Funcția Weierstrass

Funcția Weierstrass este un exemplu de funcție continuă care nu are derivată nicăieri ; un contraexemplu pentru conjectura lui Ampère .

Funcția Weierstrass este dată pe întreaga linie reală printr -o singură expresie analitică

w(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b^{n}\cos(a^{n}\pi x),

unde este un număr impar arbitrar care nu este egal cu unu și este un număr pozitiv mai mic decât unu. Această serie funcțională este majorată de seria numerică convergentă $A$ $b$

\sum _{n=0}^{\infty }b^{n},

prin urmare funcția este definită și continuă pentru toate reale . Cu toate acestea, această funcție nu are o derivată, cel puțin pt $w$ $X$

ab>{\tfrac {3}{2}}\pi +1.

Pentru a demonstra absența unei derivate într-un punct arbitrar , construiți două șiruri și , convergând către punct , și demonstrați că relațiile $x_{0}$ $\{x_{m}\}$ $\{y_{m}\}$ $x_{0}$

{\frac {w(x_{m})-w(x_{0})}{x_{m}-x_{0)))

și

{\frac {w(y_{m})-w(x_{0})}{y_{m}-x_{0)))

au semne diferite cel puțin când

ab>{\tfrac {3}{2}}\pi +1

și .

a>1

Aceste secvențe pot fi definite ca

x_{m}={\frac {\gamma _{m}-1}{a^{m)))

și

y_{m}={\frac {\gamma _{m}+1}{a^{m)}},

unde este cel mai apropiat număr întreg de . $\gamma _{m}$ $a^{m}x_{0)$

Absența unei derivate în toate punctele în condiții mai generale

ab\geqslant 1

și

a>1

a fost stabilit de Hardy . [unu]

Context istoric

În 1806, Ampère [2] a încercat să demonstreze analitic că fiecare funcție „arbitrară” este diferențiabilă peste tot, cu excepția valorilor „excepționale și izolate” ale argumentului. Totodată, s-a luat ca evidentă posibilitatea împărțirii intervalului de schimbare a argumentului în părți în care funcția ar fi monotonă. Cu aceste rezerve, conjectura lui Ampere poate fi privită ca o formulare nestrictă a teoremei lui Lebesgue [3] . În prima jumătate a secolului al XIX-lea s-au făcut încercări de a demonstra conjectura Ampère pentru o clasă mai largă, și anume pentru toate funcțiile continue. În 1861, Riemann le-a oferit ascultătorilor săi următoarea funcție ca contraexemplu:

r(x)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin n^{2}x}{n^{2))},

cu toate acestea, studiul diferențiabilității acestei funcții este extrem de dificil. Joseph Gerver a demonstrat că această funcție are încă o derivată în unele puncte raționale abia în 1970 [ 4] .

În 1872, Weierstrass și-a propus propriul său contraexemplu, funcția descrisă mai sus , și a prezentat o dovadă riguroasă a nediferențiabilității acesteia [5] . Acest exemplu a apărut pentru prima dată tipărit în 1875 în lucrarea lui P. Dubois-Reymond [6] . $w$

Un alt exemplu se datorează lui van der Waerden (1930):

v(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {\{10^{n}x\}}{10^{n}}},

unde parantezele înseamnă luarea părții fracționale. [7]

Note

↑ Funcția nediferențiabilă a lui Hardy GH Weierstrass // Trans-Amer. Matematică. Soc 17 (1916), p. 301-325. Cu toate acestea, Weierstrass a menționat și această declarație într-o scrisoare către Dubois-Reymond din 1873, vezi: Polubarinova-Kochina P. Ya. Karl Weierstrass. Moscova: Nauka, 1985. p. 229.
↑ Ampère, A. M. // Ecole Politechnique, 6 (1806), fasc. 13.
↑ Fig. F., S.-Nagy B. Prelegeri de analiză funcţională. M.: Mir, 1979. S. 13.
↑ Gerver J. // Jurnalul American de Matematică, Vol. 92, nr. 1 (ian. 1970), p. 33-55 Arhivat 24 martie 2016 la Wayback Machine .
↑ Raport de Weierstrass, citit la Academia Prusac de Științe la 18 iulie 1872, publicat în lucrări adunate (Weierstrass K. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.).
↑ Du Bois-Reymond R. // J. fur Math., 79 (1875), p. 21-37; Weierstrass a fost redactorul acestui jurnal și a raportat contraexemplul său într-o scrisoare către Dubois-Reymond din 23 noiembrie 1873, vezi: Polubarinova-Kochina P. Ya. Karl Weierstrass. Moscova: Nauka, 1985. p. 229.
↑ Van der Waerden B. L. // Matematică. Zeitschr. 32 (1930), p. 474-475.

Literatură

Weierstrass K. Math. Werke . bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.
Smochin. F., S.-Nagy B. Prelegeri de analiză funcţională. M.: Mir, 1979.
Polubarinova-Kochina P. Ya. Karl Weierstrass. Moscova: Nauka, 1985.