Paritatea funcției

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 3 octombrie 2022; verificările necesită 2 modificări .

Impare și par se numesc funcții care au simetrie față de schimbarea semnului argumentului. Această noțiune este importantă în multe domenii ale analizei matematice , cum ar fi teoria seriei de puteri și seria Fourier . Numele este asociat cu proprietățile funcțiilor de putere: funcția este pară când este pară și impară când este impară. $f(x)=x^{n}$ $n$ $n$

O funcție impară este o funcție care își inversează valoarea atunci când semnul variabilei independente se schimbă (graficul său este simetric față de centrul coordonatelor).
O funcție pară este o funcție care nu își schimbă valoarea atunci când semnul variabilei independente se schimbă (graficul său este simetric față de axa y).
Nici o funcție pară, nici impară (sau o funcție generală ). Această categorie include funcții care nu se încadrează în cele 2 categorii anterioare.

Definiție strictă

Sunt introduse definiții pentru orice domeniu de definiție simetric față de zero , de exemplu, un segment sau un interval . $X \subset \mathbb{R}$

O funcție este numită chiar dacă egalitatea $f:X \to \mathbb{R}$

f(-x)=f(x),\quad \forall x\in X.

O funcție se numește impară dacă egalitatea

f(-x)=-f(x),\quad \forall x\in X.

Funcțiile care nu aparțin niciunei dintre categoriile de mai sus nu se numesc nici par, nici impar (sau funcții generice).

Funcțiile care iau o valoare zero în tot domeniul lor de definiție, iar acest domeniu de definiție este simetric față de zero, sunt atât pare, cât și impar; de exemplu, funcțiile f ( x ) = 0 și f ( x ) = 0/ x . Orice funcție care este atât pară cât și impară este identic egală cu zero pe întregul său domeniu de definiție.

Proprietăți

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine . $O$
Graficul unei funcții pare este simetric față de axa y . $Oi$
O funcție arbitrară poate fi reprezentată în mod unic ca o sumă de funcții pare și impare: $f:[-X,X] \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

f(x) = g(x) + h(x),

Unde

g(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2},\; h(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}.

Funcţiile g ( x ) şi h ( x ) se numesc respectiv partea impară şi partea pare a funcţiei f ( x ) .

Suma , diferența și, în general, orice combinație liniară de funcții pare este pare, iar funcțiile impare sunt impare. Prin urmare, funcțiile pare formează un spațiu vectorial liniar peste câmpul numerelor reale, același lucru este valabil și pentru funcțiile impare.
Produsul a două funcții cu aceeași paritate este par.
Produsul a două funcții de paritate diferită este impar.
Compoziția a două funcții impare este impară.
Compoziția unei funcții pare cu una impară este pară.
Compoziția oricărei funcții cu un număr par este pară (dar nu invers).
Derivata unei funcții pare este impară, iar o funcție impară este pară.
Pentru integralele definite ale funcțiilor pare, egalitatea

\int \limits _{-A}^{A}f(x)\;dx=2\int \limits _{0}^{A}f(x)\;dx=2\int \limits _{-A}^{0}f(x)\;dx.

În consecință, pentru integralele definite ale funcțiilor impare, egalitatea

\int \limits _{-A}^{A}f(x)\;dx=0.

Aceasta implică relațiile pentru integralele improprii ale funcțiilor pare:

\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\;dx=2\int \limits _{0}^{\infty }f(x)\;dx=2\ int \limits _{-\infty }^{0}f(x)\;dx

și din funcții impare:

\mathrm {vp} \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\;dx=0

(vp denotă valoarea principală a integralei improprie Cauchy).

Extinderea în serie Maclaurin a unei funcții pare conține numai termeni cu puteri pare, iar o funcție impară numai cu puteri impare.
Expansiunea într- o serie Fourier a unei funcții periodice pare conține numai termeni cu cosinus, iar o funcție impară periodică conține numai termeni cu sinusuri.
Chiar și funcțiile formează o algebră comutativă asupra câmpului numerelor reale. Totuși, acest lucru nu este valabil pentru funcțiile impare, deoarece mulțimea lor nu este închisă sub înmulțire (produsul a două funcții impare este o funcție pară).

Exemple

Mai jos peste tot $x\in \mathbb {R} .$

Funcții impare

Exponentiație cu un exponent întreg impar: unde este un număr întreg arbitrar . $f(x)=x^{2k+1},$ $k\în \mathbb{Z}$
Semnul : $f(x)={\begin{cases}\ \ 1,&x>0\\\ \ 0,&x=0\\-1,&x<0\end{cases))$
Rădăcina cubă și, în general, rădăcina oricărui grad impar pozitiv $y={\sqrt[{3}]{x}}$ $y={\sqrt[{2k+1}]{x)),\quad k\in \mathbb {N} .$
Funcții trigonometrice : tangentă sinusoială cotangentă cosecantă $f(x)=\sin x,$ $f(x)=\operatorname {tg} x,$ $f(x)=\operatorname {ctg} x,$ $f(x)=\operatorname {cosec} x.$
Funcții trigonometrice inverse : arcsinus arctangent arccosecant $f(x)=\arcsin x,$ $f(x)=\operatorname {arctg} x,$ $f(x)=\operatorname {arccosec} x.$
Funcții hiperbolice: sinus hiperbolic, tangentă hiperbolic, cotangent hiperbolic și cosecant hiperbolic.
Funcții hiperbolice inverse : areazină, areatangentă, areacotangentă, areacosecantă.
Funcții speciale și generice :
- Funcția Gudermann și funcția Gudermann inversă $f(x)=\operatorname {gd} x=\operatorname {arctg} (\operatorname {sh} x)$ $f(x)=\operatorname {arcgd} x=\operatorname {arch} (\sec x).$
- sinus integral $f(x)=\operatorname {Si} x.$
- Funcția de eroare și funcția de eroare inversă $f(x)=\operatorname {erf} x$ $f(x)=\operatorname {erf} ^{-1}x.$
- Funcția lui Dawson .
- Funcția Chi a lui Legendre .
- Mathieu functions se i ( x ) .
- Funcția Rademacher .

Chiar și funcții

Exponentiație cu un exponent întreg par: unde este un întreg arbitrar . $f(x)=x^{2k},$ $k\în \mathbb{Z}$
Valoarea absolută (modul) : $f(x)=|x|.$
Funcție constantă : $f(x)=a.$
Funcții trigonometrice: cosinus secante $f(x)=\cos x,$ $f(x)=\sec x$
Funcții hiperbolice: cosinus hiperbolic, secante hiperbolice.
Funcții speciale și generice:
- Funcția Dirac delta $f(x)=\delta(x).$
- Funcția gaussiană pentru b =0. $f(x)=a\exp \left(-{\frac {(xb)^{2}}{2c^{2}}}\right)$
- Funcția Dirichlet .
- Sinus cardinal sinc x (atât normalizat, cât și nenormalizat).
- Mathieu functions ce i ( x ) .

Literatură

I. M. Gelfand , E. G. Glagoleva , E. E. Shnol . Funcții și grafice. Trucuri de bază . - M . : Nauka, 1968. - (Biblioteca Școlii de Fizică și Matematică, numărul 2). (Traducere în engleză: Functions and Graphs. The MIT Press, 1969, Birkhäuser: Boston, 1990 și 1998)