Gama funcțională

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 12 august 2013; verificarea necesită 31 de modificări .

O serie funcțională este o serie , fiecare membru al cărei, spre deosebire de seria numerică , nu este un număr , ci o funcție . $\ {u_{k}}(x)$

Secvența de funcții

Să fie dată o succesiune de funcții cu valori complexe pe mulțimea inclusă în spațiul euclidian d-dimensional . $\E$ $\ {\mathbb {R}}^{d}$

\ {u_{k}}(x):E\mapsto {\mathbb {C}},~~E\subseteq {\mathbb {R}}^{d},~~k\in {\mathbb {N} }

Convergenta punctuala

Secvența funcțională converge punctual către funcția dacă . $\ {u_{k}}(x)$ $\ {u}(x)$ $\forall x\in E\;\;\;\există \lim _{{k\rightarrow \infty }}\ {u_{k}}(x)=\ {u}(x)$

Convergență uniformă

Există o funcție astfel încât: $\ u(x):E\mapsto {\mathbb {C}}$ $\ \sup \mid {u_{k}}(x)-u(x)\mid {\stackrel {k\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}0,~~x\in E$

Faptul de convergență uniformă a unei secvențe la o funcție se scrie: $\ {u_{k}}(x)$ $\u(x)$ $\ {u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x)$

Interval funcțional

$\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$

$\ {S_{n}}(x)=\sum _{{k=1}}^{{n}}{u_{k}}(x)$ — a n-a sumă parțială .

Convergență

În matematică , convergenţa înseamnă existenţa unei limite finite pentru o succesiune numerică , suma unei serii infinite , o valoare pentru o integrală improprie , o valoare pentru un produs infinit .

O serie se numește convergentă punctual dacă șirul sumelor sale parțiale converge punctual. $\{S_{n}}(x)$

O serie se numește uniform convergentă dacă șirul sumelor sale parțiale converge uniform. $\{S_{n}}(x)$

O condiție necesară pentru convergența uniformă a seriei

$\ {u_{k}}(x)\rightrightarrows 0$ la $\k\rightarrow \infty$

Sau, în mod echivalent , , unde X este aria de convergență. $\forall \varepsilon >0\,\,\exists n_{0}(\varepsilon )\in \mathbb {N} :\forall x\in X,\forall n>n_{0}\,\, \,|{u_{n}}(x)|<\varepsilon$

Criteriul Cauchy pentru convergența uniformă

Criteriul Cauchy pentru secvența funcțională. Pentru ca succesiunea de funcții definită pe mulțime să convergă uniform către această mulțime, este necesar și suficient ca pentru oricare , începând de la un anumit număr , pentru toate , mai mari sau egale cu, simultan pentru toate valorile funcțiilor. și diferă cu nu mai mult de . $\left\{f_{n}\right\}_{{n=1}}^{\infty }$ $V$ $\varepsilon >0$ $N=N(\varepsilon)$ $n,m$ $N$ $x \în V$ $f_{n}(x)$ $f_{m}(x)$ $\varepsilon$

\forall \varepsilon >0\;\exists N=N(\varepsilon )\;\forall n,m\geq N\;\forall x\in V\;\left|{f_{n}}(x)- \ {f_{m}}(x)\right|<\varepsilon

Convergență absolută și condiționată

O serie se numește absolut convergentă dacă converge. O serie absolut convergentă converge. $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\mid {u_{k}}(x)\mid$

Dacă seria converge, dar diverge, atunci seria se spune că este convergentă condiționat. Pentru astfel de serii este adevărată teorema Riemann privind permutarea termenilor unei serii condițional convergente . $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\mid {u_{k}}(x)\mid$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$

Semne de convergență uniformă

Semn de comparație

Seria converge absolut și uniform dacă sunt îndeplinite următoarele condiții: $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$

Seria converge uniform. $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{v_{k}}(x)$
$\ \mid {u_{k}}(x)\mid <{v_{k}}(x),~\forall x\in E,~\forall k\in {\mathbb {N}}$

Un caz special este criteriul Weierstrass când . Astfel, seria funcțională se limitează la cele obișnuite. Este nevoie de convergența obișnuită. $\ {v_{k}}(x)=a_{k}$

Semnul lui Dirichlet

Seria converge uniform dacă sunt îndeplinite următoarele condiții: $\sum _{{k=1}}^{\infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}$

Secvența funcțiilor cu valori reale este monotonă și $\ {a_{k}}(x)$ $\\forall x\in E$ $\ {a_{k}}(x)\rightrightarrows 0$
Sumele parțiale sunt mărginite uniform . $\ {S_{n}}(x)=\sum _{{k=1}}^{{n}}{u_{k}}(x)$

semnul lui Abel

Seria converge uniform dacă sunt îndeplinite următoarele condiții: $\sum _{{k=1}}^{\infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}$

Secvența de funcții cu valori reale este uniform mărginită și monotonă . $\ {a_{k}}(x)$ $\\forall x\in E$
Seria converge uniform. $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$

Proprietăți ale șirurilor și seriilor uniform convergente

Teoreme de continuitate

Luăm în considerare funcțiile cu valori complexe pe mulțime $\E$

O secvență de funcții continuă într-un punct converge către o funcție continuă în acest punct.

Urmare

\ {u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x)

\ \forall k:

funcția este continuă într-un punct

\ {u_{k}}(x)

\ x_0

Apoi este continuă în .

\u(x)

\ x_0

Un număr de funcții continue într-un punct converg către o funcție continuă în acest punct.

Rând

\ \sum _{{k=0}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x)

\ \forall k:

funcția este continuă într-un punct

\ {u_{k}}(x)

\ x_0

Apoi este continuă în .

\S x)

\ x_0

Teoreme de integrare

Sunt luate în considerare funcțiile cu valori reale pe un segment al axei reale.

Teorema trecerii la limita sub semnul integral.

\ \forall k:

functia este continua pe segment

\ {u_{k}}(x)

\ [a,b]

\ {u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x)

\ [a,b]

Apoi șirul numeric converge către o limită finită .

\left\{{\int \limits _{a}^{b}{{u_{k}}(x)dx}}\right\}

\int \limits _{a}^{b}{u(x)dx)

Teorema privind integrarea termen cu termen.

\ \forall k:

functia este continua pe segment

\ {u_{k}}(x)

\ [a,b]

\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x)

\ [a,b]

Atunci seria de numere converge și este egală cu .

\ \sum _{k=1}^{\infty }\int \limits _{a}^{b}{u_{k))(x)dx

\int \limits _{a}^{b}S(x)dx

Teoreme de diferențiere

Sunt luate în considerare funcțiile cu valori reale pe un segment al axei reale.

Teorema diferențierii sub limită.

\ \forall k:

funcția este diferențiabilă (are derivată continuă) pe segment

\ {u_{k}}(x)

\ [a,b]

\ \există c\în [a,b]:~u_{k}(c)

converge (la limita finala)

\ {u'_{k}}(x)\rightrightarrows \omega (x)

pe segment

\ [a,b]

Atunci este diferențiabilă pe , pe

\ \există u(x):~{u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x),~u(x)

\ [a,b]

\u'(x)=\omega(x)

\ [a,b]

Teorema diferențierii termen cu termen.

\ \forall k:

funcția este diferențiabilă pe segment

\ {u_{k}}(x)

\ [a,b]

\ \exists c\in [a,b]:~\sum _{{k=1}}^{{\infty }}u_{k}(c)

converge

\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u'_{k}}(x)

converge uniform pe segment

\ [a,b]

Atunci este diferențiabilă pe , pe

\ \exists S(x):~\sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x),~S(x)

\ [a,b]

\ S'(x)=\sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u'_{k}}(x)

\ [a,b]

Link -uri

O.V.Besov. ‹…Š–ˆˆPrelegeri de analiză matematică. Partea 1 . - M. : MIPT, 2004. - 325 p. Capitolul 16 Secvențe de funcții și rânduri

Secvențe și rânduri
Secvențe	Succesiunea numerică Secvență fundamentală Secvență liniară recurentă numerele Fibonacci numere ondulate Factorială secvența Barker de bruijn secvenţă
Rânduri, de bază	Suma rândurilor Restul rândului Convergență condiționată Serii alternante Rând multisecțiune
Seria de numere ( operații cu seria de numere )	serie armonică seria Leibniz O serie de pătrate inverse O serie de numere prime reciproce rândul Dirichlet Seria Mercator Row Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
rânduri funcționale	Seria Taylor Seria Laurent Seria Fourier Seria Fourier trigonometrică serie trigonometrică Seria Wiener
Alte tipuri de rânduri	Seria Neumann rândul Puiseux