Împachetarea cercurilor într-un triunghi echilateral

Problema împachetării cercurilor într-un triunghi obișnuit este o problemă de împachetare în care este necesar să se împacheteze n cercuri unitare în cel mai mic triunghi regulat . Soluțiile optime sunt cunoscute pentru n  < 13 și pentru orice număr triunghiular de cercuri. Există ipoteze pentru numărul de cercuri n  < 28 [1] [2] [3] .

Conjectura lui Pal Erdős și Norman Ohler afirmă că, în cazul în care n este un număr triunghiular, împachetarea optimă a n - 1 și n cercuri are aceeași lungime a laturii. Adică, conform ipotezei, soluția optimă pentru n − 1 cercuri poate fi obținută prin îndepărtarea unui cerc din împachetarea hexagonală optimă a n cercuri [4] [5] .

Soluții minime în ceea ce privește lungimea laturii triunghiului [1] :

Numărul de ture	Lungimea laturii triunghiului
unu	= 3,464...
2	= 5,464...
3	= 5,464...
patru	= 6,928...
5	= 7,464...
6	= 7,464...
7	= 8,928...
opt	= 9,293...
9	= 9,464...
zece	= 9,464...
unsprezece	= 10,730...
12	= 10,928...
13	= 11,406...
paisprezece	= 11,464...
cincisprezece	= 11,464...

O problemă strâns legată este acoperirea unui triunghi regulat cu un număr dat de cercuri cu cea mai mică rază posibilă [6] .

Vezi și

• Împachetarea cercurilor într-un triunghi dreptunghic isoscel
• Cercuri Malfatti , o construcție care oferă soluția optimă pentru trei cercuri dintr-un triunghi isoscel

Note

1. ↑ 1 2 Melissen, 1993 , p. 916–925.
2. ↑ Melissen și Schuur 1995 , p. 333–342.
3. ↑ Graham și Lubachevsky, 1995 , p. 39 Articolul 1.
4. ↑ Oler, 1961 , p. 153–155.
5. ↑ Payan, 1997 , p. 555–565.
6. ↑ Nurmela, 2000 , p. 241–250.

Literatură

• Hans Melissen. Cele mai dense pachete de cercuri congruente într-un triunghi echilateral  // The American Mathematical Monthly . - 1993. - T. 100 , nr. 10 . — S. 916–925 . - doi : 10.2307/2324212 .
• JBM Melissen, PC Schuur. Împachetarea a 16, 17 sau 18 cercuri într-un triunghi echilateral // Matematică discretă . - 1995. - T. 145 , nr. 1-3 . — S. 333–342 . - doi : 10.1016/0012-365X(95)90139-C .
• Ronald Graham , B.D. Lubachevsky. Împachetări dense de discuri egale într-un triunghi echilateral: de la 22 la 34 și mai departe  // Electronic Journal of Combinatorics . - 1995. - T. 2 . — C. Articolul 1, cca. 39 p. (electronic) .
• Norman Oler. O problemă de ambalare finită // Canadian Mathematical Bulletin. - 1961. - T. 4 . — S. 153–155 . - doi : 10.4153/CMB-1961-018-7 .
• Charles Payan. Empilement de cercles égaux dans un triangle equilateral. À propos d'une conjecture d'Erdős-Oler (Fr) // Matematică discretă . - 1997. - T. 165/166 . — S. 555–565 . - doi : 10.1016/S0012-365X(96)00201-4 .
• Kari J. Nurmela. Acoperiri optime din punct de vedere conjectural ale unui triunghi echilateral cu până la 36 de cercuri egale  // Matematică experimentală. - 2000. - T. 9 , nr. 2 . — S. 241–250 . doi : 10.1080 / 10586458.2000.10504649 .