Legile lui Kepler

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 28 iunie 2022; verificările necesită 4 modificări .

Legile lui Kepler sunt trei relații empirice stabilite de Johannes Kepler pe baza observațiilor astronomice pe termen lung ale lui Tycho Brahe [1] . Expusă de Kepler în lucrări publicate între 1609 [2] și 1619 [3] ani. Descrieți orbita heliocentrică idealizată a planetei.

Relațiile lui Kepler i-au permis lui Newton să postuleze legea gravitației universale , care a devenit fundamentală în mecanica clasică. În cadrul său, legile lui Kepler sunt o soluție la problema celor două corpuri în cazul unei mase neglijabil de mică a planetei, adică în tranziția limită , unde , sunt masele planetei și, respectiv, stelei. $m_{p}/m_{s}\rightarrow 0$ $m_{p}$ $Domnișoară}$

Formulări

Prima lege a lui Kepler (legea elipselor)

Fiecare planetă din sistemul solar se mișcă într- o elipsă cu Soarele la unul dintre focarele sale .

Forma elipsei și gradul de asemănare cu un cerc se caracterizează prin raportul , unde este distanța de la centrul elipsei la focalizarea acesteia (distanța focală), este semi- axa majoră . Mărimea se numește excentricitatea elipsei. Când , și, prin urmare, elipsa se transformă într-un cerc. $e=\frac{c}{a}$ $c$ ${A}$ $e$ $c=0$ $e=0,$

A doua lege a lui Kepler (legea zonelor)

Fiecare planetă se mișcă într-un plan care trece prin centrul Soarelui și, pentru perioade egale de timp, vectorul rază care leagă Soarele și planeta descrie zone egale.

În legătură cu sistemul nostru solar, două concepte sunt asociate acestei legi: periheliu - punctul cel mai apropiat al orbitei de Soare și afeliu - punctul cel mai îndepărtat al orbitei. Astfel, din a doua lege a lui Kepler rezultă că planeta se mișcă inegal în jurul Soarelui, având o viteză liniară mai mare la periheliu decât la afelie.

În fiecare an, la începutul lunii ianuarie, Pământul se mișcă mai repede pe măsură ce trece prin periheliu, astfel încât mișcarea aparentă spre est a Soarelui de-a lungul eclipticii este, de asemenea, mai rapidă decât media anuală. La începutul lunii iulie, Pământul, trecând afeliul, se mișcă mai încet, prin urmare, mișcarea Soarelui de-a lungul eclipticii încetinește. Legea zonelor indică, de asemenea, că forța care controlează mișcarea orbitală a planetelor este îndreptată spre Soare.

A treia lege a lui Kepler (legea armonică)

Pătratele perioadelor de revoluție ale planetelor din jurul Soarelui sunt legate ca cuburi ale semi-axelor majore ale orbitelor planetelor.

\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}

$T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}a^{3}$

unde și sunt perioadele de revoluție ale celor două planete în jurul Soarelui și și sunt lungimile semi-axelor majore ale orbitelor lor. Afirmația este valabilă și pentru sateliți. $T_{1}$ $T_{2}$ $a_{1}$ $a_{2}$

Newton a descoperit că atracția gravitațională a unei planete cu o anumită masă depinde doar de distanța acesteia, și nu de alte proprietăți precum compoziția sau temperatura. El a arătat, de asemenea, că a treia lege a lui Kepler nu este complet exactă - de fapt, include și masa planetei:

\frac{T_1^2(M+m_1)}{T_2^2(M+m_2)} = \frac{a_1^3}{a_2^3}

unde este masa Soarelui și și sunt masele planetelor. $M$ $m_1$ $m_2$

Deoarece mișcarea și masa sunt legate, această combinație dintre legea armonică a lui Kepler și legea gravitației lui Newton este folosită pentru a determina masele planetelor și sateliților dacă orbitele și perioadele orbitale ale acestora sunt cunoscute.

Derivarea legilor lui Kepler din legile mecanicii clasice

Derivarea primei legi a lui Kepler

Luați în considerare mișcarea în coordonate polare , al cărei centru coincide cu centrul de masă al sistemului (aproximativ, coincide cu Soarele). $(r,\theta)$

Fie vectorul rază către planetă, să notăm vectorul unitar care indică direcția acestuia. În mod similar, introducem — un vector unitar, perpendicular pe , îndreptat în direcția creșterii unghiului polar . Scriem derivatele de timp, notându-le cu puncte: $\mathbf {r}$ ${\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /r$ ${\hat {\boldsymbol {\theta}}}$ $\mathbf {r}$ $\theta$

{\dot {\mathbf {r} }}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol { \theta }}}

{\ddot {\mathbf {r} }}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+ (r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}

Legea gravitației universale a lui Newton spune că „fiecare obiect din univers atrage orice alt obiect de-a lungul unei linii care leagă centrele de masă ale obiectelor, proporțională cu masa fiecărui obiect și invers proporțională cu pătratul distanței dintre obiecte”. Deci accelerația arată astfel:

\mathbf{a} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = f(r)\hat{\mathbf{r}}.

Sau sub formă de coordonate:

{\begin{cases}{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=f(r),\\r{\ddot {\theta }}+2{ \dot {r}}{\dot {\theta }}=0;\end{cases}}

În a doua ecuație, scriem și : ${\ddot {\theta ))$ $\dot-r$

r { d \dot\theta \over dt } + 2 {dr \over dt} \dot\theta = 0,

Scăpând timpul și separând variabilele, obținem:

\frac{d\dot\theta}{\dot\theta} = -2\frac{dr}{r}.

A căror integrare va da:

\ln {\dot {\theta }}=-2\ln r+C,

Asumând și simplificând logaritmii, avem în sfârșit $C=\ln \ell$

r^{2}{\dot {\theta }}=\ell

Sensul constantei este momentul unghiular specific ( ). Am arătat că în domeniul forțelor centrale se păstrează. $\ell$ $\ell=\mathbf{r}\times \mathbf{v}$

Pentru a lucra cu prima ecuație, este convenabil să faceți înlocuirea:

r = \frac{1}{u},

Și rescrie derivatele, scăpând simultan de timp

{\dot {r}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\dot {u}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{ \frac {du}{dt}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {du}{d\theta }}= -\ell {\frac {du}{d\theta )),

{\ddot {r}}=-\ell {\frac {d}{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\frac {d^{2}u }{dt\,d\theta }}\cdot {\frac {d\theta }{d\theta }}=-\ell {\dot {\theta }}{\frac {d^{2}u}{ d\theta ^{2}}}=-\ell ^{2}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}.

Ecuația mișcării în direcție se va scrie apoi: $\hat{\mathbf{r}}$

\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = - \frac{1}{\ell^2u^2}f\left(\frac{1}{u}\right).

Legea gravitației universale a lui Newton raportează forța pe unitatea de masă cu distanța ca

f \left( {1 \over u} \right) = f(r)= - \, { GM \over r^2 } = - GM u^2

unde este constanta gravitațională universală și este masa stelei. $G$ $M$

Ca urmare:

\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{GM}{\ell^2}.

Această ecuație diferențială poate fi rescrisă în derivate totale:

{\frac {d}{du}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {du}{d\theta }}\right)^{2}+{ \frac {1}{2}}u^{2}\right)={\frac {d}{du}}\left({\frac {GM}{\ell ^{2}}}u\right)

Scăpând de care obținem:

\left({\frac {du}{d\theta }}\right)^{2}+u^{2}-{\frac {2GM}{\ell ^{2}}}u=C

Și, în sfârșit:

{\frac {du}{d\theta }}=\pm {\sqrt {C+{\frac {2GM}{\ell ^{2}}}uu^{2}}}

Împărțind variabilele și efectuând integrarea elementară, obținem soluția generală:

u = \frac{GM}{\ell^2} \left[ 1 + e\cos(\theta-\theta_0) \right] .

pentru constantele de integrare şi în funcţie de condiţiile iniţiale. $e$ $\theta _{0}$

Înlocuind cu 1/ și introducând , avem în sfârșit: $u$ $r$ $p={\frac {\ell ^{2}}{GM}}$

p=r\,(1+e\cos(\theta -\theta _{0}))

Am obținut ecuația unei secțiuni conice cu un parametru și o excentricitate și originea sistemului de coordonate la unul dintre focare. Astfel, prima lege a lui Kepler decurge direct din legea gravitației universale a lui Newton și a doua lege a lui Newton. $p$ $e$

Derivarea celei de-a doua legi a lui Kepler

Prin definiție , momentul unghiular al unui corp punctual cu masă și viteză se scrie astfel: $\mathbf{L}$ $m$ $\mathbf{v}$

\mathbf{L} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times ( m \mathbf{v} )

unde este raza vectorului corpului și este impulsul acestuia. Suprafața măturată de vectorul rază în timp din considerente geometrice este egală cu $\mathbf {r}$ $\mathbf{p} = m \mathbf{v}$ $\mathbf {r}$ $dt$

dS={\frac {1}{2}}r\sin \phi vdt={\frac {1}{2}}|\mathbf {r} \times \mathbf {v} |dt={\ frac {\mathbf {|L|} }{2m}}dt={\frac {\ell }{2}}dt

unde este unghiul dintre vectorii si . $\phi$ $\mathbf {r}$ $\mathbf{v}$

La derivarea primei legi s-a arătat că . Același lucru poate fi obținut prin diferențierea simplă a momentului unghiular: $\ell =const$

\frac{d\mathbf{L}}{dt} = (\mathbf{r} \times \mathbf{F}) + \left( \frac{d\mathbf{r}}{dt} \times m\frac {d\mathbf{r}}{dt} \right) = ( \mathbf{r} \times \mathbf{F} ) + ( \mathbf{v} \times \mathbf{p} ) = 0

Ultima tranziție este explicată prin egalitatea la zero a produsului vectorial al vectorilor coliniari. Într-adevăr, forța aici este întotdeauna direcționată de-a lungul vectorului rază, în timp ce impulsul este direcționat de-a lungul vitezei prin definiție.

Am înțeles că nu depinde de timp. Aceasta înseamnă că este constantă și, prin urmare, viteza de măturare a zonei proporțională cu aceasta este o constantă. $\mathbf L$ $|\mathbf{L}|$ $\frac{dS}{dt}$

Derivarea celei de-a treia legi a lui Kepler

A doua lege a lui Kepler spune că vectorul rază al unui corp circulant mătură zone egale în intervale egale de timp. Dacă acum luăm perioade foarte mici de timp în momentul în care planeta se află în punctele ( periheliu ) și ( afeliu ), atunci putem aproxima aria cu triunghiuri cu înălțimi egale cu distanța de la planetă la Soare și un bază egală cu produsul dintre viteza și timpul planetei. $P$ $A$

{\begin{matrice}{\frac {1}{2}}\end{matrice}}\cdot (1-\varepsilon )a\cdot V_{A}\,dt={\begin{matrice}{\frac {1}{2}}\end{matrice}}\cdot (1+\varepsilon )a\cdot V_{B}\,dt

(1-\varepsilon )\cdot V_{A}=(1+\varepsilon )\cdot V_{B}

V_{A}=V_{B}\cdot {\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}

Folosind legea conservării energiei pentru energia totală a planetei în punctele și , scriem $A$ $B$

\frac{mV_A^2}{2}-\frac{GmM}{(1-\varepsilon)a} =\frac{mV_B^2}{2}-\frac{GmM}{(1+\varepsilon)a }

\frac{V_A^2}{2}-\frac{V_B^2}{2} =\frac{GM}{(1-\varepsilon)a}-\frac{GM}{(1+\varepsilon)a }

{\frac {V_{A}^{2}-V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{a}}\cdot \left({\frac {1}{( 1-\varepsilon )}}-{\frac {1}{(1+\varepsilon )))\dreapta)

\frac{\left ( V_B\cdot\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}\right ) ^2-V_B^2}{2}=\frac{GM}{a}\cdot \left ( \frac{1+\varepsilon-1+\varepsilon}{(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)} \right )

V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}\right)^{2}-V_{B}^{2}={\frac { 2GM}{a}}\cdot \left({\frac {2\varepsilon }{(1-\varepsilon )(1+\varepsilon )))\dreapta)

V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {(1+\varepsilon )^{2}-(1-\varepsilon )^{2}}{(1-\varepsilon )^{2} }}\right)={\frac {4GM\varepsilon }{a\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )))

V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+2\varepsilon +\varepsilon ^{2}-1+2\varepsilon -\varepsilon ^{2}}{(1- \varepsilon )^{2}}}\right)={\frac {4GM\varepsilon }{a\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )))

V_{B}^{2}\cdot 4\varepsilon ={\frac {4GM\varepsilon \cdot (1-\varepsilon )^{2}}{a\cdot (1-\varepsilon )(1+ \varepsilon)}}

V_{B}={\sqrt {\frac {GM\cdot (1-\varepsilon )}{a\cdot (1+\varepsilon )}}}.

Acum că am găsit , putem găsi viteza sectorului. Deoarece este constantă, putem alege orice punct al elipsei: de exemplu, pentru punctul B obținem $V_B$

\frac{dA}{dt}=\frac{\frac{1}{2}\cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B \,dt}{dt}= \begin{matrice}\frac{1} {2}\end{matrice} \cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B

={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\varepsilon )a\cdot {\sqrt {\frac {GM\cdot (1- \varepsilon )}{a\cdot (1+\varepsilon )}}}={\begin{matrice}{\frac {1}{2}}\end{matrice}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot ( 1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}

Cu toate acestea, aria totală a elipsei este (care este egală cu deoarece ). Momentul pentru o revoluție completă este așa $\pi a{\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a$ $\pi ab$ $b={\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a$

T\cdot {\frac {dA}{dt}}=\pi a{\sqrt {(1-\varepsilon ^{2}})))a

T\cdot {\begin{matrice}{\frac {1}{2}}\end{matrice}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )} }=\pi {\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a^{2}

T=\frac{2\pi \sqrt{(1-\epsilon^2)}a^2}{\sqrt{GMa\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}} =\frac{2 \pi a^2}{\sqrt{GMa}}= \frac{2\pi}{\sqrt{GM}}\sqrt{a^3}

T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3.

Rețineți că dacă masa nu este neglijabilă în comparație cu , atunci planeta se va învârti în jurul Soarelui cu aceeași viteză și pe aceeași orbită ca un punct material care se rotește în jurul masei (vezi masa redusă ). În acest caz, masa din ultima formulă trebuie înlocuită cu : $m$ $M$ $M+m$ $M$ $M+m$

T^2=\frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3.

Calcul alternativ Să considerăm planeta ca un punct de masă care se rotește pe o orbită eliptică în două poziții:

m

periheliu cu raza vector , viteza ; $r_{1}=ac$ $V_{1}$
afeliu cu raza vector , viteza . $r_{2}=c+a$ $V_{2}$

Să scriem legea conservării momentului unghiular

{\displaystyle mV_{1}r_{1}=mV_{2}r_{2))

și legea conservării energiei

{\displaystyle {\frac {mV_{1}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{r_{1}}}={\frac {mV_{2}^{2}}{2 ))-{\frac {GmM}{r_{2))))

unde M este masa Soarelui.

Rezolvând sistemul, este ușor să obțineți raportul pentru viteza planetei în punctul „periheliu”:

V_{1}={\sqrt {2GM{\frac {r_{2}/r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}}

Exprimăm viteza sectorului (care, conform celei de-a doua legi a lui Kepler, este o valoare constantă):

V_{s}=1/2\cdot V_{1}r_{1}={\sqrt {GM{\frac {r_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{ 2})}}}}

Să calculăm aria elipsei de-a lungul căreia se mișcă planeta. O parte:

S_{elipse}=\pi ab

unde este lungimea semiaxei majore, este lungimea semiaxei minore a orbitei. $A$ $b$

Pe de altă parte, profitând de faptul că pentru a calcula aria unui sector, puteți înmulți viteza sectorului cu perioada de rulare:

S_{elipsa}=V_{s}\cdot T=T\cdot {\sqrt {\frac {GMr_{2}r_{1)} {2(r_{1}+r_{2)))} )}

Prin urmare,

T\cdot {\sqrt {\frac {GMr_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{2})))}=\pi ab

Pentru transformări ulterioare, folosim proprietățile geometrice ale elipsei. Avem relații

c^{2}=a^{2}-b^{2)

r_{1}+r_{2}=2a

r_{1}\cdot r_{2}=a^{2}-c^{2}=b^{2}

Înlocuiți în formula aria unei elipse:

T\cdot {\sqrt {GM{\frac {b^{2}}{4a}}}}=\pi ab

De unde obținem în sfârșit:

{\frac {T}{a^{3/2}}}=const

sau în mod tradițional

{\frac {T^{2}}{a^{3}}}=const.

Note

↑ Holton, Gerald James. Fizica, aventura umană: de la Copernic la Einstein și mai departe / Holton, Gerald James, Brush, Stephen G.. — a treia carte broșată. - Piscataway, NJ: Rutgers University Press, 2001. - P. 40-41. - ISBN 978-0-8135-2908-0 . Arhivat pe 12 decembrie 2021 la Wayback Machine
↑ Astronomia nova Aitiologitis, seu Physica Coelestis tradita Commentariis de Motibus stellae Martis ex observationibus GV Tychnonis. Praga 1609.
↑ Johannes Kepler, Harmonices Mundi [The Harmony of the World] (Linz, (Austria): Johann Planck, 1619), cartea 5, capitolul 3, p. 189.

Vezi și

Literatură

Legile lui Kepler // Dicţionar enciclopedic al unui tânăr astronom / comp. N. P. Erpylev . - Ed. a II-a. - M . : Pedagogie, 1986. - S. 121 -122. — 336 p.
Smorodinsky Ya. A. Planetele se mișcă în elipse // Kvant . - 1979. - Nr. 12 . - S. 13-19 .
Trefil, Legile lui J. Kepler : [ arh. 28 martie 2016 ] // Elemente. - Din carte. Trefil J. Natura științei. 200 de legi ale universului. (Geleos, 2007.) = The Nature of Science. (2003) = James Trefil. Legile naturii lui Cassel: un A–Z al legilor și principiilor care guvernează funcționarea universului nostru. (2002).

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare catalană mare chinezesc Mare norvegian Rusă mare in jurul lumii Britannica (online) Britannica (online) Britannica (online) Britannica (online) Universalis
În cataloagele bibliografice	BNF : 12445155q GND : 4365820-9 J9U : 987007537148305171 LCCN : sh94003544 SUDOC : 033600619

Mecanica cerească

Legi și sarcini	legile lui Newton Legea gravitației legile lui Kepler Problemă cu două corpuri Problemă cu trei corpuri Problemă gravitațională a N-corpilor problema lui Bertrand ecuația lui Kepler
Sfera celestiala	Sistemul de coordonate ceresc galactic orizontală ecuatorial ecliptic Sistemul internațional de coordonate cerești Sistem de coordonate sferice axa mondială Ecuatorul ceresc ascensiunea dreaptă declinaţie Ecliptic Echinocţiu Solstițiul plan fundamental
Parametrii orbitei	Elementele kepleriene ale orbitei excentricitate semi-axa mare înseamnă anomalie longitudinea nodului ascendent argument periapsis Apocentrul și periapsis Viteza orbitală Nodul orbital Epocă
Mișcarea corpurilor cerești	Mișcarea soarelui și a planetelor în sfera cerească Efemeride Configurații de planetă confruntare compus cuadratura elongaţie parada planetelor Eclipsă eclipsă de soare eclipsa de luna saros Ciclul metonic Strat Tutorial punct culminant perioada siderale perioada sinodica Perioada de rotație rezonanța orbitală Preludiul echinocțiului Apropiere librare Domeniul gravitației efectul Kozai Efectul Yarkovsky efectul Dzhanibekov

Astrodinamica

Zbor în spațiu	viteza spatiala primul (circular) al doilea (parabolic) al treilea Al patrulea formula lui Ciolkovski Manevra gravitațională traiectoria Hohmann Metoda elementelor osculatoare Accelerația mareelor Modificarea înclinației orbitale Rețeaua de transport interplanetar Andocare puncte Lagrange Efect de pionier
SC orbite	orbită geostaţionară Orbită heliocentrică orbită geosincronă orbita geocentrică orbita de geotransfer Orbită terestră joasă orbită polară Orbită „Tundra” Orbită sincronă cu Soarele Orbită „Fulger” Orbită osculatoare

Istoria astronomiei
perioada antica	Babilonul Egiptul antic China antică India Incașii Mayan aztecii aborigenii australieni Grecia antică
Evul mediu	India Orientul islamic Europa medievală Cosmologia în iudaism
Formarea astronomiei teoretice	Sistemul heliocentric al lumii legile lui Kepler
secolul al 17-lea	Legea gravitației
secolul al 18-lea	Edmund Halley William Herschel
secolul al 19-lea	Descoperirea lui Neptun
Secolului 20	Telescopul Hubble

Johannes Kepler
Realizări științifice	Ipoteza lui Kepler legile lui Kepler Elementele kepleriene ale orbitei Triunghiul Kepler ecuația lui Kepler Corpul Kepler-Poinsot Supernova Kepler
Publicaţii	Mysterium Cosmographicum (1596) Astronomia nova (1609) Epitome Astronomiae Copernicanae (1617–21) Harmonices Mundi (1619) Mesele Rudolphin (1627) somnium (1634)
O familie	Katharina Kepler (mamă) Jacob Barch (ginere)