Formula Simpson
Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 28 decembrie 2019; verificările necesită 19 modificări .Formula Simpson (de asemenea Newton -Simpson [1] ) se referă la tehnici de integrare numerică . A fost numit după matematicianul britanic Thomas Simpson (1710-1761).
Esența metodei constă în aproximarea integrandului pe segment printr -un polinom de interpolare de gradul doi , adică aproximarea graficului funcției pe segment printr-o parabolă. Metoda lui Simpson are o ordine de eroare de 4 și o ordine algebrică de precizie de 3.
![[a,b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
Formula
Formula lui Simpson este integrala unui polinom de interpolare de gradul doi pe un segment :
unde și sunt valorile funcției în punctele corespunzătoare (la capetele segmentului și în mijlocul acestuia).
Precizie
Cu condiția ca funcția de pe segment să aibă o derivată a patra , eroarea , conform formulei găsite de Giuseppe Peano , este egală cu:
![E(f)=-{\frac {(ba)^{5}}{2880}}{{f^{{(4)}}(\zeta ))),\ \ \ \zeta \in [a, b].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f433d5ee51bf8430229b9d4b9461ee9f457929dc)
Datorită faptului că valoarea este adesea necunoscută, se utilizează următoarea inegalitate pentru a estima eroarea:
![\left|E(f)\right|\leqslant {\frac {(ba)^{5}}{2880}}\max \limits _{{x\in [a,b]}}{\left|f ^{{(4)}}(x)\right|}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0286f6a0dbc988cdd1a83b0303ac005d3e490372)
Reprezentarea sub forma metodei Runge-Kutta
Formula lui Simpson poate fi reprezentată ca un tabel al metodei Runge-Kutta după cum urmează:
Formula compozită (formula Cotes)
Pentru un calcul mai precis al integralei, intervalul este împărțit în segmente elementare de aceeași lungime și se aplică formula lui Simpson segmentelor compozite. Fiecare segment compus este format dintr-o pereche adiacentă de segmente elementare. Valoarea integralei inițiale este suma rezultatelor integrării pe segmentele compuse:
unde este dimensiunea pasului și sunt limitele și punctele medii alternative ale segmentelor compuse pe care se aplică formula Simpson. Un segment compus similar este format din două segmente elementare . Astfel, dacă facem paralele cu formula Simpson simplă, atunci în acest caz, mijlocul segmentului pe care se aplică formula Simpson devine . De obicei, pentru o grilă uniformă, această formulă este scrisă în altă notație (segmentul este împărțit în segmente) sub forma
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\aprox {\frac {h}{3}}\left[f(x_{0})+2\sum _{j= 1}^{N/2-1}f(x_{2j})+4\sum _{j=1}^{N/2}f(x_{2j-1})+f(x_{N}) \dreapta],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d56e22c1c27c88d58eec2e54929f524d69aa1f5)
![{\displaystyle [x_{j-1},x_{j+1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/662ade106e57ea7bf0999c9600edb80f2d5e9fa9)
![{\displaystyle [x_{j-1},x_{j}],[x_{j},x_{j+1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1999f53bbec26a0bdd09d31943eb43fb13bd5d3)
![\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+4f(x_{1})+ 2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +4f(x_{{N-1)))+f(x_{N}){\bigg ] }.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66c8c4e7dbfcaf9b3045745b4fd7b9240f1cae71)
De asemenea, formula poate fi scrisă folosind numai valorile cunoscute ale funcției, adică valorile nodurilor:
unde înseamnă că indicele se modifică de la unu cu un pas egal cu doi.![{\int \limits _{a}^{b}f(x)dx}\approx {\frac {h}{3}}\cdot \sum _{{k=1,2}}^{{N- 1}}\stânga[f(x_{{k-1}})+4f(x_{k})+f(x_{{k+1}})\dreapta]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7f315f4a998aa231b1a8873ac449772d1907ca1)
Eroarea totală în timpul integrării pe un segment cu un pas (în acest caz, în special, , ) este determinată de formula [2] :
.
![\left|E(f)\right|\leqslant {\frac {(ba)}{2880}}h^{4}\max \limits _{{x\in [a,b]}}|f^{ {(4)}}(x)|](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec21769097e7f35df4c82f8eecbb44142061301e)
Dacă este imposibil să se estimeze eroarea folosind maximul derivatei a patra (de exemplu, nu există pe un interval dat sau tinde spre infinit), se poate folosi o estimare mai grosieră:
.![\left|E(f)\right|\leqslant {\frac {(ba)}{288}}h^{3}\max \limits _{{x\in [a,b]}}|f^{ {(3)}}(x)|](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8a735a238d91d8943f1686a97dd9ce08a72663)
Verificarea formulei compozite a lui Simpson în cazul integrării vârfurilor înguste
Formula compusă a lui Simpson eșuează testul de eroare în cazul funcțiilor de tip vârf îngust (număr mic de puncte pe vârf), fiind mult mai puțin eficientă [3] decât regula trapezului. Și anume, pentru a obține aceeași eroare ca și în cazul regulii trapezului, regula compusă a lui Simpson necesită de 1,8 ori mai multe puncte. Integrala de regulă compusă Simpson poate fi descompusă într-o suprapunere a două integrale: 2/3 din integrala trapezoidală cu pasul h și 1/3 din regula dreptunghiului central cu pasul 2h, iar eroarea regulii compuse a lui Simpson corespunde celei de-a doua. termen. Este posibil să se construiască o modificare satisfăcătoare a regulii lui Simpson prin mediarea schemelor acestei reguli, obținută cu o deplasare a cadrului de însumare cu un punct, și se obțin următoarele reguli [3] :
∫ A b f ( X ) d X ≈ h 24 [ − f ( X − unu ) + 12 f ( X 0 ) + 25 f ( X unu ) + 24 ∑ i = 2 n − 2 f ( X i ) + 25 f ( X n − unu ) + 12 f ( X n ) − f ( X n + unu ) ] {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\aprox {\tfrac {h}{24}}\left[-f(x_{-1})+12f(x_{0) })+25f(x_{1})+24\sum _{i=2}^{n-2}f(x_{i})+25f(x_{n-1})+12f(x_{n} )-f(x_{n+1})\dreapta]} în care sunt utilizate valori care depășesc limita intervalului de integrare sau ∫ A b f ( X ) d X ≈ h 24 [ 9 f ( X 0 ) + 28 f ( X unu ) + 23 f ( X 2 ) + 24 ∑ i = 3 n − 3 f ( X i ) + 23 f ( X n − 2 ) + 28 f ( X n − unu ) + 9 f ( X n ) ] {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\aprox {\tfrac {h}{24}}\left[9f(x_{0})+28f(x_{1}) +23f(x_{2})+24\sum _{i=3}^{n-3}f(x_{i})+23f(x_{n-2})+28f(x_{n-1} )+9f(x_{n})\dreapta]} în care nu sunt utilizate valori în afara intervalului de integrare. Aplicarea celei de-a doua reguli la o secțiune de trei puncte generează regula lui Simpson 1/3, la o secțiune de 4 puncte - 3/8.![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\aprox {\tfrac {h}{24}}\left[-f(x_{-1})+12f(x_{0) })+25f(x_{1})+24\sum _{i=2}^{n-2}f(x_{i})+25f(x_{n-1})+12f(x_{n} )-f(x_{n+1})\dreapta]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc5347b4c60f196ec77e48ad2daaab1bc90c8fc)
în care sunt utilizate valori care depășesc limita intervalului de integrare sau
∫
A
b
f
(
X
)
d
X
≈
h
24
[
9
f
(
X
0
)
+
28
f
(
X
unu
)
+
23
f
(
X
2
)
+
24
∑
i
=
3
n
−
3
f
(
X
i
)
+
23
f
(
X
n
−
2
)
+
28
f
(
X
n
−
unu
)
+
9
f
(
X
n
)
]
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\aprox {\tfrac {h}{24}}\left[9f(x_{0})+28f(x_{1}) +23f(x_{2})+24\sum _{i=3}^{n-3}f(x_{i})+23f(x_{n-2})+28f(x_{n-1} )+9f(x_{n})\dreapta]}
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\aprox {\tfrac {h}{24}}\left[9f(x_{0})+28f(x_{1}) +23f(x_{2})+24\sum _{i=3}^{n-3}f(x_{i})+23f(x_{n-2})+28f(x_{n-1} )+9f(x_{n})\dreapta]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d134f5a6cae73f7e38d5ffe1900ebb728c0d4ed8)
în care nu sunt utilizate valori în afara intervalului de integrare. Aplicarea celei de-a doua reguli la o secțiune de trei puncte generează regula lui Simpson 1/3, la o secțiune de 4 puncte - 3/8.
În aceste reguli, ponderile punctelor din intervalul de integrare sunt egale cu unu, diferențele se observă doar la capetele secțiunii. Aceste reguli pot fi asociate cu formula Euler-Maclaurin , cu condiția ca prima derivată să fie luată în considerare și să se numească reguli Euler-Maclaurin de ordinul întâi [3] . Diferența dintre reguli constă în modul în care prima derivată este calculată la marginile intervalului de integrare. Diferența primelor derivate la marginile secțiunii de integrare ia în considerare contribuția derivatei a doua la integrala funcției. Formula Euler-Maclaurin poate fi utilizată în mod similar cu regulile de ordinul întâi de mai sus pentru a construi reguli de integrare de ordinul trei, cinci și superior.
Vezi și
Note
- ↑ Formula Newton-Simpson (link inaccesibil) . Preluat la 14 august 2009. Arhivat din original la 22 mai 2010.
- ↑ Metode numerice / N. S. Bakhvalov, N. P. Zhidkov, G. M. Kobelkov. - a 4-a ed. - M. : BINOM, Laboratorul de Cunoaștere, 2006. - S. 122. - 636 p. — ISBN 5-94774-396-5 .
- ↑ 1 2 3 Compararea regulilor de integrare în cazul vârfurilor cromatografice foarte înguste // Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems. — 15-08-2018. — Vol. 179 . — P. 22–30 . — ISSN 0169-7439 . - doi : 10.1016/j.chemolab.2018.06.001 .
Literatură
- Kostomarov DP , Favorskiy AP Prelegeri introductive despre metode numerice . M.: Logos, 2004. 184 p. ISBN 5-94010-286-7
- Petrov IB , Lobanov AI Prelegeri de matematică computaţională . M.: Intuit, Binom, 2006. 523 p. ISBN 5-94774-542-9
| Calcul integral | ||
|---|---|---|
| Principal | ||
| Generalizări ale integralei Riemann | ||
Transformări integrale |
| |
Integrare numerică | ||
| teoria măsurării | ||
| subiecte asemănătoare | ||
| Liste de integrale | ||