Extrapolator de ordinul întâi

Un extrapolator de ordinul întâi este un model matematic pentru reconstrucția unui semnal eșantionat , care poate fi produs de un convertor convențional digital-analogic (care în acest caz acționează ca un extrapolator de ordinul zero ) și un circuit analogic ( integrator ). În acest caz, semnalul este restabilit ca o aproximare liniară pe bucăți a semnalului digitizat inițial. În comparație cu un extrapolator de ordinul zero, un extrapolator de ordinul întâi are în general mai puțin zgomot de cuantizare și, prin urmare, reconstituie mai precis semnalul.

Model matematic

Fie x s ( t ) semnalul înainte de digitizare și x ( nT ) semnalul după digitizare. Atunci extrapolatorul de ordinul zero este un filtru care transformă un semnal perfect digitizat | $x_{s}(t)$ $=x(t)\ T\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}\delta (t-nT)\$ $=T\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}x(nT)\delta (t-nT)\$

într-un semnal liniar pe bucăți

x_{\mathrm {FOH} }(t)\,=\sum _{n=-\infty }^{\infty}x(nT)\mathrm {tri} \left({\frac {t- nT}{T}}\dreapta)\

și având o funcție de transfer de impuls

h_{\mathrm {FOH} }(t)\,={\frac {1}{T}}\mathrm {tri} \left({\frac {t}{T}}\right)={ \begin{cazuri}{\frac {1}{T}}\left(1-{\frac {|t|}{T}}\right)&{\mbox{dacă }}|t|<T\\ 0&{\mbox{altfel}}\end{cases}}\

unde este o funcție triunghiulară .

\mathrm {tri} (x)\

Răspunsul în frecvență amplitudine-fază al extrapolatorului de ordinul întâi este transformata Fourier a funcției sale de transfer de impuls:

$H_{\mathrm {FOH} }(f)$ $={\mathcal {F}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\$ $=\left({\frac {e^{i\pi fT}-e^{-i\pi fT}}{i2\pi fT}}\right)^{2}\$ $=\mathrm {sinc} ^{2}(fT)\$

unde este funcția sinc .

{\mathrm {sinc}}(x)\

Funcția de transfer a extrapolatorului de ordinul întâi se obține prin modificarea formală s = i 2 π f :

$H_{\mathrm {FOH} }(s)$ $={\mathcal {L}}\{h_{\mathrm {FOH} }(t)\}\$ $=\left({\frac {e^{sT/2}-e^{-sT/2}}{sT}}\right)^{2}\$

Extrapolator de ordinul întâi

Model matematic

Vezi și