Formula Binet (mecanica)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 20 aprilie 2020; verificările necesită 4 modificări .

Formula lui Binet este o ecuație diferențială care vă permite să determinați forța centrală dacă cunoașteți ecuația traiectoriei unui punct material care se mișcă sub acțiunea sa sau determinați traiectoria dintr-o forță centrală dată.

Formulare

Fie ca un punct material cu masă să se miște sub acțiunea unei forțe centrale . Apoi, în sistemul de coordonate polare , $m$ $\vec{F}$ $r$ $\varphi$

{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}\left({\frac {1}{r}}\right)+{\frac {1}{r}} =-{\frac {F_{r}}{mc^{2}}}r^{2}.

Aici este așa-numita constantă de zonă. $c$

Concluzie

Luați în considerare mișcarea unui punct material sub acțiunea unei forțe centrale . Ecuația de mișcare a unui punct în proiecții pe axele polare , , unde . Accelerație radială , accelerație transversală . Primim ,. _ Să transformăm a doua ecuație: . Prin urmare: , unde este o constantă numită constantă zonă. Înlocuind valoarea din în ecuație , obținem . Găsim succesiv , . Înlocuind în , găsim . $m$ $\vec{F}$ $m{\vec {w}}={\vec {F}}$ $mw_{r}=F_{r)$ $mw_{\varphi}=F_{\varphi }$ $F_{\varphi}=0$ $w_{r}={\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}$ $w_{\varphi }={\ddot {\varphi }}r+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}$ $m({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2})=F_{r}$ $m({\ddot {\varphi }}r+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }})=0$ $({\ddot {\varphi }}r+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }})={\frac {1}{r}}{\frac {d}{dt ))(r^{2}{\dot {\varphi )))=0$ $r^{2}{\dot {\varphi }}=c$ $c$ ${\dot {\varphi })$ $r^{2}{\dot {\varphi }}=c$ $m({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2})=F_{r}$ $m\left({\ddot {r}}-{\frac {c^{2}}{r^{3}}}\right)=F_{r}$ ${\dot {r}}={\frac {dr}{d\varphi }}{\dot {\varphi }}={\frac {c}{r^{2}}}{\frac { dr}{d\varphi }}=-c{\frac {d}{d\varphi }}\left({\frac {1}{r}}\right)$ ${\ddot {r}}={\frac {d{\dot {r}}}{dt}}={\frac {d{\dot {r}}}{d\varphi }}{\ punct {\varphi }}=-{\frac {c^{2}}{r^{2}}}{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}\left({ \frac {1}{r}}\dreapta)$ ${\ddot {r)}$ $m\left({\ddot {r}}-{\frac {c^{2}}{r^{3}}}\right)=F_{r}$ ${\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}\left({\frac {1}{r}}\right)+{\frac {1}{r}} =-{\frac {F_{r}}{mc^{2}}}r^{2}$

Vezi și

Literatură

Moise Iosifovich Liliacul. Mecanica teoretică în exemple și probleme: dinamică . - Nauka, 1968. - S. 14. - 632 p.
Mihail Mihailovici Gernet. Curs de mecanică teoretică . - Liceul, 1973. - S. 325. - 461 p.
Jukovski NE Mecanica analitica . - Școala Tehnică Imperială din Moscova , 1910. - 262 p. — ISBN 9785446096053 .

Note

↑ Bugaenko G. A. , Malanin V. V. , Yakovlev V. I. Fundamentele mecanicii clasice. - M .: Şcoala Superioară, 1999. - S. 86-87. — ISBN 5-06-003587-5