Fascicul (matematică)

Un snop este o structură folosită pentru a stabili relații între proprietățile sau caracteristicile locale și globale ale unui obiect matematic. Snopii joacă un rol semnificativ în topologie , geometrie diferențială și geometrie algebrică , dar au și aplicații în teoria numerelor , analiză și teoria categoriilor .

Definiție intuitivă

În linii mari, un snop pe un spațiu topologic este dat de date de două tipuri cu două proprietăți suplimentare. $F$ $X$

Prima parte a datelor este conținută într-o mapare care mapează fiecare subset deschis al spațiului cu un set (abstract) . În plus, putem cere ca pe acest set să fie dată o anumită structură, dar deocamdată ne vom restrânge la faptul că acesta este doar un set. $U$ $X$ $F(U)$

A doua parte a datelor este că pentru fiecare pereche de seturi deschise , o anumită mapare este fixă , numită îngustare . (Acţionează în mod similar cu operaţia de restrângere a gamei de funcţii definite pe ) $V\subset U$ $\rho _{{VU}}:F(U)\la F(V)$ $V$ $U.$

De asemenea, este necesar ca aceste date să aibă următoarele două proprietăți:

Axioma normalizării : - o mulțime de un singur element. $F(\varnothing)$
Axioma de lipire : dacă este dat un sistem consistent de elemente(consecvența înseamnă că elementeleșiau aceeași restricție asupra zonei), atunci ele determină în mod unic elementuldin(unde este uniunea tuturor), ale cărui restricții asupra zonei corespunzătoare sunt toti. $x_{i}\în F(U_{i})$ $x_{i}$ $x_{j}$ $U_{i}\cap U_{j}$ $X$ $F(U)$ $U$ $U_{i}$

Exemple

Pachetele de funcții

Exemplul principal este un snop de funcții continue pe un spațiu topologic X. Restricționarea unei funcții continue la o submulțime deschisă este o funcție continuă pe această submulțime, iar o funcție definită parțial pe submulțimi deschise poate fi restaurată la unirea lor.

Mai precis, pentru fiecare submulțime deschisă a spațiului notăm mulțimea tuturor funcțiilor continue cu valori reale . Având în vedere o mulțime deschisă conținută în și o funcție din , putem restrânge domeniul de aplicare al funcției la o mulțime și obținem o funcție . Constrângerea este o funcție continuă pe ; prin urmare, este un element al mulțimii . Astfel, maparea constrângerilor este definită . $U$ $X$ $F(U)$ $f:U\la {\mathbb {R}}$ $V$ $U$ $f$ $F(U)$ $f$ $V$ $f|_{V}$ $f|_{V}$ $V$ $F(V)$ $\rho _{{VU}}:F(U)\la F(V)$

Axioma normalizării este în mod evident satisfăcută, deoarece există o singură funcție continuă din mulțimea goală din R - funcția goală . Pentru a arăta că și axioma de lipire este valabilă, presupunem că ni se oferă un sistem consistent de funcții continue , . Aceasta înseamnă că restricțiile funcțiilor și ale platoului trebuie să coincidă. Să definim acum funcția după cum urmează: deoarece este uniunea tuturor , fiecare punct al este acoperit de o mulțime pentru unele . Să definim valoarea funcției în punctul egal cu . Această definiție este corectă: dacă se află și în , atunci după condiția de consistență , deci nu contează care dintre aceste funcții să folosești pentru a determina . În plus, funcția este continuă în punctul , deoarece în vecinătatea ei coincide cu funcția continuă . Ca urmare, funcția este continuă în fiecare punct de la , adică continuă la . Mai mult, este singura funcție continuă a cărei restricție la domeniu coincide cu , deoarece funcția este complet determinată de valorile sale la puncte. În consecință, există una și o singură funcție lipită de funcții , și anume . $f_{i}:U_{i}\la {\mathbb {R}}$ $i\în eu$ $f_{i}$ $f_{j}$ $U_{i}\cap U_{j}$ $f:U\la {\mathbb {R}}$ $U$ $U_{i}$ $X$ $U$ $U_{i}$ $i$ $f$ $X$ $f_{i}(x)$ $X$ $U_{j}$ $f_{i}(x)=f_{j}(x)$ $f(x)$ $f$ $X$ $U_{i}$ $f_{i}(x)$ $f$ $U$ $U$ $f$ $U_{i}$ $f_{i}$ $f_{i}$ $f$

De fapt, pachetul rezultat nu este doar un pachet de seturi. Deoarece funcțiile continue pot fi adăugate punctual pentru a obține din nou funcții continue, acest snop este, de asemenea, un snop de grupuri abeliene . Deoarece ele pot fi și înmulțite, acest snop este un snop de inele comutative . Deoarece funcțiile continue pe o mulțime formează un spațiu vectorial peste R , acest snop este un snop de algebre peste R .

Snopi de soluții la ecuații diferențiale

Pentru simplitate, vom lucra cu spațiul R . Să presupunem că pe R este dată o ecuație diferențială și se caută soluții netede, adică funcții netede care satisfac această ecuație. Exemplul anterior a descris cum este construit un snop de funcții continue pe R. O construcție similară literal cu cuvintele „continuu” înlocuite cu cuvintele „netedă” poate fi folosită pentru a construi un snop de funcții netede pe R . Să notăm acest pachet cu . este setul de funcții netede . Unele elemente sunt soluții ale ecuației . Se pare că aceste soluții formează în sine un pachet. $F(x,y,y',y'',...)=0$ $y:{\mathbb {R}}\la {\mathbb {R}}$ $G$ $G(U)$ $U\la {\mathbb {R}}$ $G(U)$ $F=0$

Pentru fiecare set deschis , fie setul de funcții netede astfel încât . Mapările de constrângeri sunt încă restricții de funcție, la fel ca în . totul constă și într-o funcție goală. Pentru a testa axioma de lipire, să fie un set de seturi deschise și să fie uniunea lor. Fie elemente consistente la intersecții, adică . Să-l definim în același mod ca înainte: întotdeauna când este definit. Pentru a vă asigura că este încă o soluție pentru ecuația diferențială, rețineți că o satisface în fiecare dintre mulțimile , deoarece acolo coincide cu funcția . Prin urmare, există o soluție a ecuației . Pentru a verifica ce este unic, rețineți, ca mai înainte, ceea ce este determinat de valorile sale la puncte, iar aceste valori trebuie să se potrivească cu valorile de la . Deci, este singura lipire a funcțiilor , deci există un snop. $U$ $H(U)$ $y:U\la {\mathbb {R}}$ $F(x,y,y',y'',\dots )=0$ $G$ $H(\varnothing)$ $\{U_{i}\},i\în I$ $U$ $f_{i}$ $H(U_{i})$ $f_{i}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}=f_{j}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}$ $f$ $f(x)=f_{i}(x)$ $f_{i}(x)$ $f$ $f$ $U_{i}$ $f_{i}(x)$ $f$ $F=0$ $f$ $f$ $f_{i}(x)$ $U_{i}$ $f$ $\{f_{i}\}$ $H$

Rețineți că este conținut în pentru orice . În plus, dacă este un element al , și este un set deschis conținut în , atunci rezultatul aplicării hărții de restricții la funcțiile din creion va fi același ca și din creion . În astfel de cazuri, se spune că snopul este un subsnop al snopului . $H(U)$ $G(U)$ $U$ $f$ $H(U)$ $V$ $U$ $V$ $f$ $H$ $G$ $H$ $G$

În funcție de ecuația diferențială , se poate întâmpla ca adăugarea a două soluții ale acestei ecuații să dea din nou soluția acesteia - de exemplu, dacă este liniară. În acest caz, va fi un snop de grupuri cu o operație de grup dată prin adăugarea punctuală a funcțiilor. Cu toate acestea, în cazul general - doar un snop de seturi și nu un snop de grupuri sau inele. $F$ $F$ $H$ $H$

Snopi de câmpuri vectoriale

Să fie o varietate netedă . Câmpul vectorial de pe mapează fiecare punct la un vector din spațiul tangent la punctul . Este necesar să depindă lin de . Să definim un snop care va transporta informații despre câmpurile vectoriale pe . Pentru fiecare set deschis , considerați ca o varietate netedă și fie mulțimea tuturor câmpurilor vectoriale (netede) pe . Cu alte cuvinte, există un set de funcții care mapează un punct pe un vector din , în funcție de acesta. Deoarece este deschis, . Definim mapările de constrângeri ca restricții ale câmpurilor vectoriale. $M$ $V$ $M$ $X$ $M$ $V(x)$ $T_{x}M$ $M$ $X$ $V(x)$ $X$ $\mathcal{T}$ $M$ $U$ $U$ ${\mathcal {T}}(U)$ $U$ ${\mathcal {T}}(U)$ $V$ $X$ $U$ $V(x)$ $T_{x}U$ $U$ $T_{x}U=T_{x}M$

Pentru a arăta că există un snop, mai întâi rețineți că acesta constă dintr-o singură funcție goală, deoarece nu există puncte în mulțimea goală. Să verificăm acum axioma de lipire. Fie , un set de mulțimi deschise, iar U uniunea lor. Pe fiecare set deschis , alegem un câmp vectorial , și presupunem că aceste câmpuri sunt consecvente la intersecții, adică . Acum definim un nou câmp vectorial V pe U după cum urmează: pentru orice x din U , alegeți , care conține x . Să definim V(x) ca . Deoarece câmpurile sunt consistente la intersecții, V este bine definit. Mai mult, V(x) este un vector tangent din , care depinde fără probleme de x , deoarece depinde fără probleme de x și „dependența netedă” este o proprietate locală. În cele din urmă, V este singura lipire posibilă a câmpurilor , deoarece V este determinat în mod unic de valorile sale în fiecare punct x , iar aceste valori trebuie să se potrivească cu valorile câmpului de pe . $\mathcal{T}$ ${\mathcal {T}}(\varnothing )$ $\{U_{i}\}$ $i\în eu$ $U_{i}$ $V_i$ $V_{i}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}=V_{j}|_{{U_{i}\cap U_{j}}}$ $U_{i}$ $V_{i}(x)$ $V_i$ $T_{x}M$ $V_{i}(x)$ $V_i$ $V_i$ $U_{i}$

Se poate da o altă definiție a snopului folosind mănunchiul tangent TM al colectorului M . Să considerăm o proiecție naturală care mapează un punct x la o pereche (x, v) , unde x este un punct pe M și v este un vector din . Un câmp vectorial pe o mulțime deschisă U este același cu o secțiune a proiecției p , adică o mapare lină astfel încât , unde este maparea identității pe U . Cu alte cuvinte, secțiunea s asociază un punct x cu o pereche (x, v) într-un mod neted. Maparea s nu poate asocia un punct x cu o pereche (y, v) cu , din cauza condiției . Acest lucru ne permite să reprezentăm mănunchiul tangent ca un mănunchi de secțiuni ale unui fascicul tangent. Cu alte cuvinte, pentru orice U există un set de toate secțiunile proiecției p , iar hărțile de restricție sunt restricțiile obișnuite ale funcțiilor. Prin analogie, se poate construi un snop de secțiuni din orice mapare continuă a spațiilor topologice. $\mathcal{T}$ $p:TM\la M$ $T_{x}M$ $s:U\toTM$ $p\circ s={{\rm {id}}}_{U}$ ${{\rm {id}}}_{U}$ $y\neq x$ $p\circ s={{\rm {id}}}_{U}$ $\mathcal{T}$ ${\mathcal {T}}(U)$

Un snop este întotdeauna un snop de grupuri cu operații de adunare vectorială punctual. Cu toate acestea, de obicei nu există un snop de inele, deoarece operația de înmulțire nu este definită în mod natural pe vectori. $\mathcal{T}$ $\mathcal{T}$

Definiție formală

Primul pas în definirea noțiunii de snop este de a defini noțiunea de presheaf , care cuprinde spațiile de date asociate fiecărui subset deschis al unui spațiu topologic și operațiunile de restricționare a acestor date de la subseturi mai mari la mai mici. La a doua etapă, sunt impuse restricții suplimentare - cerințele pentru satisfacerea axiomelor de normalizare și lipire. Un snop care îndeplinește aceste cerințe este un snop.

Definiția unui presheaf

Fie un spațiu topologic și C o categorie . Un presfeaf cu valori în categoria C este dat peste un spațiu dacă [1] : $X$ $X$ $F$

Fiecare submulțime deschisă din este asociată cu F(U) — un obiect din categoria C . $U$ $X$
Fiecare includere de mulțimi deschise este asociată cu un morfism de obiecte din categoria C : $V\subset U$

\rho _{{VU}}\colon F(U)\to F(V)

Aceste morfisme sunt numite morfisme de restricție . Totalitatea acestor morfisme trebuie să îndeplinească următoarele condiții:

Pentru orice set deschis , este morfismul identitar al obiectului . $U$ $\rho _{UU}$ $F(U)$
Pentru fiecare dublă includere , egalitatea $W\subset V\subset U$

\rho _{{WV}}\circ \rho _{{VU}}=\rho _{{WU}}

Ultima condiție înseamnă că ar trebui să fie indiferent dacă limităm datele de la o zonă la alta direct, sau în două etape - cu o restricție preliminară pe , și de la aceasta deja - pe . $U$ $W$ $V$ $W$

Presheaves în teoria categoriei

O definiție foarte compactă a unui presheaf se obține în ceea ce privește teoria categoriilor. În primul rând, se definește categoria O(X) de mulțimi deschise ale spațiului X , ale cărei obiecte sunt submulțimi deschise ale lui X , iar mulțimea de morfisme ale unui obiect V din această categorie într-un obiect U în cazul în care V este o submulțime. din U , constă dintr-un singur morfism — maparea incluziunii V în U , iar în caz contrar gol. Apoi, un pre-spor peste un spațiu X cu valori în categoria C este orice functor contravariant F din categoria O(X) la categoria C. O astfel de definiție a unui presheaf permite o generalizare suplimentară atunci când se consideră functorii în C , nu neapărat dintr-o categorie de forma O(X) (vezi presheaf (teoria categoriilor) ).

Dacă un presheaf F este dat peste un spațiu X cu valori în categoria C , iar U este o submulțime deschisă a lui X , atunci obiectul F(U) se numește spațiu de secțiune al presheaf F peste mulțimea U. Dacă C este o categorie specifică , atunci fiecare element al mulțimii F(U) se numește o secțiune a snopului F peste U , prin analogie cu secțiunile de spații fibroase și spațiul étale al snopului (vezi mai jos ). O secțiune peste X se numește secțiune globală . Constrângerea secțiunii este de obicei notă ca . F(U) este, de asemenea, adesea notat ca , în special în contextul teoriei coomologiei snopului , în care domeniul U este fix și snopiul F este variabil. $\rho _{VU}(s)$ $s$ $s|_{V}$ $\Gamma (U,F)$

Definiția snopului

Un snop este un pre-snop în care sunt valabile 2 axiome [2] .

$F(\varnothing)$ este un obiect terminal din categoria C .

Desigur, pentru ca axioma să aibă sens, categoria C trebuie să aibă un obiect terminal. În practică, acesta este de obicei cazul.

Cu toate acestea, o axiomă mai importantă este axioma de lipire . Amintiți-vă că, în exemplele discutate mai sus, această axiomă impunea ca setul de date (secțiuni ale snopului) care sunt consecvente la intersecțiile domeniilor lor de definiție să permită întotdeauna (mai mult, în mod unic) lipirea lor - o secțiune peste uniunea de deschidere. seturi peste care această secțiune este dată ca parțial. Pentru simplitate, formulăm axioma de lipire în cazul în care C este o categorie concretă. Pentru cazul general, vezi articolul „ axioma lipirii ”.

Fie o mulțime de mulțimi deschise în spațiul X și U este uniunea lor. Să fie dată o secțiune a unui (pre)snop F peste fiecare dintre ele . Un set de aceste secțiuni este numit compatibil dacă pentru orice i și j $U_{i}$ $s_{i}\în F(U_{i})$

\rho _{{U_{i}\cap U_{j},U_{i}}}(s_{i})=\rho _{{U_{i}\cap U_{j},U_{j}} }(s_{j})

Axioma de lipire pentru F este satisfăcută dacă

fiecare set de tăieturi consistente definește o tăietură unică astfel încât pentru fiecare i . $si}$ $s\în F(U)$ $s_{i}=\rho _{{U_{i},U}}s$

Secțiunea s se numește lipire ( eng. lipire, concatenare, colare ) a secțiunilor , deoarece este, parcă, lipită împreună din secțiuni mai mici. $si}$

În exemplele date mai sus, anumite funcții corespundeau secțiunilor transversale ale grinzilor. În astfel de cazuri, axioma de lipire pleacă de la funcții care coincid la intersecții și afirmă existența unei funcții unice f care extinde simultan toate funcțiile la mulțimea U , exact ceea ce a fost arătat în acele exemple pentru a demonstra că un snop a fost într-adevăr prezentat în ele. . $f_{i}$ $U_{i}\cap U_{j}$ $f_{i}$

Adesea, axioma lipirii este împărțită în două părți - axioma existenței și axioma unicității. Presheaves care satisfac doar axioma unicității sunt numite presheaves separabile ( separate în engleză ).

Mai multe exemple

Deoarece snopii conțin exact datele necesare pentru a trece de la situații locale la cele globale, există multe exemple de snopi care apar în matematică. Iată câteva exemple suplimentare de pachete:

Orice mapare continuă a spațiilor topologice definește o grămadă de mulțimi. Fie f : Y → X o hartă continuă. Definim snopiul ca fiind egal cu setul tuturor secțiunilor mapării , adică este mulțimea tuturor mapărilor s : U → Y astfel încât morfismele de constrângere sunt date de restricția obișnuită a mapării la submulțimi ale domeniului de definiție. . Acest snop este numit snop de secțiuni ale lui f și este deosebit de important atunci când f este proiecția spațiului fibros pe spațiul bazei sale. Trebuie remarcat faptul că în cazul în care imaginea lui f nu conține U în întregime, setul este gol. Ca exemplu specific, puteți lua și . Apoi există multe ramuri ale logaritmului peste mulțime . $\Gamma (Y/X)$ $\Gamma (Y/X)(U)$ $f|_{U}:U\la Y$ $\Gamma (Y/X)(U)$ $fs=id_{U}.$ $\Gamma (Y/X)(U)$ $\scriptstyle X=\mathbb {C} \backslash 0,$ $\scriptstyle Y=\mathbb {C}$ $f(z)=\exp(z)$ $\Gamma (Y/X)(U)$ $U$
Fie M o C k -varietate (o varietate de netezime k). Pentru fiecare submulțime deschisă U din M definim U → R ca mulțime a tuturor funcțiilor C k - netede . Morfismele de restricție sunt restricții de funcție obișnuite. Apoi există un snop de inele cu adunarea și înmulțirea dată prin adunarea punctuală și înmulțirea funcțiilor. Acest snop se numește snop de structură a lui M. ${\mathcal {O}}_{M}(U)$ ${\mathcal {O}}_{M}$
Pentru fiecare j ≤ k , un snop este definit și peste M , numit snop de j - ori funcții diferențiabile continuu pe M . este un subsnop al snopului care, pe o mulțime deschisă U , definește mulțimea tuturor funcțiilor C j de pe U . ${\mathcal {O}}_{{M,j}}$ ${\mathcal {O}}_{{M,j}}$ ${\mathcal {O}}_{M}$
Un snop de funcții fără zerouri este definit peste M. Adică, pentru fiecare U , există mulțimea tuturor funcțiilor cu valori reale de pe U care nu dispar. Acesta este un snop de grupuri cu o operație de grup dată de înmulțirea punctual a funcțiilor. ${\mathcal {O}}_{X}^{\times }$ ${\mathcal {O}}_{X}^{\times }(U)$
M are de asemenea un snop cotangent Ω M . Pe fiecare mulţime deschisă U , Ω M ( U ) există o mulţime de forme diferenţiale de gradul 1 pe U . Morfismele de constrângere sunt constrângerile obișnuite ale formelor diferențiale. În mod similar, pentru orice p > 0, snopiul Ω p al formelor p diferențiale este definit.
Dacă M este o varietate netedă, pentru fiecare mulțime deschisă U , mulțimea este mulțimea tuturor distribuțiilor cu valori reale ( funcții generalizate ) pe U. Restricțiile sunt stabilite prin restricționarea funcțiilor. Apoi devine un pachet de funcții generalizate . ${\mathcal {DB}}(U)$ ${\mathcal {DB}}$
Fie X o varietate complexă și U o submulțime deschisă a lui X , definită ca mulțime de operatori diferențiali holomorfi de ordin finit pe U. Specificând constrângerea ca o constrângere de funcție obișnuită, obținem un snop numit snopi de operatori diferențiali holomorfi . ${\mathcal {D}}_{X}(U)$ ${\mathcal {D}}_{X}$
Fixăm un punct x din X și un obiect S din categoria C . Un snop de zgârie-nori peste x cu fibra S este un snop S x , definit astfel: Dacă U este o mulțime deschisă care conține x , atunci S x ( U ) = S , în caz contrar S x ( U ) este un obiect terminal din categoria C . Hărțile de restricție, respectiv, sunt fie morfismul de identitate al unui obiect S dacă ambele mulțimi deschise conțin x , fie același morfism unic al lui S într-un obiect terminal din categoria C .

Unele structuri matematice sunt definite ca spații cu un snop fix pe el. De exemplu, un spațiu cu o grămadă de inele deasupra (pe el) se numește spațiu inel . Dacă toate fibrele (vezi mai jos) ale unui snop sunt inele locale , atunci acesta este un spațiu inelat local . Dacă secțiunile unui snop de inele locale sunt reprezentabile local ca elemente ale unui inel comutativ, obținem schema .

Iată 2 exemple de snopi care nu sunt snopi:

Fie un spațiu topologic în două puncte cu topologie discretă. Definim presheaf-ul F după cum urmează: maparea constrângerii este proiecția de pe prima componentă, iar maparea constrângerii este proiecția pe a doua componentă. este un presheaf care nu este separabil: orice secțiune globală este definită de trei numere, dar secțiuni peste (seturi deschise) și definesc doar două dintre ele. Deși este posibil să lipiți oricare două secțiuni date peste puncte , nu există o unicitate a unei astfel de lipiri. $\scriptstyle X$ $\scriptstyle \{x,y\}$ $\scriptstyle F(\varnothing )=\{\varnothing \},$ $\scriptstyle F(\{x\})=\mathbb{R} ,$ $\scriptstyle F(\{y\})=\mathbb{R} ,$ $\scriptstyle F(\{x,y\})=\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} .$ $\scriptstyle F(\{x,y\})\la F(\{x\})$ $\scriptstyle \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ $\scriptstyle F(\{x,y\})\la F(\{y\})$ $\scriptstyle \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ $\scriptstyle F$ $\scriptstyle \{x\}$ $\scriptstyle \{y\}$ $\scriptstyle \{x\}$ $\scriptstyle\{y\},$

Fie X un plan complex , iar pentru submulțimile sale deschise U punem F ( U ) mulțimea de funcții holomorfe mărginite pe U cu mapările de restricție obișnuite. Aceasta nu va fi o grindă, deoarece lipirea în acest caz nu este întotdeauna posibilă. De exemplu, fie U r un disc deschis | z | < r . Funcția f ( z ) = z este mărginită pe fiecare disc U r . Prin urmare, obținem secțiuni consistente s r pe U r (care sunt restricții ale funcției f ( z ) pe U r ). Cu toate acestea, ele nu permit lipirea, deoarece funcția f nu este mărginită pe întregul plan complex. Prin urmare , F este un snop înainte, dar nu un snop. Rețineți că F este separabil deoarece este un subcoup de snopi de funcții holomorfe pe X .

Morfisme snopi

Deoarece snopii conțin date asociate cu fiecare subset deschis al lui X , un morfism snopi este definit ca un set de mapări, una pentru fiecare set deschis, care satisface anumite condiții de consistență.

Snopii sunt snopi de un fel special, la fel cum grupurile abeliene sunt un caz special de grupuri (snopii formează o subcategorie completă în categoria snopii). Cu alte cuvinte, un morfism de snopi este același cu un morfism din categoria pre-snopi, dar între obiecte care sunt snopi; axioma de lipire nu este folosită în niciun fel în definirea unui morfism.

Morfisme snopi pe un spațiu

În această secțiune, toate snopii sunt definite pe spațiul X și iau valori într-o categorie fixă C (când vorbim despre nucleul și cokernelul morfismelor, presupunem că C este o categorie abeliană ).

Să fie și două astfel de mănunchiuri. Un morfism de snopi C pe X asociază cu fiecare mulțime deschisă U de X un morfism , astfel încât toate aceste morfisme sunt compatibile între ele și cu mapările de restricție din ambele snopi. Cu alte cuvinte, pentru fiecare mulțime deschisă V și submulțimea sa deschisă U , există o diagramă comutativă : ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {G}}$ $\varphi \colon {\mathcal {G}}\to {\mathcal {F}}$ $\varphi _{U}\colon {\mathcal {G}}(U)\to {\mathcal {F}}(U),$

Această condiție de consistență înseamnă că fiecare secțiune s a snopului G peste o mulțime deschisă V este asociată cu o secțiune peste V a snopului F , iar restricțiile lor la o submulțime deschisă U a mulțimii V sunt legate printr-un morfism . (Restricția la imaginea V a unei secțiuni s este aceeași cu imaginea restricției sale la V. ) $\varphi _{V}(s)$ $\varphi _{U}$ $\varphi _{U}$ $\varphi _{V}$

Simplul fapt că un morfism de snopi este un izomorfism (adică are un morfism invers) exact atunci când toate morfismele sunt izomorfisme (reversibile). Același lucru este valabil pentru monomorfisme și nu pentru epimorfisme . Acest lucru se datorează faptului că miezul unui morfism de snopi este întotdeauna un snopi, în timp ce imaginea și snopii pot să nu fie (dar vor fi întotdeauna presnopi separabili). Vezi articolul „ Coomologia snopilor ”. $\varphi _{U}$

Morfisme snopi pe diferite spații

În plus, snopii iau valori într-o categorie fixă C , dar pot fi definite în spații diferite.

Fie X și Y spații topologice cu snopi O X și , respectiv, O Y definite pe ele . Morfismul unei perechi ( X , O X ) în ( Y , O Y ) este dat de următoarele date:

Maparea continuă f : X → Y
o familie de C - morfisme φ V : O Y ( V ) → O X ( f −1 ( V )) pentru fiecare submulțime deschisă V a spațiului Y care comută cu mapări de restricție. Adică, dacă V 1 ⊂ V 2 sunt două submulțimi deschise ale lui Y , următoarea diagramă trebuie să fie comutativă (săgețile verticale sunt morfisme de restricție de submulțime):

Această definiție este potrivită și pentru definirea unui morfism de presheaves pe diferite spații.

Snop asociat cu presheaf

Este adesea util să se reprezinte datele care formează pregrindul folosind un snop. Se pare că există o procedură foarte convenabilă care vă permite să faceți acest lucru. Luați un snop înainte și construiți un snop nou , numit snop asociat cu snopiul . se numește functor de snopi asociat ( functor de snopi în engleză , functor de snopi, functor de snopi asociat ). Există un morfism natural înainte de snopi cu proprietatea de universalitate că, pentru orice morfism de snopi și înainte de snopi , există un morfism de snopi unic astfel încât . De fapt, există un functor adjunct la functorul de încorporare a categoriei de snopi în categoria de presnopi și există o unitate de conjugare . $F$ $aF$ $F$ $A$ $i:F\la aF$ $G$ $f:F\la G$ ${\tilde f}:aF\la G$ $f={\tilde f}\cdot i$ $A$ $i$

Germenii secțiunilor fasciculului

Stratul snopului permite descrierea proprietăților snopului „lângă” punctul x ∈ X . Aici „aproape” înseamnă că ne uităm la cel mai mic cartier posibil al punctului. Desigur, niciun cartier nu este suficient de mic în sine, dar putem lua în considerare limita lor (sau, mai exact, colimit ). ${\mathcal {F}}_{x}$ ${\mathcal {F}}$

Stratul de deasupra punctului x este definit ca

{\mathcal {F}}_{x}=\varinjlim _{{U\ni x}}{\mathcal {F}}(U),

limita directă a tuturor vecinătăților punctului x . Cu alte cuvinte, un element al stratului este o secțiune a snopului într-o vecinătate x și două astfel de secțiuni corespund unui element al snopului dacă au aceeași restricție pe o vecinătate a punctului x .

Morfismul natural F ( U ) → F x ia o secțiune s în vecinătatea lui F ( U ) la germenul său . Acest lucru generalizează definiția obișnuită a unui germen .

Istorie

În 1936, P. S. Aleksandrov a propus o construcție a unui nerv de acoperire care asociază o acoperire deschisă arbitrară cu un complex simplist .
În 1938 , Hassler Whitney a dat o definiție „modernă” a coomologiei, rezumând munca depusă de când Alexander și Kolmogorov au definit colanțurile .
În 1945, Jean Leray a publicat rezultatele muncii desfășurate în captivitate germană care au dat naștere teoriei fasciculelor și secvențelor spectrale .
În 1948, la un seminar Cartan , începuturile teoriei snopilor au fost scrise pentru prima dată în întregime.
În 1950, la seminarul Cartan, a fost propusă o „a doua versiune” a teoriei snopilor - se utilizează definiția spațiului étale al unui snop și structura straturilor. În același timp, Kiyoshi Oka a prezentat ideea unui pachet de idealuri.
În 1954, Serre a scris lucrarea Faisceaux algébriques cohérents (publicată în 1955), care a marcat începutul utilizării snopilor în geometria algebrică . Ideile sale au fost preluate imediat de Hirzebruch , care în 1956 a scris o carte importantă despre metodele topologice în geometria algebrică.
În 1955, Grothendieck , în prelegerile sale din Kansas, definește categoria abeliană și presheaf și, cu ajutorul rezoluțiilor injective, face posibilă utilizarea coomologiei snopilor într-un spațiu topologic arbitrar ca functori derivați .
În 1957, Grothendieck dezvoltă teoria snopilor în concordanță cu nevoile geometriei algebrice, introducând conceptele: scheme și snopi generale pentru pe ea, coomologie locală , categorii derivate și topologii Grothendieck .

Vezi și

Teoria topoi

Note

↑ Schwartz, 1964 , p. 181.
↑ Schwartz, 1964 , p. 180.

Literatură

Bredon, Glen E. (1997) Teoria snopului - voi. 170 (ed. a 2-a), Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1481706 , ISBN 978-0-387-94905-5 (orientat către aplicații topologice convenționale) (engleză)
Godement, Roger (1973) Topologie algébrique et théorie des faisceaux - Paris: Hermann, MR 0345092 (fr.)
Grothendieck, Alexander (1957), Sur quelques points d'algèbre homologique, The Tohoku Mathematical Journal. A doua serie Vol. 9: 119–221, ISSN 0040-8735
Hirzebruch, Friedrich (1995) Metode topologice în geometria algebrică - Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1335917 , ISBN 978-3-540-58663-0 (ediția actualizată a unui clasic folosind suficientă teorie a snopului pentru a arăta puterea lui )
Kashiwara, Masaki & Schapira, Pierre (1990) Snopi pe colectoare - voi. 292, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principii fundamentale ale științelor matematice], Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1074006 , ISBN 978-3-540-51861-7 (tehnici avansate, cum ar fi categoria ciclurilor derivate și cele maispații rezonabile (engleză)
Mac Lane, Saunders & Moerdijk, Ieke (1994) Sheaves in geometry and logic - Universitex, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1300636 , ISBN 978-0-387-97710-2 ( categoria teorie și topoane subliniate)
Serre, Jean-Pierre (1955), Faisceaux algébriques cohérents , Annals of Mathematics (The Annals of Mathematics, Vol. 61, No. 2) . — T. 61(2): 197–278, ISSN 0003-486X , doi : 10.2307/1969915 , < http://www.mat.uniroma1.it/people/arbarello/FAC.pdf >
Swan, R. G. (1964) The Theory of Sheaves - University of Chicago Press (note de curs concise) (engleză)
Tennison, BR (1975) Teoria snopului - Cambridge University Press , MR 0404390 (tratament pedagogic )
Schwartz L. Varietăți analitice complexe. Ecuații eliptice cu derivate parțiale. - M . : Mir, 1964. - 212 p.

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	J9U : 987007536441005171 LCCN : sh85121203