Efectul Lutz-Kelker

Efectul Lutz-Kelker , bias Lutz-Kelker ( ing. Lutz-Kelker bias ) este o prejudecată sistematică ( eroare sistematică ) care decurge din ipoteza că numărul de stele observate crește direct proporțional cu pătratul distanței. În special, această schimbare duce la faptul că valorile măsurate ale paralaxei stelelor sunt mai mari decât valorile adevărate. Odată cu paralaxa măsurată și incertitudinea ei, atât stelele mai apropiate, cât și cele mai îndepărtate, în limitele incertitudinilor, se încadrează în același interval de valori ale paralaxei. Dar mai multe obiecte sunt situate în straturi sferice la distanțe mari, ceea ce duce la o schimbare a rezultatelor măsurătorilor, în urma căreia, de exemplu, valorile calculate ale luminozităților și ale distanțelor vor fi subestimate. Efectul a fost descris pentru prima dată într-un articol de Thomas E. Lutz și Douglas H. Kelker . [1] Existența acestei părtiniri și necesitatea corectării estimărilor valorilor măsurate au devenit deosebit de relevante după măsurătorile de înaltă precizie ale paralaxelor efectuate de satelitul Hipparcos .

Pentru o anumită valoare a paralaxei și o incertitudine cunoscută, atât stelele mai apropiate, cât și cele mai îndepărtate, din cauza incertitudinii de măsurare, se pot dovedi a avea aceeași valoare a paralaxei măsurate. Dacă presupunem o distribuție uniformă a stelelor, atunci numărul de stele pe unitatea de paralaxă va fi proporțional (aici arată adevărata valoare a paralaxei) și, prin urmare, la distanțe mai mari, mai multe stele vor cădea într-o singură înveliș sferic . Ca urmare, pentru mai multe stele, adevărata valoare a paralaxei va fi mai mică decât cea observată. [2] [3] Prin urmare, paralaxa măsurată se va deplasa sistematic către o valoare mai mare decât cea adevărată. În acest caz, valoarea obținută a luminozităților și distanțelor va fi subestimată, ceea ce în viitor poate afecta alte metode de estimare a distanțelor față de luminozități. $1/p^{4}$ $p$

Metoda de corecție propusă de Lutz și Kelker este aplicabilă numai dacă cele trei ipoteze sunt adevărate. Abaterea standard trebuie să fie mult mai mică decât media, altfel pot apărea distanțe negative. Obiectele observate trebuie să fie distribuite uniform în spațiu, astfel încât numărul de obiecte aflate la distanța d să fie proporțional cu d 2 . De asemenea, obiectele observate trebuie sa fie suficient de luminoase pentru a fi vizibile in cadrul distantelor considerate. [patru]

Descriere matematică

Descriere originală

Funcția de distribuție

Din punct de vedere matematic, biasul Lutz-Kelker apare din dependența densității cantității de paralaxa observată, care poate fi exprimată folosind probabilitatea condiționată a măsurării paralaxei. Să presupunem că paralaxa observată are o distribuție normală în raport cu paralaxa adevărată din cauza erorilor de măsurare. Apoi putem scrie funcția de distribuție a probabilității condiționate a paralaxei măsurate dacă valoarea adevărată a paralaxei este : $p_{o}$ $p$

$g(p_{o}|p)={\dfrac {1}{\sqrt {2\pi \sigma }}}\exp {{\Big (}{\dfrac {-(p_{o}- p)^{2}}{2\sigma ^{2}}}{\Big )))$

Întrucât problemele determină valoarea adevărată a paralaxei din observații, este necesar să se obțină probabilitatea condiționată a paralaxei adevărate pentru paralaxa observată . La considerarea inițială a fenomenului de către Lutz și Kelker, această probabilitate, conform teoremei lui Bayes , a fost prezentată sub forma $p$ $p_{o}$

$g(p|p_{o})={\dfrac {g(p_{o}|p)\g(p)}{g(p_{o})))),$

unde și sunt probabilitățile a priori ale paralaxei adevărate și, respectiv, observate. $g(p)dp$ $g(p_{o})dp_{o}$

Dependenta de distanta

Densitatea probabilității de a găsi o stele cu o magnitudine aparentă la distanță poate fi scrisă ca $m$ $s$

$h(s|m)={\dfrac {h(m|s)\h(s)}{h(m)))$ $h(m|s)$ va depinde de funcția de luminozitate a stelei asociată cu mărimea absolută a obiectului. este o funcție de densitate de probabilitate a mărimii aparente, independentă de distanță. Probabilitatea ca o stea să se afle la distanță este proporțională cu , deci $h(m)$ $s$ $s^{2}$

$h(s)\propto n(s)\s^{2)$

Dacă presupunem o distribuție uniformă a stelelor în spațiu, atunci densitatea cantitativă va fi constantă, deci putem rescrie expresia ca $n(s)$

$g(p)\dp=h(s|m)\ {\Bigg |}{\dfrac {\partial s}{\partial p)}{\Bigg |}_{m}\dp\propto s ^{2}{\Bigg |}{\dfrac {\partial s}{\partial p)){\Bigg |}_{m}dp$ , unde . $s=1/p$

Deoarece luăm în considerare distribuția de probabilitate a valorii paralaxei adevărate bazată pe o paralaxă fixă observată, putem concluziona că distribuția este proporțională [3]

$g(p|p_{o})\propto g(p|p_{o})\p^{-4)$ și, prin urmare

${\displaystyle g(p|p_{o})\propto {\dfrac {1}{p^{4}}}\exp {\Big (}{-{\dfrac {(p-p_{o})^ {2}}{2\ \sigma ^{2}}}}{\Big )))$

Normalizare

Probabilitatea condiționată pentru valoarea paralaxei adevărate bazată pe paralaxa observată diverge aproape de zero pentru paralaxa adevărată. Prin urmare, această probabilitate nu poate fi normalizată. În urma descrierii inițiale a offset-ului, [2] putem introduce o normalizare, ținând cont de paralaxa observată, ca

${\displaystyle g(p|p_{o})\propto {\Big (}{\dfrac {p_{o}}{p}}{\Big )}^{4}\ \exp {\Big (}{} -{\dfrac {(p-p_{o})^{2}}{2\ \sigma ^{2}}}}{\Big )))$

Includerea nu modifică proporționalitatea deoarece este o constantă fixă. nu afectează proporționalitatea deoarece este o constantă fixă. Cu o astfel de normalizare, obținem o probabilitate de 1 dacă paralaxa adevărată este egală cu paralaxa observată, indiferent de erorile de măsurare. Prin urmare, se poate introduce o paralaxă adimensională și se poate obține o distribuție de paralaxă adevărată fără dimensiuni $p_{o}$ $Z:=p/p_{o}$

${\displaystyle G(Z)\propto Z^{-4}\\exp {\Big (}{-{\dfrac {(Z-1)^{2)}{2\ (\sigma /p_{o} )^{2)))){\Big )))$

Aici înseamnă punctul în care paralaxa măsurată coincide cu cea adevărată, adică distribuția probabilității trebuie să aibă un centru în acest punct. Totuși, o astfel de distribuție, datorită prezenței unui multiplicator, se va abate de la punct spre valori mai mici. Aceasta este o manifestare a părtinirii sistematice Lutz-Kelker. Valoarea offset este determinată de valoarea lui , incertitudinea de măsurare a paralaxei. $Z=1$ $Z^{-4)$ $Z=1$ $\sigma /p_{o}$

Studiul efectului

Explicația inițială

Inițial, s-a crezut că părtinirea Lutz-Kelker ar putea fi explicată doar prin prezența incertitudinii de măsurare a paralaxei. [2] Ca urmare a dependenței paralaxei de distribuția stelelor, incertitudinile mai mici ale paralaxei observate vor avea ca rezultat o mică părtinire față de valoarea reală. Cu cât este mai mare incertitudinea, cu atât mai puternică va fi abaterea sistematică a paralaxei observate față de cea adevărată. Erorile mari în măsurarea paralaxei vor apărea în calculul luminozităților, ceea ce va face posibilă urmărirea prezenței unor incertitudini mari. În descrierea inițială a efectului, schimbarea a fost considerată semnificativă atunci când incertitudinea în paralaxa observată a devenit aproape de 15% din valoarea măsurată, . [2] S-a argumentat că, dacă incertitudinea de paralaxă este de cel puțin 15–20%, atunci compensarea este atât de semnificativă încât pierdem cea mai mare parte a informațiilor despre paralaxă și distanță. O serie de lucrări ulterioare au respins această concluzie, deoarece și alți factori ar putea duce la schimbare. Se crede că pentru majoritatea sistemelor stelare, deplasarea nu este atât de puternică pe cât se credea inițial. $\sigma$ $p_{o}$

Cercetări ulterioare

În multe lucrări au fost studiate fenomenul deplasării în sine, prezența acestuia și metodele de introducere a corecțiilor. [5] [6] [7] [8] Unele lucrări au susținut că ipoteza unei distribuții uniforme a stelelor poate să nu fie aplicabilă în funcție de alegerea subsistemului stelar. Mai mult, distribuția diferită a stelelor în spațiu, împreună cu prezența erorilor de măsurare, vor duce la diferite tipuri de deplasări. [6] Astfel, părtinirea depinde de eșantionul de stele și de distribuția erorilor de măsurare, deși conceptul de părtinire Lutz-Kelker este aplicat în general pentru a descrie fenomenul pentru un eșantion arbitrar de stele. De asemenea, nu se știe cum alte surse de eroare și părtinire (cum ar fi deplasarea Malmquist ) sunt în concordanță cu părtinirea Lutz-Kelker: dacă întăresc părtinirea generală sau, dimpotrivă, influențează estimarea în direcții opuse. [9]

Recent, studiile privind prezența efectului Lutz-Kelker au devenit deosebit de importante în lumina măsurătorilor de înaltă precizie efectuate în cadrul misiunii Gaia, ținând cont de posibila diferență în funcțiile de distribuție a erorilor de măsurare. [10] Este încă important să fim atenți cu privire la efectul prejudecăților de eșantionare, deoarece distribuția stelelor este de așteptat să fie neuniformă la scară de mare distanță. În consecință, se pune întrebarea dacă metodele de corecție, inclusiv corecția Lutz-Kelker propusă în lucrarea originală, sunt aplicabile acestui eșantion de stele, deoarece se așteaptă ca efectele să depindă de distribuția stelelor. Mai mult, dacă se urmărește descrierea inițială și dependența părtinirii de erorile de măsurare, efectul părtinirii este de așteptat să fie mai mic datorită acurateței mai mari a instrumentelor moderne, cum ar fi Gaia .

Note

↑ Thomas E.; Lutz; Kelker, Douglas H. Despre utilizarea paralaxelor trigonometrice pentru calibrarea sistemelor de luminozitate: Teorie // Publicații ale Societății Astronomice din Pacific : jurnal. - 1973. - Vol. 85 . — P. 573 . - doi : 10.1086/129506 . - Cod biblic .
↑ 1 2 3 4 Thomas E.; Lutz; Kelker, Douglas H. Despre utilizarea paralaxelor trigonometrice pentru calibrarea sistemelor de luminozitate: Teorie // Publicații ale Societății Astronomice din Pacific : jurnal. - 1973. - Vol. 85 , nr. 507 . — P. 573 . - doi : 10.1086/129506 . - Cod biblic .
↑ 1 2 Binney și Merrifield. Astronomie Galactică. - Princeton, New Jersey, 08540: Princeton University Press , 1998. - pp. 115-119. - ISBN 978-0-691-00402-0 .
↑ Paterson, David A. „Subiecte în astronomie: Subiectul 8. Inadecvarea ecuației Lutz-Kelker pentru piticele brune” (downlink) . Preluat pe 22 septembrie 2015.
↑ Lutz, Thomas E.; Kelker, Douglas H. Despre utilizarea paralaxelor trigonometrice pentru calibrarea sistemelor de luminozitate: Teorie // Publicații ale Societății Astronomice din Pacific : jurnal. - 1973. - Vol. 85 , nr. 507 . — P. 573 . — ISSN 0004-6280 . - doi : 10.1086/129506 . - Cod biblic .
↑ 1 2 Smith, H. Există într-adevăr o părtinire Lutz--Kelker? Reconsiderarea calibrării cu paralaxe trigonometrice (engleză) // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society : journal. — Oxford University Press , 2003. — 1 februarie ( vol. 338 , nr. 4 ). - P. 891-902 . — ISSN 0035-8711 . - doi : 10.1046/j.1365-8711.2003.06167.x . - Cod .
↑ Francis, Charles. Paradoxul Lutz-Kelker (engleză) // Notificări lunare ale Societății Regale Astronomice: Scrisori : jurnal. - 2014. - 11 octombrie ( vol. 444 , nr. 1 ). - P.L6-L10 . — ISSN 1745-3933 . doi : 10.1093 / mnrasl/slu103 . - . - arXiv : 1406,6580 .
↑ Hayes, D.S.; Pasinetti, L.E.; Philip, A. G. Davis. Calibrarea cantităților stelare fundamentale: lucrările celui de-al 111-lea simpozion al Uniunii Astronomice Internaționale desfășurat la Villa Olmo, Como, Italia, 24–29 mai 1984 . - Springer Science & Business Media , 2012. - ISBN 978-94-009-5456-4 .
^ Haywood, Smith, Jr. Problema de calibrare I. Estimarea mărimii absolute medii folosind paralaxe trigonometrice // A&A. - 1987. - T. 171 . - S. 336-341 . - .
↑ Luri, X.; Brown, AGA; Sarro, L.M.; Arenou, F.; Bailer-Jones, CAL; Castro-Ginard, A.; de Bruijne, J.; Prusti, T.; Babusiaux, C. Gaia Data Release 2: using Gaia parallaxes // Astronomy and Astrophysics : journal . - 2018. - 25 aprilie ( vol. 616 ). —P.A9 _ _ — ISSN 0004-6361 . - doi : 10.1051/0004-6361/201832964 . - arXiv : 1804.09376 .