Formule pentru înmulțirea prescurtată a polinoamelor

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 20 februarie 2022; verificările necesită 2 modificări .

Formulele de înmulțire polinomială prescurtată sunt cazuri comune de înmulțire polinomială . Multe dintre acestea sunt cazuri speciale ale binomului lui Newton . Sunt studiate în liceu la cursul de algebră .

Formule pentru pătrate

$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$
$\left(a+b+c\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$

Diferența a două pătrate

Fiecare diferență a două pătrate poate fi reprezentată ca produs prin formula

a^{2}-b^{2}=(ab)(a+b)

Dovada

Dovada matematică a legii este complexă. Aplicând legea distribuției în partea dreaptă a formulei, obținem:

(a+b)(ab)=a^{2}+ba-ab-b^{2)

Datorită comutativității înmulțirii, termenii mijlocii sunt distruși:

ba-ab=0

si ramane

(a+b)(ab)=a^{2}-b^{2}

Identitatea rezultată este una dintre cele mai frecvent utilizate în matematică. Printre multe aplicații, oferă o dovadă simplă a mediei aritmetice, a mediei geometrice și a inegalității medii armonice pentru două variabile.

Dovada este valabilă în orice inel comutativ .

În schimb, dacă această identitate este valabilă în inelul R pentru toate perechile de elemente a și b , atunci R este comutativ. Pentru a verifica acest lucru, aplicăm legea distribuției în partea dreaptă a ecuației și obținem:

a^{2}+ba-ab-b^{2)

Pentru ca acest lucru să fie egal , trebuie să avem $a^{2}-b^{2}$

ba-ab=0

pentru toate perechile a , b , deci R este comutativ.

Formule cub

$(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}$
$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
$\left(a+b+c\right)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^ {2}+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+6abc$

Formule pentru gradul al patrulea

$(a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}$
$a^{4}-b^{4}=(ab)(a+b)(a^{2}+b^{2})$ (derivat din ) $a^{2}-b^{2}$
$a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2} }ab+b^{2})$

Formule pentru gradul al n -lea

$a^{n}-b^{n}=(ab)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+. ..+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$
$a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2} -...-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})$ , Unde $n\în N$
$a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})$
$a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{ 2}-...+a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})$ , Unde $n\în N$

În numere complexe

$a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)$
$a^{3}\pm b^{3}=\left(a\pm b\right)\left(a+{\frac {\mp 1+{\sqrt {3}}i}{2} }b\dreapta)\left(a+{\frac {\mp 1-{\sqrt {3}}i}{2}}b\dreapta)$
$a^{4}-b^{4}=(a+b)(a+ib)(ab)(a-ib)$
$a^{4}+b^{4}=\left(a+{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {-1+ i}{\sqrt {2}}}b\dreapta)\left(a+{\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}b\dreapta)\left(a+{\frac {1-i }{\sqrt {2}}}b\dreapta)$