Functor de imagine inversă

Functorul de retragere este o construcție covariantă de snopi . Functorul de imagine directă este o operație primară pe snopi, cu o definiție simplă. Imaginea inversă are proprietăți mai subtile.

Definiție

Să ni se dea un snop și vrem să trecem la utilizarea unei hărți continue . ${\mathcal {G}}$ $Y$ ${\mathcal {G}}$ $X$ $f\coloan X\la Y$

Ne vom referi la rezultat ca . Dacă încercăm să imităm definiția unei imagini directe și a unui set $f^{-1}{\mathcal {G}}$

f^{-1}{\mathcal {G}}(U)={\mathcal {G}}(f(U)),

pentru fiecare set deschis din , ne confruntăm imediat cu o problemă: nu neapărat deschis. Cel mai bun lucru pe care îl putem face este să o aproximăm prin seturi deschise și chiar și atunci obținem un snop înainte, nu un snop. Astfel, definim ca snop asociat cu pre-snop $U$ $X$ $f(U)$ $f^{-1}{\mathcal {G}}$

U\mapsto \varinjlim _{V\supseteq f(U)}{\mathcal {G}}(V).

(Aici , este un subset deschis și colimita este preluată peste toate submulțile deschise ale spațiului care conține .) $U$ $X$ $V$ $Y$ $f(U)$

De exemplu, dacă este doar o încorporare a unui punct în , atunci este un strat snop în acest punct. $f$ $y$ $Y$ $f^{-1}({\mathcal {F}})$ ${\mathcal {F}}$

Existența mapărilor de restricție, precum și functorialitatea imaginii inverse, decurg din proprietatea universală a limitelor directe.

Atunci când morfismele spațiilor inelate local sunt considerate , de exemplu, scheme în geometria algebrică , se lucrează adesea cu snopi de -module , unde este un snopi de structură . Atunci functorul nu este potrivit, deoarece rezultatul aplicării sale, în general, nu este un snop de -module. Pentru a corecta acest lucru, în această situație, pentru un snop de -module , imaginea sa inversă este determinată de regula $f\coloan X\la Y$ ${\mathcal {O}}_{Y}$ ${\mathcal {O}}_{Y}$ $Y$ $f^{-1}$ ${\mathcal {O}}_{X}$ ${\mathcal {O}}_{Y}$ ${\mathcal G}$

f^{*}{\mathcal {G}}:=f^{-1}{\mathcal {G}}\otimes _{f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y )){\mathcal {O}}_{X}

Proprietăți

Deși este mai dificil de definit decât , straturile sale sunt calculate mai simplu: pentru punctul , avem . $f^{-1}$ $f_{\ast )$ $x\în X$ $(f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}\cong {\mathcal {G}}_{f(x)))$
$f^{-1}$ este un functor exact , așa cum se poate vedea din calculul straturilor de mai sus.
$f^{*}$ , în general, este exact doar în dreapta. Dacă este exact, se spune că f este plat . $f^{*}$
$f^{-1}$ este lăsat conjugat la functorul de imagine directă , adică există un izomorfism natural $f_{\ast )$

\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G)), {\mathcal {F)})=\mathrm {Hom} _{ \mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}),f_{*}{\mathcal {F)))

Literatură

Iversen, Birger , Cohomology of sheaves, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1986, ISBN 978-3-540-16389-3 .