Funcția Lommel

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 februarie 2020; verificarea necesită 1 editare .

Funcția Lommel este o funcție neelementară care este o soluție particulară a ecuației Bessel neomogene :

{\displaystyle z^{2}{\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+z{\frac {df}{dz}}+(z^{2}-\nu ^ {2})f=z^{\mu +1))

Introdus de matematicianul german Eigen von Lommel [1] [2] .

Expresia integrală a funcției Lommel:

{\mathsf {G}}_{\nu ,\mu }(x)={\frac {\pi }{2}}\left(N_{\nu }(x)\cdot \int _{ 0}^{x}J_{\nu }(t)\cdot t^{\mu }dt-J_{\nu }(x)\cdot \int _{0}^{x}N_{\nu }( t)\cdot t^{\mu }dt\right)

unde este funcția Bessel ; este funcția Neumann . $J_{\nu }(x)$ $N_{\nu }(x)$

Extinderea funcției Lommel într-o serie:

{\mathsf {G}}_{\nu ,\mu }(x)={\frac {x^{\mu }}{4}}\sum _{k=0}^{\infty } {\frac {(-1)^{k}\cdot \left({\frac {x}{2}}\right)^{2k}}{\left({\frac {\mu +\nu }{ 2}}\right)_{k+1}\cdot \left({\frac {\mu -\nu }{2}}\right)_{k+1}}}

unde este simbolul Pochhammer . ${\ displaystyle \ stânga (a\ dreapta) _ {k)}$

Note

↑ Lommel, E. Ueber eine mit den Bessel'schen Functionen verwandte Function (germană) // Mathematische Annalen . - 1875. - Bd. 9 , nr. 3 . — S. 425–444 . (link indisponibil)
↑ Lommel, E. Zur Theorie der Bessel'schen Funktionen IV (germană) // Mathematische Annalen. - 1880. - Bd. 16 , nr. 2 . — S. 183–208 . (link indisponibil)

Literatură

„Funcția Lommel” - articol din Encyclopedia of Mathematics

Link -uri

Weisstein, Eric W. Lommel Function (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .