Metoda Gauss (integrare numerică)

Metoda Gauss este o metodă de integrare numerică care permite creșterea ordinii algebrice de precizie a metodelor bazate pe formule de interpolare printr-o alegere specială a nodurilor de integrare fără a crește numărul de valori ale integrandului utilizat. Metoda Gauss face posibilă atingerea preciziei algebrice maxime pentru un număr dat de noduri de integrare.

De exemplu, pentru două noduri, puteți obține o metodă de precizie de ordinul 3

I\aprox {\frac {ba}{2}}\left(f\left({\frac {a+b}{2}}-{\frac {ba}{2{\sqrt {3} ))}\dreapta)+f\stanga({\frac {a+b}{2}}+{\frac {ba}{2{\sqrt {3}}}}\dreapta)\dreapta)\,

în timp ce pentru nodurile echidistante ale metodei de deasupra ordinului 2 este imposibil de obținut. În general, folosind puncte, puteți obține o metodă cu o ordine de precizie . Valorile nodurilor metodei Gauss prin puncte sunt rădăcinile polinomului Legendre de grad . Valorile greutății sunt calculate prin formula , unde este prima derivată a polinomului Legendre . $n$ $2n-1$ $n$ $n$ ${\displaystyle a_{i}={\frac {2}{(1-x_{i}^{2})\,[P_{n}'(x_{i})]^{2))))$ $P_{n}'$

Pentru noduri și greutăți au următoarele valori: , ponderi : . $n=3$ $x_{1,3}=\pm {\sqrt {0,6)),x_{2}=0$ $a_{1,3}={\frac {5}{9}),a_{2}={\frac {8}{9}}$

(Polinomul este definit pe segmentul ). $[-1,1]$

Cea mai cunoscută este metoda gaussiană în cinci puncte.

Metoda Gauss-Kronrod

Dezavantajul metodei Gauss este că nu are o modalitate uşoară (din punct de vedere computaţional) de a estima eroarea valorii obţinute a integralei. Utilizarea regulii Runge la împărțirea segmentului de integrare necesită calcularea integrandului la aproximativ același număr de puncte, fără a oferi aproape niciun câștig în precizie, spre deosebire de metodele simple, în care acuratețea crește de câteva ori cu fiecare nouă împărțire. Kronrod a propus următoarea metodă de estimare a valorii integralei

I\aproximativ \sum _{{i=1}}^{{n}}a_{i}\,f(x_{i})+\sum _{{i=1}}^{{n+1} }b_{i}\,f(y_{i})

unde sunt nodurile metodei Gauss pe puncte, iar parametrii , , sunt aleși în așa fel încât ordinea de precizie a metodei să fie egală cu . Apoi, pentru a estima eroarea, puteți utiliza formula empirică : $x_{i}$ $n$ $3n+2$ $a_{i}$ $b_{i}$ $y_{i}$ $3n+1$

\Delta =\left(200|I-I_{G}|\right)^{{1.5}}

unde este valoarea aproximativă a integralei obţinute prin metoda Gauss peste puncte. Bibliotecile gsl și SLATEC pentru calcularea integralelor definite conțin rutine folosind metoda Gauss-Kronrod pentru 15, 21, 31, 41, 51 și 61 de puncte. $IG}$ $n$

Vezi și

Literatură

Boltachev G.Sh. Metode numerice în fizica termică. Curs de curs Cursul 3: Integrare numerică

Calcul integral

Principal

Generalizări
ale integralei Riemann

Transformări integrale

Integrare numerică

teoria măsurării

subiecte asemănătoare

Liste de integrale