Teorema de încorporare a lui Whitney

Teorema de încorporare a lui Whitney este o declarație de topologie diferențială , conform căreia o varietate dimensională netedă arbitrară cu o bază numărabilă admite o încorporare netedă în spațiul euclidian dimensional . Înființată de Hassler Whitney în 1938 . $m$ $2m$

Acest rezultat este optim, de exemplu, dacă este o putere de două , atunci spațiul proiectiv -dimensional nu poate fi încorporat în spațiul euclidian -dimensional. $m$ $m$ $(2m-1)$

Schema de probă

Cazurile și sunt stabilite direct. $m=1$ $m=2$

Pentru a demonstra cazul , folosim faptul că o hartă netedă generică este o imersiune cu un număr finit de puncte de auto-intersecție transversale . $m\geqslant 3$ $f\colon M\la \mathbb{R} ^{{2m}}$

Puteți scăpa de aceste puncte de auto-intersecție aplicând trucul Whitney de mai multe ori . Se compune din următoarele. Să luăm punctele de auto-intersecție ale cartografierii , care au semne diferite. Luați puncte pentru care și . Să ne conectăm și să ne curbem . Să ne conectăm și să ne curbem . Apoi există o curbă închisă în . În continuare, construim o mapare cu o limită . În general, este o investiție și (doar aici faptul că ) este folosit. Apoi este posibil să faceți izotopi într-o mică vecinătate a discului, astfel încât această pereche de puncte de auto-intersecție să dispară. Este ușor de crezut în ultima afirmație dacă prezentăm o imagine pentru (în care proprietățile discului s-au dovedit a fi îndeplinite întâmplător, și nu prin poziție generală). O dovadă exactă este dată în paragraful 22.1 din cartea lui Prasolov [1] . $p,q\in \mathbb {R} ^{2m)$ $f$ $x_{p},y_{p},x_{q},y_{q}\în M$ $f(x_{p})=f(y_{p})=p$ $f(x_{q})=f(y_{q})=q$ $x_{p)$ $x_{q)$ $x\subset M$ $y_{p}$ $y_{q)$ $y\subset M$ $f(x\cup y)$ $\mathbb {R} ^{2m)$ $h\colon D^{2}\to \mathbb{R} ^{{2m}}$ $h(\partial D^{2})=f(x\cup y)$ $h$ $h(D^{2})\cap f(M)=h(\partial D^{2})$ $m\geqslant 3$ $f$ $h(D^{2})$ $m=1$

Iată o schiță a unei alte modalități de a scăpa de punctele de auto-intersecție ale unei hărți în poziție generală . Se bazează pe ideea importantă de preluare . (Uneori, această aplicare a acestei alte idei este numită în mod eronat trucul lui Whitney.) Luați punctul de auto-intersecție al mapării . Luați puncte pentru care . Să ne conectăm și să ne curbem . Apoi există o curbă închisă în . În continuare, construim o mapare cu o limită . În general, este o investiție și (doar aici faptul că ) este folosit. Acum putem izotopi într-o mică vecinătate a discului, astfel încât această auto-intersecție să dispară. Vezi cartea lui Rourke și Sanderson [2] și paragraful 8 din recenzia lui Skopenkov [3] pentru detalii și generalizări . Acest raționament este de obicei efectuat în categoria liniară pe bucăți. Într-o categorie netedă (ca și aici), pentru ultima deformare, trebuie să folosiți teorema Haefliger asupra deznodării sferelor (vezi [1] ). $f\colon M\la \mathbb{R} ^{{2m}}$ $p\in \mathbb{R} ^{{2m}}$ $f$ $x,y\în M$ $f(x)=f(y)=p$ $X$ $y$ $l\subset M$ $f(l)$ $\mathbb{R} ^{{2m}}$ $h\colon D^{2}\to \mathbb{R} ^{{2m}}$ $h(\partial D^{2})=f(l)$ $h$ $h(D^{2})\cap f(M)=h(\partial D^{2})$ $m\geqslant 3$ $f$ $h(D^{2})$

Variații și generalizări

Să existe o varietate dimensională netedă, . $M$ $m$ $m>1$

Dacă nu este o putere de doi, atunci există o încorporare $m$ $M$ $\mathbb{R} ^{{2m-1}}$
$M$ poate fi încărcat în $\mathbb{R} ^{{2m-1}}$
- Mai mult, poate fi scufundat în , unde este numărul de 1 în reprezentare binară . $M$ $\mathbb{R} ^{{2m-a}}$ $A$ $m$
  - Ultimul rezultat este optim, pentru oricare este posibil să se construiască o varietate -dimensională (putem lua produsul
  spațiilor proiective reale ) care nu poate fi scufundată în . $m$ $m$ $\mathbb{R} ^{{2m-a-1}}$

Vezi și [4] [5]

Note

↑ V. V. Prasolov , Elements of homology theory Copie de arhivă din 3 aprilie 2010 la Wayback Machine
↑ CP Rourke, BJ Sanderson, Introduction into piecewise-linear topology, Springer, 1972.
↑ Skopenkov, A. (1999), Rezultate noi privind încorporarea poliedrelor și a varietăților în spații euclidiene, Russian Math. Surveys T. 54 (6): 1149-1196
↑ Skopenkov, A. (2008), Embedding and knotting of manifolds in Euclidean spaces , în: Surveys in Contemporary Mathematics, Ed. N. Young și Y. Choi, London Math. soc. Lect. note. T. 347(2): 248-342, ISBN 13 , < http://arxiv.org/abs/math/0604045 > Arhivat 25 iulie 2020 la Wayback Machine
↑ Clasificarea atașamentelor (ing.) . Data accesului: 18 decembrie 2017. Arhivat din original pe 22 decembrie 2017. (nedefinit)

Literatură

Orevkov S.Yu. Dovada fizică a teoremei lui Whitney asupra curbelor plane// Colecția „ Educație matematică ”. A treia serie. 1997. Numărul 1. pp. 96-102