^{3}}{27}}-{\frac {ab}3}+c$

Căutăm o soluție la ecuație în forma , obținem ecuația . $Q(x)=x^{3}+p\cdot x+q=0$ $x=A\cdot\cos\varphi$ $A^{3}\cdot \cos ^{3}\varphi +Ap\cdot \cos \varphi =-q$

Rețineți că în cazul în care această ecuație ia forma . $p<0$ $A={\sqrt {-{\frac {4p}{3))))$ ${\frac {A^{3}}4}\cdot {\Big (}4\cos ^{3}\varphi -3\cos \varphi {\Big )}=-q$

Folosind identitatea trigonometrică ajungem la o ecuație de forma . $\cos 3\varphi =4\cos ^{3}\varphi -3\cos \varphi$ $\cos 3\varphi =-{\frac {4q}{A^{3}}}$

Rezolvarea acestei ecuații are forma , unde trece prin valorile 0, 1, -1. Cu condiția ca. $\varphi _{k}={\frac 13}\arccos {\Big (}-{\frac {4q}{A^{3}}}{\Big )}+{\frac {2\pi k}{ 3}}$ $k$ $0\leq \arccos {\Big (}-{\frac {4q}{A^{3)}}{\Big )}\leq \pi$

Înlocuind valorile obținute în expresia variabilei , obținem răspunsul $\varphi _{k}$ $X$ $x_{k}=A\cdot \cos \varphi _{k}$