Numar real

Un număr real ( un număr real [1] ) este un obiect matematic care a apărut din necesitatea de a măsura mărimile geometrice și fizice ale lumii din jurul nostru, precum și de a efectua operații de calcul precum extragerea unei rădăcini , calcularea logaritmilor , rezolvarea ecuații algebrice , studiind comportamentul funcțiilor [2] .

Dacă în procesul de numărare au apărut numerele naturale , numerele raționale - din necesitatea de a opera cu părți ale unui întreg, atunci numerele reale sunt destinate măsurării cantităților continue. Astfel, extinderea stocului de numere luat în considerare a condus la mulțimea numerelor reale, care, pe lângă numerele raționale, include și elemente numite numere iraționale .

Vizual, conceptul de număr real poate fi reprezentat folosind o linie numerică . Dacă alegeți o direcție pe o dreaptă, un punct de plecare și o unitate de lungime pentru măsurarea segmentelor, atunci fiecare număr real poate fi asociat cu un anumit punct de pe această dreaptă și, invers, fiecare punct al dreptei poate fi asociat. cu un număr real și doar unul. Din cauza acestei corespondențe, termenul „ linie numerică ” este de obicei folosit ca sinonim pentru mulțimea de numere reale.

Conceptul de număr real a parcurs un drum lung de a deveni. Chiar și în Grecia antică , în școala lui Pitagora , care punea numerele întregi și rapoartele lor ca bază pentru tot, s-a descoperit existența unor cantități incomensurabile (incomensurabilitatea laturii și diagonalei unui pătrat), adică în terminologia modernă. , numere care nu sunt raționale. După aceasta, Eudoxus din Cnidus a încercat să construiască o teorie generală a numărului care să includă cantități incomensurabile. După aceea, timp de mai bine de două mii de ani, nimeni nu a simțit nevoia unei definiții precise a conceptului de număr real, în ciuda extinderii treptate a acestui concept [3] . Abia în a doua jumătate a secolului al XIX-lea, când dezvoltarea analizei matematice a impus restructurarea strictăo,mai,rigoare de nivelunfundamentelor

Din punctul de vedere al matematicii moderne, mulțimea numerelor reale este un câmp ordonat continuu . Această definiție, sau sistemul de axiome echivalent , definește exact noțiunea de număr real în sensul că există un singur câmp ordonat continuu până la izomorfism .

Setul de numere reale are o notație standard - R ("R aldine"), sau , Unicode U+211D : ℝ) ( tablă aldine "R") din lat. realis - real. $\mathbb {R}$ $\mathbf {R}$

Istoria formării conceptului de număr real

Teoria naivă a numerelor reale

Primul sistem numeric dezvoltat, construit în Grecia Antică , includea doar numere naturale și rapoartele acestora ( proporții , în sensul modern - numere raționale ). Cu toate acestea, curând a devenit clar că acest lucru nu era suficient în scopurile geometriei și astronomiei: de exemplu, raportul dintre lungimea diagonalei unui pătrat și lungimea laturii acestuia nu poate fi reprezentat nici printr-un număr natural, nici printr-un număr rațional. [4] .

Pentru a ieși din situație, Eudox din Cnidus a introdus, pe lângă numere, un concept mai larg de mărime geometrică , adică lungimea unui segment, arie sau volum. Teoria lui Eudoxus a ajuns la noi în expunerea lui Euclid („ Începuturile ”, cartea V). În esență, teoria lui Eudoxus este un model geometric al numerelor reale. Din punct de vedere modern, numărul cu această abordare este raportul dintre două cantități omogene - de exemplu, standardul investigat și unic. Trebuie totuși subliniat că Eudoxus a rămas fidel vechii tradiții – el nu a considerat un astfel de raport ca un număr; din această cauză, în Elemente, multe teoreme despre proprietățile numerelor sunt apoi dovedite din nou pentru mărimi. Teoria clasică a lui Dedekind pentru construcția numerelor reale este extrem de asemănătoare în principii cu expunerea lui Eudoxus. Cu toate acestea, modelul lui Eudoxus este incomplet în unele privințe, cum ar fi neincluderea numerelor negative.

Situația a început să se schimbe în primele secole d.Hr. e. Deja Diophantus din Alexandria , contrar tradițiilor anterioare, consideră fracțiile la fel ca numerele naturale, iar în cartea a IV-a a „Aritmeticii” sale scrie chiar despre un singur rezultat: „Numărul se dovedește a nu fi rațional” [5] . După moartea științei antice, matematicienii din India și țările islamice au ieșit în prim-plan , pentru care orice rezultat al măsurării sau calculului era considerat un număr. Aceste opinii au luat treptat puterea în Europa medievală [6] , unde la început numerele raționale și iraționale (literalmente: „nerezonabile”) au fost separate (au fost numite și imaginare, absurde, surde etc.). O ecuație completă a drepturilor numerelor iraționale este asociată cu scrierile lui Simon Stevin (sfârșitul secolului al XVI-lea), care a proclamat [5] :

Ajungem la concluzia că nu există numere absurde, iraționale, greșite, inexplicabile sau surde, ci că printre numere există o asemenea perfecțiune și acord încât trebuie să medităm zi și noapte asupra completității lor uimitoare.

El, cu unele rezerve, a legalizat numerele negative și a dezvoltat, de asemenea, teoria și simbolismul fracțiilor zecimale , care din acel moment încep să înlocuiască incomodul sexagesimal .

Un secol mai târziu, Newton în „ Aritmetica universală ” ( 1707 ) oferă definiția clasică a unui număr (real) ca raport dintre rezultatul măsurării și un singur standard [7] :

Prin număr înțelegem nu atât un set de unități, cât o relație abstractă a unei cantități cu o altă cantitate de același fel, luată ca unitate.

Multă vreme, această definiție aplicată a fost considerată suficientă, astfel încât proprietățile practic importante ale numerelor reale și ale funcțiilor nu au fost dovedite, ci au fost considerate intuitiv evidente (din considerente geometrice sau cinematice ). De exemplu, sa considerat de la sine înțeles că o curbă continuă, ale cărei puncte sunt situate pe laturile opuse ale unei anumite linii, intersectează această linie. De asemenea, nu a existat o definiție strictă a conceptului de continuitate [8] . În consecință, multe teoreme au conținut erori, formulări vagi sau prea largi.

Chiar și după ce Cauchy a dezvoltat o bază destul de riguroasă pentru analiză , situația nu s-a schimbat, deoarece teoria numerelor reale, pe care ar fi trebuit să se bazeze analiza, nu a existat. Din această cauză, Cauchy a făcut multe greșeli, bazându-se pe intuiție unde a dus la concluzii incorecte: de exemplu, el credea că suma unei serii de funcții continue este întotdeauna continuă.

Crearea unei teorii riguroase

Prima încercare de a umple un gol în fundamentele matematicii a fost făcută de Bernard Bolzano în articolul său „Dovada pur analitică a teoremei că între oricare două valori care dau rezultate de semn opus, există cel puțin una. rădăcina reală a ecuației ” ( 1817 ). Această lucrare de pionierat nu are încă un sistem integral de numere reale, dar este deja dată o definiție modernă a continuității și se arată că pe această bază se poate demonstra riguros teorema menționată în titlu [9] . Într-o lucrare ulterioară [10] , Bolzano oferă o schiță a teoriei generale a numerelor reale, care este apropiată în idei de teoria mulțimilor a lui Cantor [11] , dar această lucrare a lui a rămas nepublicată în timpul vieții autorului și a fost publicată doar în 1851. Părerile lui Bolzano au fost cu mult înaintea timpului lor și nu au atras atenția comunității matematice.

Teoria modernă a numerelor reale a fost construită în a doua jumătate a secolului al XIX-lea, în primul rând prin lucrările lui Weierstrass , Dedekind și Cantor . Ei au propus abordări diferite, dar echivalente ale teoriei acestei structuri matematice cele mai importante și în cele din urmă au separat acest concept de geometrie și mecanică [12] .

Modalități constructive de definire a unui număr real

Cu o definiție constructivă a conceptului de număr real pe baza obiectelor matematice cunoscute (de exemplu, mulțimea numerelor raționale ), care sunt luate ca date, se construiesc noi obiecte care, într-un anumit sens, reflectă intuiția noastră. înțelegerea conceptului de număr real. Diferența esențială dintre numerele reale și aceste obiecte construite este că primele, spre deosebire de cele din urmă, sunt înțelese de noi doar intuitiv și nu sunt încă un concept matematic strict definit. $\mathbb {Q}$

Aceste obiecte sunt declarate numere reale. Pentru ei sunt introduse operațiile aritmetice de bază, se determină relația de ordine și se demonstrează proprietățile lor.

Din punct de vedere istoric, primele definiții riguroase ale unui număr real au fost tocmai definițiile constructive. În 1872, au fost publicate simultan trei lucrări: teoria secvențelor fundamentale ale lui Cantor , teoria lui Weierstrass (în versiunea modernă - teoria fracțiilor zecimale infinite) și teoria secțiunilor din regiunea numerelor raționale Dedekind [3] [ 13] .

Teoria secvențelor fundamentale a lui Cantor

În această abordare, un număr real este considerat ca limită a unei secvențe de numere raționale. Pentru ca o secvență de numere raționale să convergă, i se impune condiția Cauchy :

\forall \varepsilon >0\;\exists N(\varepsilon ):\;\forall n>N(\varepsilon )\;\forall m>0\;|a_{n+m}-a_{n}|< \varepsilon

Sensul acestei condiții este că membrii secvenței, pornind de la un anumit număr, se vor afla în mod arbitrar aproape unul de celălalt. Secvențele care satisfac condiția Cauchy se numesc fundamentale .

Notăm numărul real definit de șirul fundamental de numere raționale . $\{un}\}$ $[un}]$

Două numere reale

$\alpha =[a_{n}]$ și , $\beta =[b_{n}]$

definite respectiv de secvenţe fundamentale şi , se numesc egale dacă $\{un}\}$ $\{b_{n}\}$

\lim _{n\to \infty }\left(a_{n}-b_{n}\right)=0

Dacă sunt date două numere reale și , atunci suma și produsul lor sunt numerele definite, respectiv, de suma și produsul șirurilor și : $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\{un}\}$ $\{b_{n}\}$

\alpha +\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}+b_{n}]\qquad \alpha \cdot \beta {\overset {\text{def}}{= }}[a_{n}\cdot b_{n}]

Relația de ordine pe mulțimea numerelor reale se stabilește printr-un acord conform căruia numărul este, prin definiție, mai mare decât numărul , adică dacă $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\alpha >\beta$

\exists \varepsilon >0\;\exists N:\;\forall n>N\;a_{n}\geqslant b_{n}+\varepsilon

Metoda de construire a mulțimii numerelor reale folosind secvențe fundamentale de numere raționale este un caz special al construcției de completare a unui spațiu metric arbitrar . Ca și în cazul general, mulțimea numerelor reale obținute ca urmare a completării este ea însăși deja completă , adică conține limitele tuturor secvențelor fundamentale ale elementelor sale.

Teoria zecimale infinite

Un număr real este definit ca o fracție zecimală infinită , adică o expresie a formei

\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

unde există unul dintre simboluri sau , numit semnul numărului, este un întreg nenegativ, este o succesiune de zecimale, adică elemente ale mulțimii numerice . $\p.m$ $+$ $-$ $a_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots a_{n},\ldots$ $\{0,1,\ldots 9\}$

O fracție zecimală infinită este interpretată ca un număr care se află pe linia numerică dintre punctele raționale ale formei

$\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}$ și pentru toată lumea $\pm \left(a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}+10^{-n}\right)$ $n=0,1,2,\ldots$

Compararea numerelor reale sub formă de fracții zecimale infinite se realizează bit cu bit. De exemplu, date două numere nenegative

{\begin{matrix}\alpha &=+a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots \\\beta &=+b_{0},b_{1}b_{ 2}\ldots b_{n}\ldots \end{matrice}}

Dacă , atunci ; dacă atunci . În caz de egalitate, ei procedează la compararea următoarei cifre. Si asa mai departe. Dacă , atunci după un număr finit de pași prima cifră va fi întâlnită astfel încât . Dacă , atunci ; dacă atunci . $a_{0}<b_{0}$ $\alpha <\beta$ $a_{0}>b_{0}$ $\alpha >\beta$ $a_{0}=b_{0}$ $\alpha \neq \beta$ $n$ $a_{n}\neq b_{n}$ $a_{n}<b_{n}$ $\alpha <\beta$ $a_{n}>b_{n}$ $\alpha >\beta$

Cu toate acestea, trebuie luat în considerare faptul că numărul Prin urmare, dacă înregistrarea unuia dintre numerele comparate, începând de la o anumită cifră, este o fracție zecimală periodică, care are 9 în perioadă, atunci ar trebui înlocuită cu o înregistrare echivalentă, cu zero în perioadă. $a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}(9)=a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}+10^{-n}$

Operațiile aritmetice pe fracții zecimale infinite sunt definite ca o extensie continuă [14] a operațiilor corespunzătoare asupra numerelor raționale. De exemplu, suma numerelor reale și se numește număr real care îndeplinește următoarea condiție: $\alfa$ $\beta$ $\alpha +\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \ leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')

În mod similar definește operația de înmulțire a fracțiilor zecimale infinite.

Teoria secțiunilor în regiunea numerelor raționale

În abordarea lui Dedekind, numerele reale sunt definite folosind secțiuni din mulțimea numerelor raționale.

O secțiune din mulțimea numerelor raționale este orice împărțire a mulțimii tuturor numerelor raționale în două clase nevide - inferior și superior , astfel încât fiecare număr din clasa inferioară să fie strict mai mic decât orice număr din cel superior: $\mathbb {Q}$ $A$ $A'$

$\mathbb {Q} =A\cup A'\quad \land \quad A,A'\neq \varnothing \quad \land \quad \forall a\in A,\forall a'\in A'\ ;(a<a')$

Dacă există un număr care este maxim în clasa inferioară sau minim în clasa superioară, atunci acest număr separă mulțimile și : numerele claselor inferioare și superioare se află pe părțile opuse ale . Se mai spune că un număr rațional produce o secțiune dată a mulțimii numerelor raționale. $\alfa$ $A$ $A'$ $\alfa$ $\alfa$

Dacă nu există niciun element maxim în clasa secțiunii inferioare și niciun element minim în clasa secțiunii superioare, atunci nu există un număr rațional care ar separa mulțimile și . În acest caz, prin definiție, se presupune că secțiunea dată determină un număr irațional , care se află între clasele inferioare și superioare și, prin urmare, produce secțiunea dată. Cu alte cuvinte, pentru orice tăietură care nu este produsă de niciun număr rațional , se introduce un nou obiect - un număr irațional , care, prin definiție, este mai mare decât orice număr din clasa inferioară și mai mic decât orice număr din clasa superioară: $A$ $A'$ $\alfa$

$\forall a\in A,\forall a'\in A'\;a<\alpha <a'$

Unirea tuturor numerelor raționale și a tuturor numerelor iraționale se numește mulțime de numere reale , iar elementele sale sunt numere reale .

Operațiile aritmetice pe numere reale sunt definite ca o extensie continuă a operațiilor corespunzătoare asupra numerelor raționale. De exemplu, suma numerelor reale și se numește număr real care îndeplinește următoarea condiție: $\alfa$ $\beta$ $\alpha +\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \ leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')

Abordare axiomatică

Există multe moduri de a construi un set de numere reale. În teoria lui Cantor numerele reale sunt clase de șiruri fundamentale echivalente de numere raționale, în teoria lui Weierstrass sunt fracții zecimale infinite, în teoria lui Dedekind sunt secțiuni din regiunea numerelor raționale. În toate aceste abordări, ca urmare, obținem un anumit set de obiecte (numere reale) care au anumite proprietăți: pot fi adunate, înmulțite, comparate între ele. Mai mult, odată stabilite proprietățile acestor obiecte, nu ne mai putem referi la construcțiile specifice prin care au fost construite.

În matematică , nu natura specifică a obiectelor este importantă, ci doar relațiile matematice care există între ele.

Pentru o persoană care studiază conceptul matematic al numărului de elemente , nu contează despre ce să vorbim - despre trei mere sau trei pietre, iar comestibilitatea sau necomestiunea lor nu contează. În procesul abstracției din semne neesențiale, adică abstracție ( lat. abstractio - distragere), el ajunge la lucrul comun pe care îl au trei mere și trei pietre - numărul de elemente. Așa apare conceptul abstract al numărului natural . Din acest punct de vedere, trei mere și trei pietre sunt două implementări concrete ale modelului conceptului abstract de „numărul trei”.

La fel, clasele de secvențe fundamentale de numere raționale, fracții zecimale infinite, secțiuni din regiunea numerelor raționale sunt doar realizări concrete, modele ale unui număr real. Și însăși conceptul de număr real este determinat de relațiile matematice existente pentru acesta. Imediat ce sunt stabilite, se definește și conceptul de număr real.

Aici se cuvine să cităm celebra afirmație a lui D. Hilbert , fondatorul metodei axiomatice a sistemului în matematică, care, referindu-se la axiomatizarea geometriei , a remarcat odată:

Ar trebui să se asigure că se poate vorbi cu același succes în loc de puncte, linii și avioane despre mese, scaune și căni de bere.David Gilbert [15]

Axiomatica numerelor reale

O mulțime se numește mulțime de numere reale, iar elementele ei se numesc numere reale, dacă este îndeplinită următoarea mulțime de condiții, numită axiomatica numerelor reale: $\mathbb {R}$

Axiome de câmp

O mapare este definită pe un set ( operație de adăugare ) $\mathbb {R}$

$+:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

care atribuie fiecărei perechi ordonate de elemente dintr- un element din aceeași mulțime , numită suma și ( notația echivalentă a unui element dintr- o mulțime ). $a,b$ $\mathbb {R}$ $c$ $\mathbb {R}$ $A$ $b$ $a+b$ $c$ $\mathbb {R}$

De asemenea, o mapare este definită pe set ( operație de multiplicare ) $\mathbb {R}$

$\cdot :\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

care atribuie fiecărei perechi ordonate de elemente dintr- un element , numit produsul lui și . $a,b$ $\mathbb {R}$ $a\cdot b$ $A$ $b$

În acest caz, au loc următoarele proprietăți.

{\text{I}}_{1}.

Comutativitatea adunării. Pentru orice

a,b\in \mathbb {R}

a+b=b+a

{\text{I}}_{2}.

Asociativitatea adunării. Pentru orice

a,b,c\in \mathbb {R}

a+(b+c)=(a+b)+c

{\text{I}}_{3}.

Existența lui zero. Există un element numit zero astfel încât pentru orice

0\in \mathbb {R}

a\în \mathbb {R}

a+0=a

{\text{I}}_{4}.

Existența unui element opus. Pentru orice există un element numit opus astfel încât

a\în \mathbb {R}

-a\in \mathbb {R}

A

a+(-a)=0

{\text{I}}_{5}.

Comutativitatea înmulțirii. Pentru orice

a,b\in \mathbb {R}

a\cdot b=b\cdot a

{\text{I}}_{6}.

Asociativitatea înmulțirii. Pentru orice

a,b,c\in \mathbb {R}

a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c

{\text{I}}_{7}.

Existența unei unități. Există un element numit unit , astfel încât pentru orice

1\in \mathbb {R}

a\în \mathbb {R}

a\cdot 1=a

{\text{I}}_{8}.

Existența unui element invers. Pentru orice există un element , de asemenea notat și numit inversul lui , astfel încât

a\in \mathbb {R} ,a\neq 0

a^{-1}\în \mathbb {R}

1/a

A

a\cdot a^{-1}=1

{\text{I}}_{9}.

Legea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea. Pentru orice

a,b,c\in \mathbb {R}

a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c

{\text{I}}_{10}.

Nontrivialitatea câmpului. Unu și zero sunt elemente diferite :

\mathbb {R}

$1\neq 0$

Axiomele ordinii

Se definește o relație între elementele , adică pentru orice pereche ordonată de elemente din , se stabilește dacă relația este satisfăcută sau nu. În acest caz, au loc următoarele proprietăți. $\mathbb {R}$ $\leqslant$ $a,b$ $\mathbb {R}$ $a\leqslant b$

{\text{II}}_{1}.

Reflexivitate. Pentru oricine

a\în \mathbb {R}

$a\leqslant a$

{\text{II}}_{2}.

Antisimetrie. Pentru orice

a,b\in \mathbb {R}

$(a\leqslant b)\land (b\leqslant a)\Rightarrow (a=b)$

{\text{II}}_{3}.

Tranzitivitatea. Pentru orice

a,b,c\in \mathbb {R}

$(a\leqslant b)\land (b\leqslant c)\Rightarrow (a\leqslant c)$

{\text{II}}_{4}.

Ordine liniară. Pentru orice

a,b\in \mathbb {R}

$(a\leqslant b)\lor (b\leqslant a)$

{\text{II}}_{5}.

Relația dintre adunare și ordine. Pentru orice

a,b,c\in \mathbb {R}

$(a\leqslant b)\Rightarrow (a+c\leqslant b+c)$

{\text{II}}_{6}.

Relația dintre înmulțire și ordine. Pentru orice

a,b\in \mathbb {R}

$(0\leqslant a)\land (0\leqslant b)\Rightarrow (0\leqslant a\cdot b)$

Axiome de continuitate

{\text{III}}_{1}.

Oricare ar fi mulțimile nevide și , astfel încât pentru oricare două elemente și inegalitatea este valabilă , există un număr astfel încât pentru toți și relația este valabilă

A\subset \mathbb {R}

B\subset \mathbb {R}

a\în A

b\în B

a\leqslant b

\xi \in \mathbb {R}

a\în A

b\în B

a\leqslant \xi \leqslant b

Aceste axiome sunt suficiente pentru a deriva în mod riguros toate proprietățile cunoscute ale numerelor reale [16] .

În limbajul algebrei moderne, axiomele primului grup înseamnă că o mulțime este un câmp . Axiomele celui de-al doilea grup - că mulțimea este o mulțime ordonată liniar ( - ), iar relația de ordine este în concordanță cu structura câmpului - . Mulțimile care satisfac axiomele primului și celui de-al doilea grup se numesc câmpuri ordonate . În sfârșit, ultimul grup, format dintr-o axiomă, afirmă că mulțimea numerelor reale are proprietatea continuității , care se numește și completitudine . Rezumând, putem da o definiție echivalentă a mulțimii numerelor reale. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ ${\text{II}}_{1}$ ${\text{II}}_{4}$ ${\text{II}}_{5}$ ${\text{II}}_{6}$

Definiție. Mulțimea numerelor reale este un câmp ordonat continuu.

Alte sisteme de axiome ale numerelor reale

Există și alte moduri de axiomatizare a numerelor reale. De exemplu, în loc de axioma continuității , puteți utiliza orice altă condiție echivalentă sau grup de condiții. De exemplu, în sistemul de axiome propus de Hilbert, axiomele grupurilor și sunt în esență aceleași cu cele date mai sus, iar în locul axiomei sunt utilizate următoarele două condiții: ${\text{III}}_{1}.$ ${\text{I}}$ ${\text{II}}$ ${\text{III}}_{1}$

{\text{III}}_{1}'.

Axioma lui Arhimede . Fie [17] și. Apoi elementulpoate fi repetat ca termen de atâtea ori încât suma rezultată depășește:

a>0

b>0

A

b

$a+a+\ldots +a>b$

{\text{III}}_{2}'.

Axioma completității (în sensul lui Hilbert). Sistemul nu poate fi extins la niciun sistem în așa fel încât, menținând relațiile anterioare dintre elemente pentru , toate axiomele - , .

\mathbb {R}

\mathbb {R} ^{*}

\mathbb {R}

\mathbb {R} ^{*}

{\text{I}}

{\text{II}}

{\text{III}}_{1}'.

Astfel, se poate da următoarea definiție echivalentă:

Definiție. Mulțimea numerelor reale este câmpul ordonat arhimedian maxim

Ca un alt exemplu de axiomatizare a numerelor reale, poate fi dată axiomatica lui Tarski , constând din doar 8 axiome independente.

Proprietăți

Legătura cu numerele raționale

Evident, numerele raționale sunt amestecate cu numere reale pe linia numerică , iar mulțimea numerelor reale este într-un anumit sens „densă” decât mulțimea numerelor raționale. Apare o întrebare firească, cât de des cad numerele raționale și reale pe linia numerică și dacă unele numere pot fi aproximate de altele. Răspunsul la această întrebare este dat de trei leme , bazate în principal pe axioma lui Arhimede . [optsprezece]

Lema 1. Pentru orice număr real și orice distanță rațională pozitivă luată în avans, există o pereche de numere raționale separate între ele cu mai puțin decât această distanță, astfel încât numărul real să se afle pe segmentul dintre aceste numere raționale.

\forall a\in \mathbb {R} ~\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} _{+}~\există q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q} :~(q_{ 1}\leq a\leq q_{2})\land (q_{2}-q_{1}<\varepsilon )

Această lemă spune că orice număr real poate fi aproximat din două părți cu o precizie dată prin numere raționale.

Lema 2. Între oricare două numere reale diferite există un număr rațional.

\forall a,b\in \mathbb {R} ,a<b~\există q\in \mathbb {Q} :a<q<b

O consecință evidentă a acestei leme este faptul că între oricare două numere reale necoincidente există un număr infinit de numere raționale. În plus, este și mai evident că între oricare două numere raționale distincte există un număr real.

Lema 3. Aproximarea rațională a unui număr real descrisă în Lema 1 identifică în mod unic un număr real.

\forall a,b\in \mathbb {R} ~(\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} _{+}~\exists q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q} :~ (q_{1}\leq a\leq q_{2})\land (q_{1}\leq b\leq q_{2})\land (q_{2}-q_{1}<\varepsilon ))\ Săgeata dreapta a=b

Aceste leme spun în primul rând că mulțimea numerelor reale nu este la fel de „densă” în comparație cu mulțimea numerelor raționale, așa cum ar părea. Lema 2 ilustrează acest lucru în mod deosebit de clar.Toate cele trei leme sunt utilizate în mod activ pentru a demonstra diverse teoreme legate de operațiile de adunare și înmulțire a numerelor reale.

Proprietăți teoretice de mulțimi

Inițial, numerele reale au fost o generalizare firească a celor raționale , dar pentru prima dată au descoperit proprietatea nenumărabilității, care spune că mulțimea numerelor reale nu poate fi numerotată, adică nu există bijecție între mulțimile reale și naturale . numere . Pentru a arăta nenumărabilitatea întregului set de numere reale, este suficient să arăți nenumărabilitatea intervalului . [optsprezece] $\left(0,1\dreapta)$

Lasă toate numerele intervalului specificat să fie deja enumerate într-un fel. Apoi pot fi scrise sub următoarea formă:

x_{1}=0,a_{11}a_{12}\cdots a_{1m}\cdots

x_{2}=0,a_{21}a_{22}\cdots a_{2m}\cdots

\cdots

x_{k}=0,a_{k1}a_{k2}\cdots a_{km}\cdots

\cdots

Aici este a --a cifră a --lea număr. Este evident că toate numerele de tipul indicat aparțin cu adevărat intervalului luat în considerare, cu excepția cazului în care în fiecare număr toate cifrele sunt imediat zero sau nouă . $a_{{ij}}$ $j$ $i$

Apoi, luați în considerare următorul număr:

x=0,d_{1}d_{2}\cdots d_{m}\cdots

Fie că fiecare cifră a acestui număr satisface următoarele trei proprietăți: $d_{i}$

$d_{i}\neq 0$
$d_{i}\neq 9$
$d_{i}\neq a_{ii}$

Un astfel de număr există într-adevăr în intervalul specificat, deoarece este real, nu coincide nici cu zero, nici cu unu, iar cifrele zecimale sunt suficiente pentru ca a treia proprietate să fie valabilă. În plus, este interesant prin faptul că nu coincide cu niciunul dintre numerele scrise mai sus, deoarece altfel -a cifră a numărului ar coincide cu -a cifră a numărului . Am ajuns la o contradicție, care constă în faptul că indiferent de modul în care sunt numerotate numerele intervalului considerat, tot va exista un număr din același interval căruia nu i se atribuie un număr. [optsprezece] $X$ $x_{j}$ $j$ $X$ $j$ $x_{j}$

Aceasta indică faptul că setul de numere reale nu este numărabil . Puterea sa se numește puterea continuumului .

Set extins de numere reale

Într-o serie de aplicații ale analizei matematice, este convenabil să se utilizeze mulțimea extinsă de numere reale , care se obține prin completarea mulțimii numerelor reale cu un punct la infinit într-unul din următoarele moduri [19] . ${\overline {R)}$ $R$

Două infinitate semnate: , $\overline R = R \cup \{ +\infty\} \cup \{ -\infty\}$
Un infinit nesemnat: . ${\overline {R}}=R\cup \{\infty \}$

Infiniturile semnate si , aparute in prima definitie, reprezinta limita unei secvente de numere, respectiv pozitive sau negative, crescand nedefinit in modulo. A doua definiție folosește infinitul fără semn , uneori denumit și , care este limita unei secvențe de numere (cu semne arbitrare) care cresc la infinit în valoare absolută. Rețineți că simbolul poate indica atât infinitul fără semn, cât și infinitul pozitiv . De obicei, din context reiese clar ce înseamnă infinit, sau nu contează. $+\infty$ $-\infty$ $\infty$ $\pm\infty$ $\infty$ $+\infty$

Generalizarea numerelor reale

Domeniul numerelor reale a servit constant în matematică ca sursă de generalizări și în diverse direcții practic importante. Următoarele variante de sisteme numerice generalizate se alătură direct câmpului . $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Numerele complexe . Deosebit de fructuoase în algebră și analiză , ele sunt utilizate cu succes în fizică , inginerie electrică , cartografie , hidrodinamică etc.
Numerele de interval . Ele sunt utilizate în principal în teoria calculelor aproximative și în teoria probabilităților .
Analiză non-standard , care adaugă numere infinitezimale și infinit de mari (de ordine diferite) numerelor reale.

Aplicații

Modelul matematic al numerelor reale este utilizat pe scară largă în știință și tehnologie pentru a măsura cantități în continuă schimbare. Cu toate acestea, aceasta nu este principala sa aplicație, deoarece cantitățile măsurate efectiv au întotdeauna un număr finit de zecimale, adică sunt numere raționale. Scopul principal al acestui model este de a servi drept bază pentru metodele de cercetare analitică . Succesul uriaș al acestor metode în ultimele trei secole a arătat că modelul numerelor reale în majoritatea cazurilor reflectă în mod adecvat structura mărimilor fizice continue [20] [21] .

Ceea ce s-a spus, desigur, nu înseamnă că linia numerică reală este o imagine exactă a unei mărimi reale continue. De exemplu, știința modernă nu știe încă dacă spațiul și timpul sunt discrete sau infinit divizibile; totuși, chiar și în cel de-al doilea caz, modelul numerelor reale pentru aceste mărimi ar trebui considerat ca fiind aproximativ, deoarece conceptele de punct în spațiu și moment în timp sunt idealizări care nu au analog real. Această întrebare fundamentală a fost discutată pe scară largă în știință, începând cu aporii lui Zenon .

Vezi și

Note

↑
Denumirile „ număr real ” și „ număr real ” sunt echivalente. Din punct de vedere istoric, termenul „ număr real ” a fost folosit în Școala de Matematică din Moscova, iar „ număr real ” în Școala din Leningrad . Două lucrări clasice pot fi citate ca exemplu:
- Luzin, N. N. Teoria funcțiilor unei variabile reale. (Școala din Moscova)
- Natanson, I. P. Teoria funcțiilor unei variabile reale. (Școala din Leningrad)
Manualele universitare moderne folosesc ambii termeni:
- Zorich V. A. Analiză matematică. ( MGU, mekhmat ) — număr real
- Ilyin V. A., Poznyak V. G. Fundamentele analizei matematice. ( Universitatea de Stat din Moscova, Facultatea de Fizică ) — număr real
- Kudryavtsev, L. D. Curs de analiză matematică. ( MIPT ) este un număr real
- Fikhtengol'ts, G. M. Curs de calcul diferențial și integral. ( Universitatea de Stat din Sankt Petersburg ) — număr real
↑ Vezi L. D. Kudryavtsev, Curs de analiză matematică. - T. 1. - S. 35-36. , precum și Bourbaki N. Eseuri despre istoria matematicii. - S. 146.
↑ 1 2 3 Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Ways and labyrinths. Eseuri despre istoria matematicii. - S. 287-289.
↑ Bourbaki N. . Arhitectura matematicii. Eseuri despre istoria matematicii. - S. 147.
↑ 1 2 Bourbaki N. . Arhitectura matematicii. Eseuri despre istoria matematicii. - S. 150-151.
↑ Istoria matematicii. - T. I. - S. 190-191, 304-305.
↑ Istoria matematicii. - T. II. - S. 35.
↑ Bourbaki N. . Arhitectura matematicii. Eseuri despre istoria matematicii. - S. 154.
↑ Cititor despre istoria matematicii. Analiza matematică. Teoria probabilității / Ed. A. P. Iuşkevici . - M . : Educaţie, 1977. - S. 171-178. — 224 p.
↑ Bernard Bolzano. Paradoxurile infinitului. Arhivat pe 13 aprilie 2014 la Wayback Machine
↑ Rykhlik Karel. Teoria numerelor reale în moștenirea olografă a lui Bolzano // IMI, 1958. Nr. 11. P. 515-532.
↑ Kolmogorov A. N. , Abramov A. M. , Dudnitsyn Yu. P. Algebra și începutul analizei. Manual pentru clasele 10-11 de liceu. - M., Educație, 1994. - ISBN 5-09-006088-6 . - C. 162-165
↑ Rybnikov K. A. Istoria matematicii. - T. 2. - S. 196.
↑ Deoarece relația de ordine liniară a fost deja introdusă pe mulțimea numerelor reale, putem defini topologia dreptei reale: ca mulțimi deschise, luăm toate uniunile posibile de intervale de forma $\{x:\alpha <x<\beta \}$
↑ Reid C. Gilbert. - S. 79.
↑ Vezi L. D. Kudryavtsev, Curs de analiză matematică. - T. 1.
↑ $(a>0)\;{\overset {\text{def}}{\Leftrightarrow }}\;(a\geqslant 0)\land (a\neq 0)$
↑ 1 2 3 V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sennov . Capitolul 2. Numere reale // Analiza matematică / Ed. A. N. Tihonova . - Ed. a 3-a. , revizuit si suplimentare - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 44-45, 63 - 64. - 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 .
↑ Kudryavtsev L. D., 2005 , p. 19.
↑ Matematica, conținutul, metodele și sensul ei (în trei volume). - Academia de Științe a URSS, 1956. - T. 1. - S. 29-31. — 296 p.
↑ Stewart, Ian . Numerele incredibile ale profesorului Stewart = numerele incredibile ale profesorului Stewart. - M . : Alpina non-fiction, 2016. - S. 209-210. — 422 p. - ISBN 978-5-91671-530-9 .

Literatură

Referințe

Arnold IV Aritmetică teoretică. — M .: UCHPEDGIZ, 1938.

Bourbaki N. Eseuri de istoria matematicii / trad. din franceza I. G. Bashmakova, ed. K. A. Rybnikova. - M . : Editura de literatură străină, 1963.

Hilbert D. Fundamentele geometriei = Grundlagen der Geometrie / per. din a VII-a ediție germană a I. S. Gradshtein, ed. P. K. Raşevski. - M. - L .: Editura de stat de literatură tehnică și teoretică, 1948.

Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Căi și labirinturi. Eseuri despre istoria matematicii. — Trans. din franceza - M. : MIR, 1986. - 432 p.

Dedekind R. Continuitate și numere iraționale = Stetigkeit und irationale Zahlen. — ediția a 4-a revizuită. - Odesa: Mathesis, 1923. - 44 p.

Zorich V. A. Analiză matematică. Partea I. - Ed. a IV-a, Rev. - M. : MTSNMO, 2002. - XVI + 664 p. — ISBN 5-94057-056-9 .

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentele analizei matematice: În 2 ore.Partea I. - Ed. a VII-a. - M. : FIZMATLIT, 2005. - 648 p. - ISBN 5-9221-0536-1 .

Istoria matematicii din cele mai vechi timpuri până la începutul secolului al XIX-lea. În trei volume / ed. Iuşkevici. - M. : NAUKA, 1970. - T. 1.

Kantor G. Lucrări despre teoria mulţimilor / ed. A. N. Kolmogorov, F. A. Medvedev, A. P. Yushkevich,. - M . : SCIENCE, 1985. - (Clasice ale științei).

A. N. Kolmogorov. Despre justificarea teoriei numerelor reale // Uspekhi Mat . - 1946. - T. 1 , nr. 1(11) . - S. 217-219 .
Kudryavtsev L. D. Curs de analiză matematică. - a 5-a ed. - M . : „Drofa”, 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1 .

Kudryavtsev L. D. Curs scurt de analiză matematică. - Ed. a 3-a. revizuit .. - M . : FIZMATLIT, 2005. - T. 1. - 400 p. — ISBN 5-9221-0184-6 .

Reed K. Gilbert / trad. din engleza. I. V. Dolgaciov, ed. R. V. Gamkrelidze. — M .: NAUKA, 1977.

Rybnikov K. A. Istoria matematicii. - M . : Editura Universității din Moscova, 1963. - T. 2.

Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. Un curs de analiză matematică. — Ed. a III-a, corectată. - M. : FIZMATLIT, 2001. - 672 p. — ISBN 5-9221-0008-4 .

Fikhtengol's G.M. Fundamentele analizei matematice. - Ed. a VII-a. - M. : FIZMATLIT, 2002. - T. 1. - 416 p. — ISBN 5-9221-0196-X .

Lectură recomandată

din istoria formării conceptului de număr real:

Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Căi și labirinturi. Eseuri despre istoria matematicii.
Istoria matematicii, editat de A. P. Yushkevich în trei volume, M .: Nauka.

Volumul 1 Din cele mai vechi timpuri până la începutul timpurilor moderne. (1970)
Volumul 2 Matematica secolului al XVII-lea. (1970)
Volumul 3 Matematica secolului al XVIII-lea. (1972) Arhivat pe 24 martie 2017 la Wayback Machine

O prezentare detaliată a teoriei construirii numerelor reale folosind secvențe fundamentale , precum și a teoriei construirii numerelor reale folosind secțiuni din regiunea numerelor raționale, poate fi găsită în următoarele:

Arnold IV Aritmetică teoretică . Arhivat pe 25 februarie 2010 la Wayback Machine

Cei care doresc să se familiarizeze cu gândirea originală a lui R. Dedekind însuși pot recomanda o broșură în care în 1872 Dedekind și-a conturat teoria numărului real. Această carte rămâne una dintre cele mai bune și mai accesibile expoziții ale subiectului până în prezent. Există o traducere în limba rusă:

Dedekind, R. Continuitate și numere iraționale = Stetigkeit und irationale Zahlen. — ediția a 4-a revizuită. - Odesa: Mathesis, 1923. - 44 p.

de asemenea, există o expunere excelentă a teoriei lui Dedekind în manualul clasic:

Fikhtengol'ts, G. M. Fundamentele analizei matematice. - Ed. a VII-a. - M. : FIZMATLIT, 2002. - T. 1. - 416 p. — ISBN 5-9221-0196-X .

Construcția teoriei numărului real folosind zecimale infinite poate fi găsită în cărțile:

Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. Un curs de analiză matematică.
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Fundamentele analizei matematice: în 2 ore. Partea I.

o prezentare axiomatică a teoriei numărului real poate fi găsită în cărțile:

Kudryavtsev, L. D. Curs de analiză matematică. - a 5-a ed. - M . : Drofa, 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1 .
Zorich, V. A. Analiză matematică. Partea I. - Ed. a 4-a, rev. - M. : „MTsNMO”, 2002. - 657 p. — ISBN 5-94057-056-9 .

Esenţa metodei axiomatice şi compararea acesteia cu abordarea constructivă sunt prezentate de D. Hilbert pe mai multe pagini în „Anexa VI. Despre conceptul de număr” în următoarea ediție a operei clasice:

Hilbert D. Fundamentele geometriei = Grundlagen der Geometrie. - per. din a VII-a ediție germană a I. S. Gradshtein, ed. P. K. Raşevski. - M. - L .: Editura de stat de literatură tehnică și teoretică, 1948.

Dicționare și enciclopedii

În cataloagele bibliografice
BNF : 11977586x GND : 4202628-3 J9U : 987007538747105171 LCCN : sh85093221 NDL : 00574870 NKC : ph125164

Sisteme numerice
Seturi numărabile	numere naturale ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ numere întregi ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rațional ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ algebric ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioadele Calculabil Aritmetic
Numerele reale și extensiile lor	Real ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Complex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Cuaternioni ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Numerele Cayley (octave, octooni) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alterniuni Dual Hipercomplex Superreale Hipermaterial ireal
Instrumente de extensie numerică	Procedura Cayley-Dixon Teorema Frobenius Teorema Hurwitz
Alte sisteme numerice	numere cardinale Numere ordinale (transfinite, ordinale) p-adic Numere supranaturale numere de interval
Vezi si	numere duble Numere irationale numerele transcendentale fascicul numeric Biquaternion