Formula Santalo

Formula Santalo este o consecință a teoremei Liouville asupra conservării volumului fazei , utilizată pentru a integra funcții date pe mănunchiul de sfere unitare ale unei varietăți Riemanniane . Și anume, face posibilă integrarea mai întâi peste fiecare geodezică separat și apoi peste spațiul tuturor geodezicilor.

Acest instrument este utilizat pentru a demonstra inegalitățile izoperimetrice, [1] precum și rezultatele rigidității. [2]

Formula poartă numele lui Luis Santalo , care a demonstrat-o în 1952. [3] [4]

Formulare

Fie o varietate riemanniană compactă, orientată cu graniță . Presupunem că lungimile geodezicelor în sunt limitate, adică orice geodezică ajunge la graniță într-un anumit timp. Să notăm fluxul geodezic pe mănunchiul de sfere unitare . Apoi $(M,g)$ $\partial M$ $M$ $\varphi _{t}\colon SM\to SM$ $SM$

\\int \limits _{v\in SM}f(v)\cdot \mu =\int \limits _{w\in S_{+}\partial M}\left[\int \limits _{ 0}^{\tau (w)}f(\varphi _{t}(w))\cdot dt\right]\cdot \cos \theta (w)\cdot \sigma

pentru orice funcție integrabilă pe . În același timp, presupunem că $f$ $SM$

$\theta (w)$ este unghiul dintre și normala îndreptată spre interior la punctul de bază al vectorului , adică vectorul cu punctul de bază la limita vectorului îndreptat spre interior . $w$ $\partial M$ $w\in S_{+}\partial M$ $\partial M$ $M$
$\mu$ și sunt , de asemenea, forme de volum riemanniene în raport cu metrica Sasaki pe și . $\sigma$ $SM$ $S_{+}\partial M$
$\tau (w)$ denotă timpul de ieșire al geodezicei cu condiții inițiale ; acesta este $w\in S_{+}\partial M$ $\tau (w)=\sup\{t\geq 0:\forall s\in [0,t]:~\varphi _{s}(x,v)\în SM\)$

Vezi și

Note

↑ Croke, Christopher B. „A sharp four dimensional isoperimetric inequality.” Commentarii Mathematici Helvetici 59.1 (1984): 187–192.
↑ Ilmavirta, Joonas și Francois Monard. „4 Geometrie integrală pe varietăți cu limită și aplicații.” Transformarea radonului: primii 100 de ani și după 22 (2019): 43.
↑ Santalo, Luis Antonio. Măsurarea seturilor de geodezice într-un spațiu riemannian și aplicații la formule integrale în spații eliptice și hiperbolice. 1952
↑ Santaló, Luis A. Integral geometry and geometric probability. Cambridge University Press, 2004

Link -uri

Sergey Ivanov , Câteva inegalități geometrice și teoreme de rigiditate, Cursul 9 pe YouTube , începând cu ora 1:01:52