Ecuația în derivate funcționale

O ecuație în derivate funcționale este o generalizare a conceptului de ecuație diferențială în cazul unui set infinit de variabile. Este utilizat în analiza funcțională și fizica teoretică ( ecuația Schwinger-Tomonaga , ecuațiile Schwinger ).

O ecuație obișnuită în derivate funcționale se obține prin trecerea la limită la un set infinit de variabile dintr-o ecuație în diferențiale totale [1] :

{\displaystyle du=p_{1}dx_{1}+p_{2}dx_{2}+...+p_{n}dx_{n))

(unu),

unde: și coeficienții sunt funcții ale variabilelor . $u$ $p_{j}$ $n$ $x_{1},x_{2},...,x_{n)$

La trecerea la limita din ecuația (1), suma se va transforma într-o integrală și va lua forma: $n\la\infty$

\delta U=\int _{0}^{1}f[x(t);U,\tau ]\delta x(\tau )d\tau

(2)

unde: - funcțional necunoscut din funcție , - variabila de integrare. $U$ $x(t)$ $\tau$

Folosind conceptul de derivată funcțională, această ecuație poate fi scrisă astfel:

U_{x(\tau )}^{'}=f[x(t);U,\tau ]

(3)

unde: - derivata functional. $U_{x(\tau )}^{'}$

Dacă familia de funcții aparține spațiului și depinde de un parametru numeric, atunci ecuația în derivate funcționale se transformă într-o ecuație diferențială de ordinul întâi, care se rezolvă convenabil prin metoda aproximărilor succesive [2] . $x(t)$ $L_{{2}}$

Dacă funcționalitatea depinde nu numai de funcție , ci și de unul sau mai mulți parametri numerici, atunci ecuația în derivate funcționale se transformă într-o ecuație integro-diferențială, care poate fi rezolvată și prin metoda aproximărilor succesive [3] . $U$ $x(t)$

Note

↑ Levy, 1967 , p. 107-108.
↑ Levy, 1967 , p. 108-110.
↑ Levy, 1967 , p. 110-112.

Literatură

Levy P. Probleme concrete de analiză funcţională. — M .: Nauka , 1967. — 509 p.