Măsura unei mulțimi este o caracteristică numerică a unei mulțimi; intuitiv, poate fi înțeleasă ca masa unei mulțimi cu o anumită distribuție a masei în spațiu . Conceptul de măsură a unei mulțimi a apărut în teoria funcțiilor unei variabile reale în timpul dezvoltării conceptului de integrală [1] .
De fapt, o măsură este o anumită funcție numerică care atribuie fiecărui set (dintr-o anumită familie de mulțimi) un număr nenegativ. Pe lângă faptul că este nenegativă, o măsură ca funcție trebuie să aibă și proprietatea aditivității - măsura unirii mulțimilor disjunctive trebuie să fie egală cu suma măsurilor lor. Trebuie remarcat faptul că nu orice mulțime este măsurabilă - pentru fiecare funcție a unei măsuri, o anumită familie de mulțimi (numite măsurabile în raport cu măsura dată) pentru care există măsura este de obicei menită.
Un caz special de măsură este măsura Lebesgue pentru submulțimi , care generalizează conceptul de volum , suprafață sau lungime la cazul mulțimilor care sunt mai generale decât mărginite doar de o suprafață netedă.
Fie dată o mulțime cu o clasă distinsă de submulțimi , se presupune că această clasă de submulțimi este uneori un inel de mulțimi sau o algebră de mulțimi , în cel mai general caz, un semiring de mulțimi .
O funcție se numește măsură (uneori volum ) dacă satisface următoarele axiome:
Prima axiomă este convenabilă, dar într-un sens redundantă: este suficient să presupunem că există cel puțin o mulțime cu o măsură finită , din care va rezulta că măsura mulțimii goale va fi egală cu zero (în caz contrar, adăugând o set gol la orice set de măsură finită ar schimba măsura, în ciuda faptului că setul nu s-a schimbat).
Rezultă direct din a doua axiomă (în cazul unui inel de mulțimi) că măsura unirii oricărui număr finit de mulțimi disjunctive este egală cu suma măsurilor acestor mulțimi:
.În cazul unei definiții peste un seminel de mulțimi, această proprietate a aditivității finite este de obicei luată în locul celei de-a doua axiome, deoarece în general aditivitatea finită nu rezultă din aditivitatea pe perechi [2] .
Aditivitatea (finită) a unei măsuri nu implică, în general, că o proprietate similară este valabilă pentru o uniune numărabilă de mulțimi disjunctive. Există o clasă importantă specială de măsuri numite măsuri numărabile aditive .
Să fie dată o mulțime cu algebră distinsă .
O funcție este numită măsură numărabilă aditivă (sau -aditivă ) dacă satisface următoarele axiome:
Din definiție rezultă că măsura are cel puțin următoarele proprietăți (se presupune că măsura este definită cel puțin pe un semicerc de mulțimi):
Măsurile aditive numărătoare, pe lângă cele indicate, au și următoarele proprietăți.
Este adesea dificil și inutil să definiți în mod explicit o măsură pentru fiecare mulțime din sigma-algebra corespunzătoare (inel sau algebră) de mulțimi, deoarece este suficient să definiți măsura pe o anumită clasă de mulțimi măsurabile și apoi, folosind proceduri standard ( și în condiții cunoscute), continuă până la inelul, algebra sau sigma-algebra mulțimilor generate de această clasă.
Clasa de mulțimi măsurabile din structura sa trebuie să fie un inel de mulțimi (dacă măsura este aditivă) sau o sigma-algebră de mulțimi (dacă măsura este numărabilă aditivă), totuși, pentru a specifica o măsură, în ambele cazuri este suficient pentru a-l defini pe un semiring de mulțimi - atunci măsura poate fi continuată într-un mod unic până la inelul minim (minimal sigma-algebra) de mulțimi care conțin seminelul original.
Fie clasa inițială de mulțimi măsurabile să aibă structura unui semiring: conține o mulțime goală și pentru orice mulțimi A și B din diferența lor admite o partiție finită în mulțimi măsurabile din , adică există o mulțime finită de mulțimi disjunctive din astfel încât
.Să notăm clasa tuturor submulților din spațiul luat în considerare care admit o partiție finită în mulțimi din . Clasa este închisă sub operațiile de diferență, intersecție și unire a mulțimilor și astfel este un inel de mulțimi care conține (și, evident, minim). Orice funcție aditivă activată se poate extinde în mod unic la o funcție aditivă activată dacă și numai dacă valorile sale sunt compatibile pe . Această cerință înseamnă că pentru orice colecții de mulțimi disjunse și din , dacă uniunea lor este aceeași, atunci și suma măsurilor lor trebuie să fie aceeași:
Dacă , atunci .Fie și fie clase de mulțimi măsurabile pe spații și având structura unui semi-inel. Seturile de forma , unde , formeaza un semiring de multimi pe spatiu .
Dacă măsurile și sunt date pe și , atunci o funcție aditivă este definită la satisfacerea cerinței de consistență. Extinderea sa la inelul minim care conține se numește produsul direct al măsurilor și se notează cu . Dacă măsurile inițiale au fost sigma-aditive pe domeniile lor de definiție, atunci măsura va fi, de asemenea, sigma-aditivă. Această măsură este utilizată în teoria integralelor multiple (vezi teorema lui Fubini ).
Una dintre opțiunile de generalizare a conceptului este taxa , care poate lua valori negative
Uneori, o măsură este considerată o funcție arbitrară finită aditivă cu un interval într- un semigrup abelian : pentru o măsură aditivă numărabilă, intervalul natural de valori este un semigrup abelian topologic ( este necesară topologia pentru a putea vorbi despre convergența unei serii de măsuri ale unui număr numărabil de părți măsurabile, pe care în definiția aditivității numărabile este împărțită o mulțime măsurabilă). Un exemplu de măsură nenumerică este o măsură cu valori într-un spațiu liniar , în special o măsură evaluată de proiector implicată în formularea geometrică a teoremei spectrale .
Dicționare și enciclopedii |
|
---|
Calcul integral | ||
---|---|---|
Principal | ||
Generalizări ale integralei Riemann | ||
Transformări integrale |
| |
Integrare numerică | ||
teoria măsurării | ||
subiecte asemănătoare | ||
Liste de integrale |