Ecuația Schwinger-Tomonaga

Ecuația Schwinger-Tomonaga , în teoria cuantică a câmpului , ecuația de bază a mișcării [1] , generalizând ecuația Schrödinger la cazul relativist.

Funcția de undă în cazul relativist trebuie dată ca o funcțională a suprafețelor spațiale . Ecuația Schwinger-Tomonaga pentru funcția de undă are forma: [2] $\Psi [\sigma]$

i\hbar {\frac {\delta \Psi [\sigma]}{\delta \sigma (x)))={\mathcal {H))(x)\Psi [\sigma],

unde este densitatea hamiltonianului ${\mathcal {H}}(x)$

H(t)=\int {\mathcal {H}}(x)d^{3}\mathbf {x} .

$x=(x^{0},\mathbf {x} )$ este o coordonată în spațiul Minkowski . Ecuația Schwinger-Tomonaga pentru matricea densității , care este, de asemenea, o funcțională a suprafețelor spațiale, are forma: [3] $\mathbb {R} ^{1,3}$

i\hbar {\frac {\delta \rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)))=[{\mathcal {H}}(x),\rho [\sigma ]].

Hipersuprafețele asemănătoare spațiului sunt definite de o varietate tridimensională în , care poate fi extinsă în toate direcțiile asemănătoare spațiului. Aceste varietăți sunt determinate de faptul că în fiecare punct hipersuprafața are un vector normal unitar $\sigma$ $\mathbb {R} ^{1,3}$ $x\in \sigma$

n_{\mu }(x)n^{\mu }(x)=1,

ca în timp

n^{0}(x)\geqslant 1.

Ecuația Schwinger-Tomonaga este o ecuație diferențială funcțională . Poate fi privită ca o ecuație diferențială într-o familie continuă de variabile de timp. [3] Pentru a face acest lucru, este necesar să alegeți parametrizarea hipersuprafeței prin coordonatele spațiului tridimensional , apoi punctele pot fi reprezentate ca . Astfel, fiecare punct are propria sa variabilă de timp . $\sigma$ $\mathbf {x}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $x\in \sigma$ $x=(x^{0}(\mathbf {x} ),\mathbf {x} )$ $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3)$ $x^{0}=x^{0}(\mathbf {x} )$

Derivată funcțională în ecuația Schwinger-Tomonaga

Să luăm în considerare un punct și o suprafață variată , care diferă doar într-o anumită vecinătate a punctului . Să notăm volumul regiunii cu patru dimensiuni cuprinse între și . Apoi derivata funcțională a unei funcționale arbitrare , care este o mapare de la mulțimea de hipersuprafețe la numere reale , este definită [4] după cum urmează [5] $x\in \sigma$ $\sigma +\delta \sigma$ $\sigma$ $Bou$ $X$ $\Omega (x)$ $\sigma$ $\sigma +\delta \sigma$ ${\frac {\delta }{\delta \sigma (x)))$ $F[\sigma ]$

{\frac {\delta F[\sigma]}{\delta \sigma (x)))={\underset {\Omega (x)\rightarrow 0}{\lim )}{\frac {F[ \sigma +\delta \sigma ]-F[\sigma ]}{\Omega (x))).

Rezolvarea ecuației Schwinger-Tomonaga

Soluția ecuației Schwinger-Tomonaga pentru matricea densității poate fi reprezentată ca [6]

\rho (\sigma)=U(\sigma,\sigma _{0})\rho (\sigma _{0})U^{\dagger}(\sigma,\sigma _{0}),

unde este operatorul de evoluție unitară al formei $U(\sigma,\sigma _{0})$

U(\sigma,\sigma _{0})=\mathrm {Texp} \left[-i\hbar \int _{\sigma _{0})^{\sigma {\mathcal {H} }(x)d^{4}x\dreapta],

unde este exponentul ordonat în timp. este matricea de densitate inițială definită pe suprafața inițială . În mod similar, soluția ecuației Schwinger-Tomonaga pentru funcția de undă poate fi reprezentată ca $\mathrm {Texp}$ $\rho (\sigma _{0})$ $\sigma _{0}$

\Psi (\sigma)=U(\sigma,\sigma _{0})\Psi (\sigma _{0}),

unde este funcția de undă inițială. $\Psi (\sigma _{0})$

Condiție necesară pentru integrabilitate

Așa cum ecuațiile diferențiale parțiale necesită comutabilitatea acestor derivate pentru integrabilitate, tot așa și ecuația Schwinger-Tomonaga pentru matricea densității are o condiție necesară de integrabilitate [6] , necesitând ca derivatele variaționale să comute în puncte arbitrare ale fiecărei suprafețe fixe asemănătoare spațiului : $\sigma$

{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)\delta \sigma (y)))-{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (y)\delta \sigma (x)))=0,\qquad \forall x,y\in \sigma .

Această condiție este o consecință a cerinței de microcauzalitate pentru densitatea hamiltonianului . Se afirmă că Hamiltonienii pentru diferite puncte ale intervalelor asemănătoare spațiului ${\mathcal {H}}(x)$

[{\mathcal {H}}(x),{\mathcal {H}}(y)]=0,\qquad (xy)^{2}<0.

Într-adevăr, ținând cont de identitatea Jacobi , avem:

{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)\delta \sigma (y)))-{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (y)\delta \sigma (x)))=[[{\mathcal {H}}(x),{\mathcal {H}}(y)],\rho [\sigma ]]=0,\qquad \forall x,y\in \sigma .

Condiția de integrabilitate asigură unicitatea soluției.

Pachetul spațiu-timp și ecuația Schrödinger

Un pachet spațial este definit [7] printr-o familie netedă de un parametru $\mathbb {R} ^{1,3}$

{\mathcal {F}}=\{\sigma (\tau )\}

constând din hipersuprafețe asemănătoare spațiului cu proprietatea că fiecare punct aparține uneia și numai unei suprafețe : $\sigma (\tau )$ $x\in \mathbb {R} ^{1,3}$ $\sigma (\tau )$

\forall x\in \mathbb {R} ^{1,3}\;\există !\tau \in \mathbb {R} :x\in \sigma (\tau).

Notăm hipersuprafața corespunzătoare punctului ca . Un pachet fix generează o familie de vectori de stare $X$ $\sigma _{x}$ ${\mathcal {F}}$

|\Psi (\tau)\rangle =\Psi (\sigma (\tau)).

Apoi ecuația Schwinger-Tomonaga poate fi reformulată în formă integrală

|\Psi (\tau)\rangle =|\Psi (0)\rangle -i\hbar \int _{\sigma _{0))^{\sigma (\tau)}{\mathcal {H }}(x)\Psi (\sigma _{x})d^{4}x.

Integrarea patrudimensională este extinsă la zona înconjurată de hipersuprafața inițială și de hipersuprafața familiei, care se află în întregime în viitor . $\sigma _{0}=\sigma (0)$ $\sigma (\tau )$ $\sigma _{0}$

Fie ca hipersuprafețele să fie definite prin expresia implicită $\sigma (\tau )$

{\tilde {f}}(x,\tau )=0,

unde este o funcție scalară netedă . Apoi vectorul normal al unității ${\tilde {f)}(x,\tau )$

n_{\mu }(x)={\frac {1}{\sqrt ({\frac {\partial {\tilde {f)}(x,t)}{\partial x^{\mu } }}{\frac {\partial {\tilde {f}}(x,t)}{\partial x_{\mu }})))}}{\frac {\partial {\tilde {f}}(x , t)}{\partial x^{\mu }}}.

Pentru comoditate, normalizăm funcția care definește hiperplanul astfel încât să eliminăm factorul de normalizare din formula pentru normal $f(x,\tau )=0$

n_{\mu }(x)={\frac {\partial f(x,t)}{\partial x^{\mu ))}.

Diferențierea ecuației integrale pentru vectorii de stare

{\frac {d}{d\tau }}|\Psi (\tau )\rangle =-{\frac {i}{\hbar }}\int _{\sigma (\tau)}\left |{\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right|{\mathcal {H}}(x)|\Psi (\tau )\rangle d\sigma (x),

unde integrarea se realizează peste hipersuprafaţă . Această ecuație este o generalizare covariantă a ecuației Schrödinger. Ținând cont $\sigma (\tau)\in {\mathcal {F}}$

\int _{\sigma (\tau)}\left|{\frac {\partial f}{\partial \tau ))\right|{\mathcal {H))(x)d\sigma (x) )=\int _{\sigma (\tau )}\left|n_{0}{\frac {\partial x_{0}}{\partial \tau }}\right|{\mathcal {H}}(x )d\sigma (x)=H(\tau )

ecuația de mișcare pentru vectorii de stare ia forma

i\hbar {\frac {d}{d\tau }}|\Psi (\tau )\rangle =H(\tau )|\Psi (\tau )\rangle .

Context istoric

Imediat după apariția mecanicii cuantice, au început încercările de a construi generalizarea relativistă a acesteia. Totuși, pe această cale a apărut o dificultate fundamentală, [1] datorită faptului că în formalismul mecanicii cuantice [8] timpul joacă un rol esențial distins, diferit de coordonate. Pe de altă parte, în teoria relativității, coordonatele de timp și spațiu trebuie să acționeze simetric ca componente ale unui 4-vector.

Pentru a găsi o generalizare relativistă a ecuației de evoluție a stărilor, a fost necesar să înțelegem că timpul non-relativist joacă două roluri simultan, care sunt împărțite în generalizarea relativistă. Pe de o parte, acesta este timpul individual al evenimentului - acesta este timpul care ar trebui să fie simetric cu coordonatele, pe de altă parte, servește ca parametru de evoluție care ordonează evenimentele în puncte separate spațial. Generalizarea relativistă a acestei a doua funcție a timpului poate fi orice set de puncte asemănătoare spațiului reciproc, astfel încât orice linie de lume asemănătoare timpului include unul și doar un punct din această mulțime. O astfel de colecție este o suprafață spațială . $\sigma$

Ecuația în forma descrisă a fost introdusă independent de S. Tomonaga în 1946 și J. Schwinger în 1948 și a servit drept bază pentru construcția teoriei perturbației invariante de Lorentz .

Note

↑ 1 2 Prokhorov, 1992 , TOMONAG - ECUAȚIA SCHWINGER.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 1984 , p. 397.
↑ 1 2 Breuer și Petruccione, 2010 , p. 620.
↑ O astfel de definiție necesită ca ea să fie definită nu numai pe suprafețele spațiale, ci și pe variațiile lor suficient de mici.
↑ Bogolyubov și Shirkov, 1984 , p. 400.
↑ 1 2 Breuer și Petruccione, 2010 , p. 622.
↑ Breuer și Petruccione, 2010 , p. 623.
↑ Și, de asemenea, în formalismul său original al mecanicii hamiltoniene clasice .

Literatură

Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Introducere în teoria câmpurilor cuantificate. - Ed. a IV-a, Rev. - M. : Nauka, Ediția principală a literaturii fizice și matematice, 1984. - 600 p. — ISBN 978-5-93972-774-7 .
Breuer H.-P. , Petruccione F. . Teoria sistemelor cuantice deschise / Per. din engleza. ed. Yu. I. Bogdanova . - M. - Izhevsk: Centrul de cercetare „Dinamica regulată și haotică”, Institutul de Cercetări Calculatoare, 2010. - 824 p. — ISBN 978-5-93972-774-7 .
Prohorov A. M. (ed.). Enciclopedie fizică . - M .: Enciclopedia Sovietică , 1992. - T. 3. - 672 p. — ISBN 5-85270-034-7 .