Formule Newton-Cotes

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 18 octombrie 2022; verificarea necesită 1 editare .

Formulele Newton-Cotes (Cotes) , numite și reguli de cuadratura Newton-Cotes sau pur și simplu reguli Newton-Cotes, sunt un grup de formule pentru integrarea numerică (numite și cuadraturi ) bazate pe calculul unei funcții integrabile în puncte egal distanțate. Formulele sunt numite după Isaac Newton și Roger Cotes .

Formulele Newton-Kots sunt utile atunci când valorile funcției integrabile sunt date în puncte distanțate la aceeași distanță unele de altele. Dacă este posibil să se schimbe poziția punctelor, alte metode, cum ar fi metoda Gauss și metoda în cuadratura Clenshaw-Curtis , pot fi mai potrivite

Descriere

Se presupune că valorile funcției f sunt definite pe segment și sunt cunoscute în punctul situat la distanțe egale unul de celălalt. Dacă și , adică valorile funcției sunt utilizate la limitele intervalului, atunci funcția se numește o cuadratură de tip „închis”, iar dacă și , adică valorile funcției la punctele extreme ale intervalului nu se folosesc, atunci tipul „deschis” [1] . Formulele Newton-Cotes folosind puncte pot fi definite (pentru ambele cazuri) ca [2] $[a,b]$ $n+1$ $a\leqslant x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}\leqslant b$ $x_{0}=a$ $x_{n}=b$ $x_{0}>a$ $x_{n}<b$ $n+1$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}A_{i}\,f(x_{i})

Unde

pentru o formulă de tip închis , unde , $x_{i}=a+ih$ $h={\frac {ba}{n}}$
pentru o formulă de tip deschis , unde . $x_{i}=a+(i+1)h$ $h={\frac {ba}{n+2)}$

Numărul h se numește dimensiunea pasului și se numește coeficient de cuadratura [3] . $A_{i}$

$A_{i}$ pot fi calculate ca integrale ale polinoamelor bazate Lagrange , care depind numai de funcția f și nu depind de aceasta . Fie un polinom de interpolare în forma Lagrange pentru puncte date , atunci $x_{i}$ $L(x)$ $(x_{0},f(x_{0})),\dots ,(x_{n},f(x_{n}))$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\aprox \int _{a}^{b}L(x)\,dx=\int _{a}^{b} \left(\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\,l_{i}(x)\right)\,dx=\sum _{i=0}^{n} f(x_{i})\underbrace {\int _{a}^{b}l_{i}(x)\,dx} _{A_{i}}.

Instabilitate pentru puteri mari

Se pot construi formulele Newton-Cotes de orice grad n . Totuși, pentru n mare , regula Newton-Cotes poate suferi uneori din cauza fenomenului Runge [4] , unde eroarea crește exponențial pentru n mare . Metode precum cuadratura Gauss sau cuadratura Clenshaw-Curtis - cu distanțe inegale între puncte (având o densitate mai mare la capetele intervalului de integrare) - sunt stabile și mai precise și, prin urmare, de obicei mai preferabile decât cuadratura Newton-Cotes. În cazul în care aceste metode nu pot fi utilizate, adică dacă valorile expresiei de integrat sunt date doar într-o grilă fixă cu distanțe egale, fenomenul Runge poate fi evitat prin utilizarea partiției pe intervale, așa cum se explică mai jos.

De asemenea, formule Newton-Cotes stabile pot fi construite dacă interpolarea este înlocuită cu metoda celor mai mici pătrate. Aceasta permite scrierea formulelor stabile numeric chiar și pentru puteri mari [5] [6] .

Formule Newton-Cotes de tip închis

Următorul tabel listează câteva dintre formulele Newton-Cotes de tip închis. Pentru let , iar notația este o abreviere pentru . $0\leqslant i\leqslant n$ $x_{i}=a+i{\tfrac {ba}{n}}=a+ih$ $f_{i}$ $f(x_{i})$

Formule Newton-Cotes închise

n	Dimensiunea pasului h	Denumirea comună	Formulă	Eroare
unu	$ba$	Metoda trapezoidală	${\frac {h}{2}}(f_{0}+f_{1})$	$-{\frac {1}{12}}h^{3}f^{(2)}(\xi )$
2	${\frac {ba}{2)}$	Formula Simpson	${\frac {h}{3}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})$	$-{\frac {1}{90}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$
3	${\frac {ba}{3)}$	Formula Simpson 3/8	${\frac {3h}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})$	$-{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$
patru	${\frac {ba}{4)}$	Regula lui Boole	${\frac {2h}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})$	$-{\frac {8}{945}}h^{7}f^{(6)}(\xi )$

Regula lui Boole este uneori denumită în mod eronat regula lui Bode, ca urmare a unei erori tipografice din cartea lui Abramovitz și Steegan [7] [8] .

Gradul de dimensiune a segmentului h în eroare arată rata cu care eroarea de aproximare scade . Ordinea derivatei lui f în eroare dă cel mai mic grad al unui polinom care nu poate fi calculat exact (adică cu eroare zero) prin această regulă. Numărul trebuie luat din intervalul (a, b). $\xi$

Formule Newton-Cotes de tip deschis

Tabelul prezintă câteva formule Newton-Cotes de tip deschis. Din nou, prescurtarea pentru , unde . $f_{i}$ $f(x_{i})$ $x_{i}=a+i{\frac {ba}{n+2}}$

Newton-Cotes formule deschise

n	Dimensiunea pasului h	Denumirea comună	Formulă	Eroare
0	${\frac {ba}{2)}$	Suma Riemann sau Suma Riemann înseamnă	$2hf_{1}\,$	${\frac {1}{3}}h^{3}f^{(2)}(\xi )$
unu	${\frac {ba}{3)}$		${\frac {3}{2}}h(f_{1}+f_{2})$	${\frac {3}{4}}h^{3}f^{(2)}(\xi )$
2	${\frac {ba}{4)}$	Formula Milne	${\frac {4}{3}}h(2f_{1}-f_{2}+2f_{3})$	${\frac {14}{45}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$
3	${\frac {ba}{5}}$		${\frac {5}{24}}h(11f_{1}+f_{2}+f_{3}+11f_{4})$	${\frac {95}{144}}h^{5}f^{(4)}(\xi )$

Împărțirea unui interval

Pentru ca formula Newton-Cotes să fie mai precisă, lungimea h trebuie să fie mică. Aceasta înseamnă că intervalul de integrare în sine trebuie să fie mic, ceea ce nu este cazul în majoritatea cazurilor. Din acest motiv, integrarea numerică se realizează de obicei prin împărțirea intervalului în subintervale mai mici, pe fiecare dintre acestea se aplică formula Newton-Cotes, după care se adună rezultatele. Consultați articolul Integrare numerică . $[a,b]$ $[a,b]$

Vezi și

Note

↑ Berezin, Jidkov, 1962 , p. 240.
↑ Quarteroni, Sacco, Saleri, 2006 , p. 386-387.
↑ Kalașnikov, Fedotkin, Fokina, 2016 , p. 5.8.
↑ Quarteroni, Sacco, Saleri, 2006 , p. 390-391.
↑ Pavel Holoborodko. Formule Newton-Cotes stabile (24 martie 2011). Preluat la 17 august 2015. Arhivat din original la 31 decembrie 2017. (nedefinit)
↑ Pavel Holoborodko. Formule Newton-Cotes stabile (tip deschis) (20 mai 2012). Preluat la 18 august 2015. Arhivat din original la 20 decembrie 2017. (nedefinit)
↑ Abramowitz, Stegun, 1972 .
↑ Regula Booles de pe site-ul Wolfram Mathworld a scris greșit anul „1960” (în loc de „1860”) . Preluat la 13 ianuarie 2022. Arhivat din original la 24 ianuarie 2018. (nedefinit)

Literatură

Ghid pentru rezolvarea problemelor de integrare numerică / comp. A. L. Kalashnikov, A. M. Fedotkin, V. N. Fokina. - Nijni Novgorod, 2016.
Quarteroni. Matematică numerică. — al 2-lea. - Springer, 2006. - ISBN 978-3-540-34658-6 .
Secțiunea 25.4 // Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice / M. Abramowitz, I.A. Stegun, eds.. - New York: Dover, 1972.
Abramovitz M., Stigan I. Manual de funcții speciale, Cu formule, grafice și tabele matematice. - Moscova: „Nauka”, 1979.
George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, Cleve B. Moler. Secțiunea 5.1. // Metode computerizate pentru calcule matematice . — Englewood Cliffs, NJ: Prentice–Hall, 1977.
Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP Secțiunea 4.1. Formule clasice pentru abscise la distanță egală // Rețete numerice: Arta calculului științific. — al 3-lea. - New York: Cambridge University Press, 2007. - ISBN 978-0-521-88068-8 .
Josef Stoer, Roland Bulirsch. Secțiunea 3.1 // Introducere în analiza numerică . — New York: Springer-Verlag, 1980.
Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Metode de calcul. - Ed. a II-a. -M .:Fizmatlit, 1962. - T. I. (Rusă)

Link -uri

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Formula de cuadratura Newton–Cotes , Enciclopedia matematicii , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Formule Newton-Cotes pe www.math-linux.com
Weisstein, Eric W. Newton–Cotes Formule (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
Integrarea Newton-Cotes , numericalmathematics.com