O funcție care are o antiderivată

O funcție care are o antiderivată este o funcție care poate fi obținută ca urmare a diferențierii unei anumite funcții. De obicei, termenul este folosit în relație cu funcțiile cu valori reale ale unei variabile reale, definite pe intervalul . Aceste funcții vor fi discutate mai târziu în articol.

Definiție

Fie , unde este un interval non-trivial (adică nu o mulțime goală și nu un punct). O funcție se numește antiderivată dacă . Dacă o astfel de funcție există, atunci spunem că are o antiderivată. $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ $X\in \mathbb {R}$ $F:X\rightarrow \mathbb {R}$ $f$ $F' = f$ $F$ $f$

Exemple

Orice funcție continuă are o antiderivată. Aceasta rezultă din proprietățile integralei Riemann cu o limită variabilă superioară . Folosind-o, puteți restaura cu ușurință primitivul. Cu toate acestea, nu toate funcțiile antiderivate sunt continue. Aceste funcții sunt cele care interesează.

Exemplul 1. Funcție restricționată cu un interval

Cel mai faimos exemplu de funcție diferențiabilă discontinuu este următorul:

G(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\dfrac {1}{x)),&x\neq 0;\\0,&x=0.\end{cases} }

Derivata acestei functii in toate punctele cu exceptia zero poate fi calculata conform regulilor obisnuite de diferentiere . Derivata la zero va trebui calculată prin definiție:

g(0)=\lim _{x\to 0}{\dfrac {x^{2}\sin {\dfrac {1}{x}} -0}{x}}=\lim _{ x\la 0}x\sin {\dfrac {1}{x}}=0

Derivatul său este:

g(x)={\begin{cases}2x\sin {\dfrac {1}{x}}-\cos {\dfrac {1}{x}}),&x\neq 0;\\0 , &x=0.\end{cases}}

[unu]

Se poate verifica cu ușurință că această funcție nu are limită la zero. Într-adevăr, compunem două secvențe care tind spre zero și astfel încât să anuleze sinusul, dar , și . Apoi: $\{y_{n}\}$ $\{x_n\}$ $\cos y_{n}=1$ $\cos z_{n}=-1$

\lim _{n\to \infty}g(y_{n})=\lim _{n\to \infty }\left(2y_{n}\sin {\dfrac {1}{y_{n ))}-\cos {\dfrac {1}{y_{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty }(0-1)=-1

\lim _{n\to \infty}g(z_{n})=\lim _{n\to \infty }\left(2z_{n}\sin {\dfrac {1}{z_{n ))}-\cos {\dfrac {1}{z_{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty }(0+1)=1

Astfel, limita în nu există și funcția se întrerupe în ea. $0$

Acum haideți să dovedim limitarea. Lasă . Apoi: $x\in (-1;1)$

\left|2x\sin {\dfrac {1}{x}}-\cos {\dfrac {1}{x}}\right|\leq 2|x|\left|\sin {\dfrac { 1}{x}}\right|+\left|\cos {\dfrac {1}{x}}\right|\leq 2+1=3

Prin urmare, funcția este limitată. Să găsim limita pe măsură ce argumentul tinde spre infinit. $[-1;1]$

\lim _{x\to \infty }\left(2x\sin {\dfrac {1}{x}}-\cos {\dfrac {1}{x}}\right)=\lim _{ x\to \infty }\left(2x\sin {\dfrac {1}{x}}\right)-\lim _{x\to \infty }\cos {\dfrac {1}{x}}=2 -1=1

Limita la infinit este finită, ceea ce înseamnă că funcția este limitată într-o vecinătate a infinitului ( luați mai mult ). Pe segmente și funcția este continuă, în timp ce o funcție continuă pe un segment este mărginită pe acesta. Unirea tuturor acestor mulțimi alcătuiește întreaga dreaptă numerică și am demonstrat că funcția este mărginită pe fiecare dintre ele separat și, deoarece există un număr finit de ele, ea va fi mărginită pe întreaga dreaptă numerică (maximul de majoranții de pe fiecare set vor da majorantul pe toată linia ). $(-\infty ;-a)\cup (a;+\infty )$ $A$ $unu$ $[-a;-1]$ $[a;1]$

Exemplul 2. Funcție cu un gol, nemărginită în vecinătatea sa

Să modificăm exemplul anterior pentru a obține o funcție nelimitată.

H(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\dfrac {1}{x^{2}}},&x\neq 0;\\0,&x=0.\ sfârșit{cazuri}}

În mod similar, derivatul său este considerat.

h(0)=\lim _{x\to 0}{\dfrac {x^{2}\sin {\dfrac {1}{x^{2}}} -0}{x}}= \lim _{x\to 0}x\sin {\dfrac {1}{x^{2))}=0

h(x)={\begin{cases}2x\sin {\dfrac {1}{x^{2}}}-{\dfrac {2}{x}}\cos {\dfrac {1} {x^{2}}},&x\neq 0;\\0,&x=0.\end{cases}}

[2]

Vom demonstra discontinuitatea la zero într-un mod diferit. Luăm o secvență care tinde spre zero , astfel încât să anuleze sinusul, dar . Apoi: $\{y_{n}\}$ $\cos y_{n}=1$

\lim _{n\to \infty }h(y_{n})=\lim _{n\to \infty }\left(2y_{n}\sin {\dfrac {1}{y_{n }^{2}}}-{\dfrac {2}{y_{n}}}\cos {\dfrac {1}{y_{n}^{2}}}\right)=\lim _{n\ spre \infty }\left(0-{\frac {2}{y_{n))}\right)=\infty

Acest lucru demonstrează automat că funcția este nemărginită într-o vecinătate de zero.

De asemenea, este interesant că la punctul respectiv funcția are o discontinuitate semnificativă, și nu una infinită. Pentru a verifica acest lucru, este suficient să luați o secvență astfel încât să anuleze cosinusul și să transforme sinusul într-unul. Este ușor de calculat că limita funcției în acest caz este . Cele două secvențe au dat o limită diferită, ceea ce înseamnă că nu există limită. $0$ $0$

Exemplul 3. O funcție cu un set numărabil de puncte de discontinuitate

Nu este dificil să construiți o funcție cu două, trei, patru, cinci, orice număr finit de puncte de întrerupere: trebuie doar să adăugați numărul necesar de funcții cu un punct de întrerupere. Antiderivatul pentru ei va fi apoi suma antiderivatelor lor. De exemplu, o funcție cu trei puncte de întrerupere:

g(x)+g(x-1)+g(x-2)

, unde este funcția exemplului 1.

g

Este logic să presupunem că pentru a obține o funcție cu un set numărabil de puncte de discontinuitate este necesar să se adauge o serie de astfel de funcții. Totuși, aici apare o dificultate: seria poate să nu convergă. Pentru a obține funcția necesară, este necesar să se asigure cumva convergența acestei serii. Mai mult, nu este un fapt că după aceasta suma acestei serii va fi o derivată a sumei unei serii de antiderivate. Toate acestea necesită analize suplimentare.

Să luăm o secvență și o serie de numere convergente pozitive . Apoi serialul $un$ $b_n$

\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}g(x-a_{n})

converge uniform conform testului Weierstrass (funcția , după cum ne amintim, este mărginită). O serie de primitive $g$

\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}G(x-a_{n})

converge punctual. Puteți aplica teorema asupra diferențierii termen cu termen a seriei .

Continuitatea în toate punctele, cu excepția punctelor șirului, rezultă din proprietățile serii uniform convergente. Discontinuitatea în numere întregi nenegative rezultă din următoarea considerație. Pentru fiecare astfel de număr, puteți arunca un termen care este discontinuu în el. Termenii rămași sunt continui, iar suma lor este, de asemenea, continuă. Suma unei funcții care este discontinuă și continuă într-un punct este discontinuă. [3] $un$

Graficul arată o astfel de funcție pentru o succesiune de numere raționale și o progresie geometrică ca o serie.

Proprietăți

Pentru orice funcție care are o antiderivată, proprietatea valorii intermediare este satisfăcută: fie domeniul de definiție să includă punctele și . Apoi $x_{1}$ $x_{2}$

\forall \eta \in (f(x_{1}),f(x_{2}))\\există \xi \in (x_{1},x_{2}):f(\xi) =\eta

[patru]

Toate punctele de discontinuitate (punctele în care funcția este definită, dar nu continuă) sunt semnificative. [5]
Limita unilaterală într-un punct din domeniul definiției nu poate fi infinită. Dacă punctul este un punct de discontinuitate, atunci cel puțin una dintre limitele unilaterale nu există.
Seturile de incertitudine bilaterale, stânga, dreapta pentru orice punct al domeniului de definiție sunt un segment al dreptei reale extinse. Segmentele pot fi oricare, cu excepția unui punct, care conține doar infinit. Seturile de incertitudine dreapta și stânga pot să nu coincidă.
Dacă domeniul unei funcții este un interval sau un semi-interval, atunci aceasta are un punct limită care nu este inclus în domeniul definiției. Limita într-un astfel de punct poate fi deja infinită. Mulțimea de incertitudine a unui astfel de punct este, de asemenea, un segment al dreptei reale extinse, dar de această dată sunt permise segmente de un punct cu numai infinit.
Valoarea în orice punct al domeniului de definiție este întotdeauna o limită parțială pe ambele părți (dacă punctul este un punct final, atunci pe o parte). [6]
Funcțiile care au o antiderivată sunt în prima clasă Baer . [7]
Mulțimea punctelor de discontinuitate ale unei funcții care are o antiderivată este multimea primei categorii Baer . Mai mult, orice -mulțime din prima categorie Baer este mulțimea punctelor de discontinuitate ale unei funcții care are o antiderivată. [opt] $G_\delta$ $G_\delta$

Integrare

Integrală nedefinită

Integrala nedefinită a unei funcții este, prin definiție, mulțimea tuturor antiderivatelor sale. Prin urmare, orice funcție care are o antiderivată are și o integrală nedefinită.

Toate funcțiile antiderivate diferă printr-o constantă și orice funcție care diferă de o anumită antiderivată printr-o constantă este, de asemenea, o antiderivată. Prin urmare, integrala nedefinită este mulțimea obținută prin adăugarea tuturor constantelor posibile la o antiderivată, adică

\int f(x)\,dx=F(x)+C

Pentru a îndeplini această proprietate, ceea ce este definit pe interval joacă un rol important. Dacă în definiție permitem ca domeniul definiției să nu fie un interval, ci o uniune de intervale netriviale neintersectate, atunci antiderivatele nu vor mai trebui să difere printr-o constantă. Pe fiecare dintre intervalele domeniului de definire, diferența dintre antiderivate este o constantă, totuși, la intervale diferite, aceste constante pot fi diferite. Adică, să fie definit pe , unde sunt intervale non-triviale care nu se intersectează și nici două dintre ele nu pot fi combinate într-un interval. Apoi $f$ $f$ $X=X_{1}\cup \ldots \cup X_{n)$ $X=X_{1},\ldots,X_{n)$

\int f(x)\,dx={\begin{cases}F(x)+C_{1},&x\in X_{1}\\\cdots \\F(x)+C_{n },&x\în X_{n}.\end{cases}}

Constantele de aici rulează prin toate valorile posibile. $C_{1},\ldots, C_{n)$

Note

↑ Bruckner, 1978 , p. 45.
↑ Bruckner, 1978 , p. 73.
↑ Bruckner, 1978 , p. 47.
↑ Bruckner, 1978 , p. 3.
↑ Bruckner, 1978 , p. patru.
↑ Bruckner, 1978 , p. 9.
↑ Bruckner, 1978 , p. 12.
↑ Bruckner, 1978 , p. 46.

Literatură

Bruckner A.M. Diferențierea funcțiilor reale . - Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1978. - 251 p. — (Note de curs la matematică). - ISBN 978-3-540-35776-6 .