Ultrafiltru

Ultrafiltrul de pe rețea este filtrul propriu maxim [1] . Conceptul de ultrafiltru a apărut în topologia generală , unde este folosit pentru a generaliza conceptul de convergență la spații cu o bază nenumărabilă. $F$

Definiție

Un filtru propriu pe o rețea este un ultrafiltru dacă nu este conținut în niciun filtru propriu (adică, altul decât ). $F$ $L$ $F$

Un set de submulțimi ale unui set se numește ultrafiltru pe dacă $F$ $X$ $X$

$\varnothing\notin F$
pentru oricare două elemente , intersecția lor se află și în $F$ $F$
pentru orice element , toate superseturile sale se află în $F$ $F$
pentru orice subset fie , fie $Y\subseteq X$ $Y \în F$ $X \backslash Y \in F$

Note

$F$ este un ultrafiltru dacă o funcție pe mulțimi , dată ca , dacă , și în caz contrar, atunci este o măsură de probabilitate finită aditivă pe . $S\subset X$ $\omega _{F}(S)=1$ $S\în F$ $\omega _{F}(S)=0$ $\omega _{F}$ $X$

Ultrafiltre în algebre booleene

Dacă rețeaua este o algebră booleană , atunci este posibilă următoarea caracterizare a ultrafiltrelor: un filtru este un ultrafiltru dacă și numai dacă pentru orice element fie , fie $L$ $F$ $x\în L$ $x \în F$ $-x \în F$

Această caracterizare face ca ultrafiltrele să pară teorii complete .

Exemple

Filtrul minim care conține elementul dat se numește filtrul principal generat de elementul principal . $X$ $X$
- Orice filtru principal este un ultrafiltru
- Aplicațiile principale au ultrafiltre non-principale.
un subset al algebrei Lindenbaum-Tarski a teoriei complete , constând din teoreme $T$ $T$

Proprietăți

ultrafiltrul pe o mulţime finită este întotdeauna principal .
orice ultrafiltru dintr-o mulțime infinită conține un filtru finit .
dacă este ultrafiltrul principal al setului , atunci elementul său principal este intersecția tuturor elementelor ultrafiltrului. $F$ $X$
dacă este un ultrafiltru neprincipal pe mulțime , atunci intersecția tuturor elementelor sale este goală. $F$ $X$
Fiecare filtru este conținut într-un ultrafiltru.
- Această afirmație nu poate fi dovedită fără a folosi axioma alegerii .
- De asemenea, această afirmație este echivalentă cu teorema idealurilor prime booleene .
- O consecință importantă a acestei teoreme este existența ultrafiltrelor neprincipale pe mulțimi infinite.
Compactificarea Stone-Cech a unui spațiu discret este un set de ultrafiltre pe o rețea de submulțimi dotate cu topologia Stone . Ca bază de seturi deschise ale topologiei Stone pe setul de ultrafiltre , putem lua seturi pentru toate posibilele $X$ $X$ $G$ $D_{a}=\{U\in G|a\in U\}$ $a\in P(X).$

Aplicații

Ultrafiltrele sunt folosite într-o serie de construcții de teorie a modelelor , și anume pentru a formula conceptul de ultraprodus .
Ultrafiltrele apar și în formularea teoremei de reprezentare a lui Stone pentru algebrele booleene și în construcția explicită a compactificării Stone-Cech .
Ultralimita pentru spațiile metrice este o generalizare a convergenței Gromov-Hausdorff .
Ultrafiltrele sunt folosite în combinatorică, cum ar fi în teoria Ramsey . [2]

Note

↑ Postnikov M. M. Prelegeri de geometrie: Smooth manifolds. - 2. - URSS, 2017. - S. 166-170. — 480 s. — ISBN 978-5-9710-3916-7 .
↑ Isaac Goldbring. Metode de ultrafiltre în combinatorică // Instantanee ale matematicii moderne de la Oberwolfach. — 2021. — Nr. 6 . Arhivat din original pe 24 ianuarie 2022.