Metoda de câmp auto-consistentă

Teoria câmpului mediu sau teoria câmpului auto-consistentă este o abordare pentru studierea comportamentului sistemelor stocastice mari și complexe în fizică și teoria probabilității prin studiul modelelor simple. Astfel de modele iau în considerare numeroase componente mici care interacționează între ele. Influența altor componente individuale asupra unui obiect dat este aproximată printr-un efect mediu, datorită căruia problema cu mai multe corpuri este redusă la o problemă cu o singură particule.

Ideea a fost dezvoltată pentru prima dată în fizică în lucrările lui Pierre Curie [1] și Pierre Weiss , care au descris tranziția de fază [2] . Abordări similare și-au găsit aplicație în modelele epidemice [3] , teoria cozilor [4] , analiza rețelelor de calculatoare și teoria jocurilor [5] .

Problema multor corpuri, ținând cont de interacțiunea dintre ele, este greu de rezolvat, cu excepția celor mai simple cazuri (teoria câmpurilor aleatoare, modelul Ising unidimensional ). Prin urmare, sistemul N - corp este înlocuit cu o problemă cu o singură particule cu un potențial extern bine ales, care înlocuiește acțiunea tuturor celorlalte particule cu cea aleasă. Este mai dificil (de exemplu, atunci când se calculează funcția de distribuție în mecanica statistică ) să se ia în considerare permutările atunci când se calculează interacțiunea în hamiltonian când se însumează toate stările. Scopul teoriei câmpului mediu este de a ocoli abordarea combinatorie. În diverse domenii ale științei, teoria câmpului mediu este cunoscută sub propriile nume, printre care se numără aproximarea Bragg-Williams, modelul rețelei Bethe, teoria Landau , aproximarea Pierre-Weiss, teoria soluțiilor Flory-Guggins sau teoria Schuytjens-Fleur.

Ideea principală a teoriei câmpului mediu este de a înlocui toate acțiunile asupra unui corp ales cu o interacțiune medie sau eficientă, care se numește uneori câmp molecular [6] . Acest lucru reduce orice problemă cu mai multe corpuri la o problemă eficientă cu o singură particule. Ușurința de a rezolva problema teoriei câmpului mediu înseamnă obținerea unei anumite cunoștințe despre comportamentul sistemului la un cost relativ mic.

În teoria clasică a câmpului, funcția hamiltoniană poate fi extinsă într-o serie folosind magnitudinea fluctuațiilor din apropierea câmpului mediu ca parametru de expansiune. Câmpul mediu poate fi considerat de ordinul zero al acestei expansiuni. Aceasta înseamnă că teoria câmpului mediu nu conține nicio fluctuație, dar aceasta corespunde faptului că interacțiunile sunt înlocuite cu un câmp mediu. Destul de des, în studiul fluctuațiilor, teoria câmpului mediu este o rampă de lansare pentru studiul fluctuațiilor de ordinul întâi sau al doilea.

În general, determinarea cât de bine va funcționa aproximarea câmpului mediu pentru o anumită problemă este foarte dependentă de dimensiune. În teoria câmpului mediu, numeroase interacțiuni sunt înlocuite de o acțiune eficientă. Atunci, în mod natural, dacă câmpul sau particula din sistemul inițial are mulți parteneri de interacțiune, atunci teoria câmpului mediu va fi eficientă. Acest lucru este valabil pentru dimensiuni mari, unde funcția Hamilton include forțe cu o rază mare de acțiune sau când particulele sunt extinse (de exemplu, polimeri). Criteriul Ginzburg este o expresie formală a modului în care fluctuațiile fac ca aproximarea câmpului mediu să fie proastă, adesea în funcție de dimensiunea spațială a sistemului.

Deși teoria câmpului mediu s-a dezvoltat în mecanica statistică, a găsit și aplicații în alte domenii, cum ar fi interferența, teoria grafurilor , neuroștiința și studiul inteligenței artificiale .

Abordare formală

Abordarea formală a teoriei câmpului mediu se bazează pe inegalitatea lui Bogolyubov . Ea afirmă că energia liberă a unui sistem cu funcție hamiltoniană

{\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{0}+\Delta {\mathcal {H}}

are o limită superioară

F\leq F_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle {\mathcal {H}}\rangle _{0}-TS_{0}

unde este entropia , iar media se realizează pe ansamblul de echilibru al sistemului cu funcţia Hamilton . Într-un caz special, când funcția principală Hamilton descrie un sistem fără interacțiune și, prin urmare, poate fi scrisă ca $S_{0}$ ${\mathcal {H}}_{0}$

{\mathcal {H}}_{0}=\sum _{i=1}^{N}h_{i}\left(\xi _{i}\right)

unde este o abreviere pentru gradul de libertate a componentelor individuale ale sistemului statistic (atomi, spini, etc.), putem lua în considerare rafinări ale limitei superioare reducând la minimum partea dreaptă a inegalității. Minimizarea sistemului principal este atunci cea mai bună aproximare a celui dat. Este cunoscută ca aproximarea câmpului mediu. $\stanga(\xi _{i}\dreapta)$

Cel mai adesea, funcția Hamilton a sistemului de investigat conține doar interacțiuni perechi, adică

{\mathcal {H}}=\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P}}}V_{i,j}\left(\xi _{i},\xi _{ j}\dreapta)

unde este setul de interacțiuni perechi. Apoi procedura de minimizare poate fi efectuată în mod formal. Este definită ca o sumă generalizată de observabile asupra gradelor de libertate ale unei componente (suma pentru mărimile discrete, intergal pentru cele continue). Energia liberă este dată aproximativ ca ${\mathcal {P}}$ ${\rm {Tr))_{i}f(\xi _{i})$ $f$

$F_{0}=\,\!$	${\rm {Tr))_{1,2,..,N}{\mathcal {H)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _ {N})P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})$
	$+kT\,{\rm {Tr}}_{1,2,..,N}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2}, ...,\xi _{N})\log P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})$

unde este probabilitatea de a găsi sistemul principal într-o stare cu variabile . Această probabilitate este dată de factorul Boltzmann normalizat $P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})$ $(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})$

{\begin{aligned}P_{0}^{(N)}(\xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{N})&{}={ \frac {1}{Z_{0}^{(N)}}}e^{-\beta {\mathcal {H}}_{0}(\xi _{1},\xi _{2}, ...,\xi _{N})}\\&{}=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{Z_{0))}e^{-\beta h_ {i}\left(\xi _{i}\right)}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{i=1}^{N}P_{0}^{ (i)}(\xi _{i})\end{aliniat}}

unde este suma statistică. apoi $Z_{0)$

{\begin{aligned}F_{0}=&{}\sum _{(i,j)\in {\mathcal {P)}}{\rm {Tr))_{i,j}V_ {i,j}\left(\xi _{i},\xi _{j}\right)P_{0}^{(i)}(\xi _{i})P_{0}^{(j )}(\xi _{j})\\&{}+kT\sum _{i=1}^{N}{\rm {Tr}}_{i}P_{0}^{(i)} (\xi _{i})\log P_{0}^{(i)}(\xi _{i}).\end{aligned}}

Pentru minimizare, se ia derivata cu privire la probabilitatea unui grad de libertate Folosind multiplicatori Lagrange nedeterminați pentru normalizare. Rezultatul final este un sistem de ecuații auto-consistente $P_{0}^{(i))$

P_{0}^{(i)}(\xi _{i})={\frac {1}{Z_{0)}}e^{-\beta h_{i}^{MF}( \xi _{i})}\qquad i=1,2,..,N

unde câmpul mediu este dat ca

h_{i}^{MF}(\xi _{i})=\sum _{\{j|(i,j)\in {\mathcal {P}}\}}{\rm {Tr }}_{j}V_{i,j}\left(\xi _{i},\xi _{j}\right)P_{0}^{(j)}(\xi _{j}).

Aplicație

Teoria câmpului mediu poate fi aplicată unui număr de sisteme fizice, studiind, de exemplu, tranzițiile de fază [7] .

Model Ising

Să fie definit modelul Ising pe o rețea d - dimensională. Hamiltonianul este dat ca

H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }s_{i}s_{j}-h\sum _{i}s_{i)

unde denotă suma peste perechi de vecini cei mai apropiați și sunt rotiri ale vecinilor cei mai apropiați. $\sum _{\langle i,j\rangle }$ $\langle i,j\rangle$ $s_{i}=\pm 1$ $s_{j}$

Prin introducerea abaterilor de fluctuație de la valoarea medie , Hamiltonianul poate fi rescris $m_{i}\equiv \langle s_{i}\rangle$

H=-J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}+\delta s_{i})(m_{j}+\delta s_{j})-h\sum _ {este i}

unde fluctuațiile de spin sunt notate cu . $\delta s_{i}\equiv s_{i}-m_{i)$

Extindem partea dreaptă, se poate obține un termen care depinde doar de valoarea medie a spinului și nu depinde de configurația de spin. Acest termen este banal, nu afectează proprietățile statistice ale sistemului. Următorul termen conține produsul dintre valoarea medie a spinului și fluctuațiile. În sfârșit, ultimul termen conține produsele fluctuațiilor.

Aproximarea câmpului mediu constă în neglijarea acestui termen de ordinul doi în fluctuații. Aceste fluctuații cresc în sistemele de dimensiuni joase, astfel încât teoria câmpului mediu funcționează mai bine pentru sistemele de dimensiuni înalte.

H\aprox H^{MF}\equiv -J\sum _{\langle i,j\rangle }(m_{i}m_{j}+m_{i}\delta s_{j}+m_{ j}\delta s_{i})-h\sum _{i}s_{i}

Termenii pot fi rearanjați din nou. În plus, valoarea medie a fiecăreia dintre rotiri nu ar trebui să depindă de site, deoarece sistemul Ising este invariant translațional. De aceea

H^{MF}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }\left(m^{2}+2m(s_{i}-m)\right)-h\sum _{ este i}.

Însumarea vecinilor poate fi rescrisă ca , unde sunt vecinii cei mai apropiați , iar factorul 1/2 împiedică luarea în considerare a aceluiași termen de două ori, deoarece în formarea fiecărei legături sunt implicați doi rotiri. Simplificarea dă rezultatul final $\sum _{\langle i,j\rangle }={\frac {1}{2}}\sum _{i}\sum _{j\in nn(i))$ $nn(i)$ $i$

H^{MF}={\frac {Jm^{2}Nz}{2}}-\underbrace {(h+mJz)} _{h^{\mathrm {eff} }}\sum _{ este i}

unde este numărul de coordonare . În acest moment, Hamiltonianul Ising este defalcat în suma Hamiltonianului dintr-o particulă cu câmpul mediu efectiv și câmpul mediu datorat spinurilor adiacente. Este de remarcat faptul că acest câmp mediu depinde direct de numărul de vecini cei mai apropiați și, prin urmare, de dimensiunea sistemului (de exemplu, pentru o rețea hipercubică de dimensiune , ). $z$ $h^{\mathrm {eff} }=h+Jzm$ $d$ $z=2d$

Acest Hamiltonian este substituit în funcția de distribuție , iar problema efectivă unidimensională este rezolvată, obținând

Z=e^{-\beta Jm^{2}Nz/2}\left[2\cosh \left({\frac {h+mJz}{k_{B}T}}\right)\right ]^{N}

unde este numărul de noduri de rețea. Aceasta este o expresie închisă și exactă pentru funcția de distribuție a sistemului. Din el puteți obține energie gratuită și puteți afla indicii critici. În special, se poate obține magnetizarea m în funcție de . $N$ $h^{\mathrm {eff} }$

Astfel, se obțin două ecuații care precizează relația dintre m , ceea ce ne permite să determinăm m în funcție de temperatură. Consecința acestui lucru este următoarea: $m$ $h^{\mathrm {eff} }$

pentru temperaturi peste o anumită valoare , singura soluție este . Sistemul este paramagnetic . $T_{c}$ $m=0$
căci există două soluţii nenule: . Sistemul este un feromagnet . $T<T_{c)$ $m=\pm m_{0)$

$T_{c}$ se găseşte din relaţia: . Aceasta arată că teoria câmpului mediu poate descrie tranziția de fază la starea feromagnetică. $T_{c}={\frac {Jz}{k_{B}}}$

Aplicare la alte sisteme

În mod similar, teoria câmpului mediu poate fi aplicată altor hamiltonieni:

Când se studiază metalul de tranziție de fază-superconductor. În acest caz, analogul magnetizării este golul supraconductor . $\Delta$
Pentru câmpul molecular cu cristale lichide , care apare atunci când Laplacianul câmpului director este diferit de zero.
Pentru a determina împachetarea optimă a lanțurilor laterale de aminoacizi pentru o anumită structură terțiară atunci când se prevede structura proteinelor.

Generalizare pentru câmpuri medii dependente de timp

În teoria câmpului mediu, apare pentru un singur nod ca scalar sau vector, dar nu depinde de timp. Cu toate acestea, acest lucru nu este necesar: în varianta teoriei, care se numește teoria câmpului mediu dinamic, câmpul mediu depinde de timp. De exemplu, teoria dinamică poate fi aplicată modelului Hubbard prin studierea tranziției metal-izolant Mott .

Note

↑ Kadanoff, LP Mai mult este la fel; Tranziții de fază și teorii ale câmpului mediu // Journal of Statistical Physics : jurnal. - 2009. - Vol. 137 , nr. 5-6 . - P. 777-797 . - doi : 10.1007/s10955-009-9814-1 . - Cod biblic . - arXiv : 0906.0653 .
↑ Weiss, Pierre . L'hypothèse du champ moléculaire et la propriété ferromagnétique (franceză) // J. Phys. Theor. Aplic. :revistă. - 1907. - Vol. 6 , nr 1 . _ - P. 661-690 .
↑ Boudec, JYL; McDonald, D.; Mundinger, J. A Generic Mean Field Convergence Result for Systems of Interacting Objects // A patra conferință internațională privind evaluarea cantitativă a sistemelor (QEST 2007 ) . - 2007. - P. 3. - ISBN 0-7695-2883-X . - doi : 10.1109/QEST.2007.8 .
↑ Baccelli, F.; Karpelevici, F.I.; Kelbert, M.Y.; Puhalskii, A.A.; Rybko, A.N.; Suhov, YM O limită de câmp mediu pentru o clasă de rețele de așteptare // Journal of Statistical Physics : jurnal. - 1992. - Vol. 66 , nr. 3-4 . — P. 803 . - doi : 10.1007/BF01055703 . - Cod biblic .
↑ Lasry, JM; Lions, PLJocuri de câmp mediu (neopr.) // Jurnalul Japonez de Matematică. - 2007. - T. 2 . - S. 229 . - doi : 10.1007/s11537-007-0657-8 .
↑ Chaikin, PM; Lubensky, TC Principiile fizicii materiei condensate (neopr.) . — a 4-a imprimare. - Cambridge: Cambridge University Press , 2007. - ISBN 978-0-521-79450-3 .
↑ S.E. Stanley. Teoria câmpului mediu a tranzițiilor de fază magnetică // Introducere în tranzițiile de fază și fenomenele critice (engleză) . - Oxford University Press , 1971. - ISBN 0-19-505316-8 .