Transformate Fourier trigonometrice

Transformata Fourier sinus și transformata Fourier cosinus sunt câteva tipuri de transformate Fourier care nu folosesc numere complexe .

Definiție

Transformată Fourier sinusoidală sau funcții egale ${\hat {f}}^{s}$ ${\mathcal {F}}_{s}(f)$ $f(t)$

2\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin \,{2\pi \nu t}\,dt.

, Unde

t

— timpul, — frecvența de oscilație.

\nu

Funcția este impară în , adică ${\hat {f}}^{s}(\nu )$ $\nu$

{\hat {f}}^{s}(\nu )=-{\hat {f}}^{s}(-\nu )

pentru orice .

\nu

Transformată Fourier de cosinus sau funcții egale ${\hat {f}}^{c}$ ${\mathcal {F}}_{c}(f)$ $f(t)$

2\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \,{2\pi \nu t}\,dt.

Unde

t

— timpul, — frecvența de oscilație.

\nu

Funcția este chiar în , adică pentru orice . ${\hat {f}}^{c}(\nu )$ $\nu$ ${\hat {f}}^{c}(\nu )={\hat {f}}^{c}(-\nu )$ $\nu$

Funcția originală poate fi găsită prin formulă $f(t)$

f(t)=\int _{0}^{\infty }{\hat {f))^{c}\cos(2\pi \nu t)d\nu +\int _{0} ^{\infty }{\hat {f}}^{s}\sin(2\pi \nu t)d\nu .

Folosind formula de adunare pentru cosinus , obținem asta

{\frac {\pi }{2}}(f(x+0)+f(x-0))=\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^ {\infty }\cos \omega (tx)f(t)dtd\omega ,

, Unde

f(x+0)

și sunt limitele din dreapta și , respectiv, din stânga.

f(x-0)

Dacă funcția este pară, atunci partea formulei cu sinus dispare; dacă este impară, cosinusul dispare. $f(t)$ $f(t)$

Astăzi, formula pentru transformatele Fourier sinus și cosinus în formă complexă este mai des folosită

{\hat {f))(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi i\nu t}\,dt.

Folosind formula lui Euler , obținem

{\hat {f)}(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)(\cos \,{2\pi \nu t}-i\ ,\sin {2\pi \nu t})\,dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \,{2\pi \nu t}\,dt -i\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin \,{2\pi \nu t}\,dt={\frac {1}{2}}{\hat {f}}^{c}(\nu )-{\frac {i}{2}}{\hat {f}}^{s}(\nu ).

Whittaker, Edmund și James Watson, A Course in Modern Analysis , Ediția a patra, Cambridge Univ. Press, 1927, p. 189, 211