Derivat funcțional
Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 27 decembrie 2018; verificarea necesită 1 editare .În matematică și fizică teoretică , derivata funcțională este o generalizare a derivatei direcționale . Diferența constă în faptul că pentru cel din urmă diferențierea se realizează în direcția unui vector , în timp ce pentru primul vorbim de o funcție. Ambele concepte pot fi văzute ca o generalizare a calculului diferenţial obişnuit .
Există două tipuri principale de derivate funcționale, care corespund definiției generale a derivatei Fréchet și derivatei Gateaux a unei funcții pe un spațiu Banach. În practică, adesea nu diferă.
Definiție
Să fie unele funcționale , adică o funcție definită pe un anumit set de funcții. Valoarea unei funcționale pe o funcție se notează cu . Derivata lui Gateaux (derivata direcțională) este limita (dacă există) a expresiei . Iată o funcție din domeniul definiției . Rețineți că o astfel de derivată, în general, depinde de alegerea funcției . În acest sens, situația este destul de analogă cu cea de dimensiuni finite. De exemplu, o funcție este diferențiabilă într-un punct din dreapta și din stânga, dar aceste derivate unilaterale sunt diferite și, în sensul obișnuit, această funcție nu este diferențiabilă la 0.
![F[\phi]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd9fa24e7f45b9f56ab7b81433d1ff68e9bcb69a)
![\lim _{{\varepsilon \to 0}}{\frac {F[\phi +\varepsilon \delta \phi ]-F[\phi ]}{\varepsilon }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eee3e0955951685ebe8356bfc3f25ffbc1efc236)
Mult mai des în aplicații, apare o derivată a funcționalului, care este similară cu derivata clasică de dimensiuni finite și este un caz special al derivatei Gateaux. Fără a da o definiție generală, să luăm în considerare un exemplu tipic: căutarea unui extremum al unei funcționale pe mulțimea de traiectorii care trec prin două puncte date. O astfel de problemă apare în studiul problemelor mecanicii clasice folosind principiul acțiunii minime , un tip similar de problemă de găsire a unei figuri de suprafață maximă cu un perimetru dat etc.
Fie funcționalitatea să aibă formă integrală [1]
![F[\phi ]=\int _{a}^{b}L(\phi ,{\dot \phi },t)dt](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/691b595b9c68364df0ddff4d1eb075b7472b830b)
Prima sa variație se numește expresie
![\delta F=F[\phi +\delta \phi ]-F[\phi ]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc9054dd7d35991d5bf9dcfd714bc0598ffb4593)
Dacă este reprezentat în formă
până la valori de ordinul doi în raport cu , atunci funcția se numește derivată funcțională [2] în raport cu și notată cu . Funcționalul se numește diferențiabil .
Mai exact, în această problemă , dar în cazul general, răspunsul depinde în mod semnificativ de enunțul problemei și de condițiile la limită.
A doua variantă
Dacă funcționalitatea este diferențiabilă, atunci este posibil să se definească un analog al derivatei a doua (în acest caz, este destul de similară cu matricea derivatelor parțiale secunde ). Expandând variația totală la al doilea ordin și eliminând cantitățile de ordinul întâi, obținem o expresie numită a doua variație a funcționalului :
Proprietăți
Derivata funcțională în ceea ce privește proprietățile este similară cu cea obișnuită. De exemplu:
- Liniaritate .
- Identitatea Leibniz .
- Extinderea variației totale a derivatelor parțiale:
- La punctul extrem al funcționalului, derivata sa este egală cu 0. Punctul extrem este punctul minim (maxim) dacă a doua variație este o formă pătratică definită pozitiv (negativ) .
![\delta F[\phi ,\psi ]={\frac {\delta F}{\delta \phi }}\delta \phi +{\frac {\delta F}{\delta \psi }}\delta \psi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e50dbcac391d0bd726b68720a85faac3065f52b9)
si asa mai departe.
Exemple
Entropie
Entropia informațională a unei variabile aleatoare discrete este funcționala funcției de probabilitate .
![{\begin{aligned}H[p(x)]=-\sum _{x}p(x)\log p(x)\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96861966ca600ab501ab12eb13a187562581cff1)
De aceea
![{\begin{aliniat}\left\langle {\frac {\delta H}{\delta p)),\phi \right\rangle &{}=\sum _{x}{\frac {\delta H[p (x)]}{\delta p(x')}}\,\phi (x')\\&{}=\left.{\frac {d}{d\epsilon }}H[p(x) +\epsilon \phi (x)]\right|_{{\epsilon =0}}\\&{}=-{\frac {d}{d\varepsilon }}\left.\sum _{x}[ p(x)+\varepsilon \phi (x)]\log[p(x)+\varepsilon \phi (x)]\right|_({\varepsilon =0))\\&{}=\displaystyle - \sum _{x}[1+\log p(x)]\phi (x)\\&{}=\left\langle -[1+\log p(x)],\phi \right\rangle . \end{aliniat}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1497c79d458d1d7877003999d215ef6d408adc5)
De aceea
![{\frac {\delta H}{\delta p}}=-[1+\log p(x)].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f66f67ac10bf061ca56ae0733d5ea96ca7eba6)
Expozant
Lăsa
![F[\varphi (x)]=e^{{\int \varphi (x)g(x)dx}}).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cf62da868a4878d3d5c56043e0e7947d1a3789f)
Folosim funcția delta ca funcție de probă:
![{\begin{aliniat}{\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)))&{}=\lim _({\varepsilon \to 0)){\frac {F[\varphi (x)+\varepsilon \delta (xy)]-F[\varphi (x)]}{\varepsilon }}\\&{}=\lim _{{\varepsilon \to 0}} {\frac {e^{{\int (\varphi (x)+\varepsilon \delta (xy))g(x)dx}}-e^{{\int \varphi (x)g(x)dx} }}{\varepsilon }}\\&{}=e^{{\int \varphi (x)g(x)dx}}\lim _({\varepsilon \to 0}}{\frac {e^{ {\varepsilon \int \delta (xy)g(x)dx}}-1}{\varepsilon }}\\&{}=e^{{\int \varphi (x)g(x)dx}}\ lim _{{\varepsilon \to 0}}{\frac {e^{{\varepsilon g(y)))-1}{\varepsilon }}\\&{}=e^{{\int \varphi ( x)g(x)dx}}g(y).\end{aliniat}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4bb807430d52bf84582815526969c5182132bb)
De aceea
![{\frac {\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (y)))=g(y)F[\varphi (x)].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e78f30af55466f2e117b3dc25af74e86a2db308c)
Note
- ↑ Levy, 1967 , p. 42.
- ↑ Levy, 1967 , p. 56-57.