Ecuația Vlasov

Ecuația Vlasov este un sistem de ecuații care descrie dinamica unei plasme cu particule încărcate , ținând cont de forțele Coulomb cu rază lungă prin intermediul unui câmp auto-consistent . A fost propusă mai întâi de A. A. Vlasov în articol [1] și prezentată ulterior în monografie [2] .

Probleme ale abordării gaz-cinetice

În lucrarea sa, Vlasov subliniază mai întâi inaplicabilitatea abordării gaz-cinetice bazată pe ecuația Boltzmann (se presupune că integrala de coliziune depinde doar de ciocnirile de perechi) la descrierea dinamicii plasmei cu interacțiunea Coulomb . El observă următoarele probleme atunci când încearcă să aplice teoria bazată pe coliziuni de perechi la descrierea plasmei:

aproximarea coliziunii perechilor este incompatibilă cu studiile lui Rayleigh și Langmuir și Tonks , care au prezis și au investigat undele Langmuir în plasmele de gaz de electroni. [3] [4]
aproximarea coliziunii perechilor nu este aplicabilă în mod formal la interacțiunea Coulomb din cauza divergenței secțiunii transversale totale de împrăștiere.
aproximarea coliziunii perechilor nu explică experimentele lui Merrill și Webb privind împrăștierea anormală a electronilor într-o plasmă gazoasă. [5]

Ca cauză a acestor probleme, Vlasov indică natura cu rază lungă de acțiune a forțelor Coulomb, care duce la interacțiunea fiecăreia dintre particule cu o combinație de alte particule. Acțiunea pe distanță lungă în acest caz înseamnă că raza de influență a acestei forțe este mai mare decât distanța medie dintre particule.

Ecuații Vlasov-Maxwell

Vlasov a considerat inițial un sistem de ecuații generale ale plasmei, incluzând trei componente (electroni, ioni și atomi neutri) și a scris ecuația Boltzmann pentru a - a componentă a plasmei sub forma

{\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}+\mathrm {div} _{\mathbf {r} }{\vec {v}}f_{s}+{\frac { e_{s}}{m_{s}}}\left({\vec {E}}+{\frac {1}{c}}[{\vec {v}},{\vec {B}}] \right)\mathrm {grad} _{\mathbf {v} }f_{s}=\left[{\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}\right]_{s1}^{ st}+\left[{\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}\right]_{s2}^{st}+\left[{\frac {\partial f_{s}}{ \partial t}}\right]_{s3}^{st}.

unde este functia de distributie . Acest sistem de ecuații a inclus și ecuațiile lui Maxwell și ecuațiile pentru sarcină și curent exprimate în termeni de funcții de distribuție . Deoarece Vlasov era interesat doar de soluțiile undelor, el a neglijat contribuțiile integralelor de coliziune, deoarece, conform estimărilor, s-a dovedit că frecvențele undelor de plasmă sunt mult mai mari decât frecvențele ciocnirilor de perechi de particule din plasmă. Adică, în loc să descrie interacțiunea particulelor încărcate dintr-o plasmă prin intermediul coliziunilor, el a sugerat utilizarea unui câmp autonom creat de particulele de plasmă încărcate pentru a descrie un potențial pe distanță lungă. În loc de ecuația Boltzmann, Vlasov propune să utilizeze următorul sistem de ecuații pentru a descrie componentele plasmei încărcate ( electroni cu funcție de distribuție și ioni pozitivi cu funcție de distribuție ): $f_{s}({\vec {r)),{\vec {p)),t)$ $f_s$ $f_{e}({\vec {r)),{\vec {p)),t)$ $f_{i}({\vec {r)),{\vec {p)),t)$

{\frac {\partial f_{e}}{\partial t}}+{\vec {v}}{\frac {\partial f_{e}}{\partial {\vec {x}}} }-e{\Bigl (}{\vec {E}}+{\frac {1}{c}}[{\vec {v}},{\vec {B}}]{\Bigr )}{\ frac {\partial f_{e}}{\partial {\vec {p}}}}=0

{\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\vec {v}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial {\vec {x}}} }+e{\Bigl (}{\vec {E}}+{\frac {1}{c}}[{\vec {v}},{\vec {B}}]{\Bigr )}{\ frac {\partial f_{i}}{\partial {\vec {p}}}}=0

{\rm {rot}}{\vec {B}}={\frac {4\pi {\vec {j}}}{c}}+{\frac {1}{c}}{\ frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t)),\quad {\rm {rot}}{\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}

{\rm {div}}{\vec {E}}=4\pi \rho ,\quad {\rm {div}}{\vec {B}}=0

\rho =e\int (f_{i}-f_{e})d^{3}{\vec {p)),\quad {\vec {j)}=e\int (f_{i }-f_{e}){\vec {v}}d^{3}{\vec {p}}

Aici , este sarcina electronilor , este viteza luminii și sunt câmpurile electrice și magnetice auto-consistente create la un moment dat de toate particulele de plasmă încărcate. Diferența esențială a acestui sistem de ecuații față de ecuațiile de mișcare a particulelor încărcate într-un câmp electromagnetic extern este că câmpul electromagnetic în sine depinde într-un mod complex de funcțiile de distribuție ale ionilor și electronilor. $e$ $c$ ${\vec {E}}({\vec {r}},t)$ ${\vec {B}}({\vec {r}},t)$ ${\vec {r))$ $t$

Ecuații Vlasov-Poisson

Ecuațiile Vlasov-Maxwell sunt un sistem de ecuații integro-diferențiale neliniare . Dacă fluctuațiile funcțiilor de distribuție în raport cu starea de echilibru sunt mici, acest sistem de ecuații poate fi liniarizat . Liniarizarea va oferi un sistem de ecuații Vlasov-Poisson care descriu dinamica plasmei într-un câmp electrostatic autonom. Ecuațiile Vlasov-Poisson sunt un sistem de ecuații Vlasov pentru fiecare componentă a plasmei (luăm în considerare limita nerelativistă):

{\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial {\vec { x))))+{\frac {q_{\alpha }{\vec {E}}}{m_{\alpha }}}\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial {\ vec{v}}}}=0,

și ecuațiile Poisson pentru un câmp electric autoconsistent:

\nabla \cdot {\vec {E}}=-\Delta \phi =4\pi \rho .

Aici , este sarcina electrică și este masa particulelor de plasmă, este câmpul electric autoconsistent, este potențialul câmpului electric autoconsistent și este densitatea sarcinii electrice . $q_{\alpha )$ $m_{\alpha )$ ${\vec {E}}({\vec {x}},t)$ $\phi ({\vec {x)),t)$ $\rho$

Note

↑ A. A. Vlasov. Despre proprietățile vibraționale ale gazului de electroni // Journal of Experimental and Theoretical Physics . - 1938. - T. 8 (3) . - S. 291 . Arhivat din original pe 22 iulie 2018.
↑ A. A. Vlasov. Teoria proprietăților vibraționale ale gazului de electroni și aplicațiile sale // Uch. aplicația. Universitatea de Stat din Moscova. - 1945. - Emisiune. 75. Cartea. 2. Partea 1 .
↑ Rayleigh, Phil. Mag. 11, 117 (1906).
↑ I. Langmuir și L. Tonks, Phys. Apoc. 33, 195 (1929).
↑ HJ Merrill și HW Webb. Difuzarea electronilor și oscilațiile plasmatice (engleză) // Revista fizică : jurnal. - 1939. - Vol. 55 , nr. 12 . — P. 1191 . - doi : 10.1103/PhysRev.55.1191 . - Cod biblic .

Literatură

Prelegeri Kotelnikov IA despre fizica plasmei. Volumul 1: Fundamentele Fizicii Plasmei. - Ed. a 3-a. - Sankt Petersburg. : Lan , 2021. - 400 p. - ISBN 978-5-8114-6958-1 .
I. P. Bazarov, P. N. Nikolaev. Anatoli Alexandrovici Vlasov . — Facultatea de Fizică, Universitatea de Stat din Moscova. - M. , 1999. - S. 19-26. - (Oameni de știință remarcabili ai Facultății de Fizică a Universității de Stat din Moscova). — O discuție detaliată a ecuațiilor Vlasov.
F. Pegoraro, F. Califano, G. Manfredi, PJ Morrison. Teoria și aplicațiile ecuației Vlasov (engleză) // Eur. Fiz. J.D._ _ - 2015. - Vol. 69 . — P. 68 . - doi : 10.1140/epjd/e2015-60082-y . - arXiv : 1502.03768 .