Miezul lui Jackson

În teoria aproximării , nucleul Jackson este o funcție -periodă dată de formula: $2\pi$

$d_{n}(t)=\gamma _{n}\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}} }}\dreapta)^{4}$

Numit după un om de știință care a lucrat la teoria aproximărilor și a polinoamelor trigonometrice - Dunham Jackson .

Această funcție este un nucleu , convoluție cu care dă o sumă parțială a seriei Fourier .

Jackson kernel constant

Constanta este determinată din relație și este egală cu $\gamma_n$ $\int \limits _{\mathbb {T} }{d_{n}(t)dt}=1,\mathbb {T} =[-\pi ;\pi ]$ $\gamma _{n}={\frac {3}{2\pi n(2n^{2}+1))}$

Dovada

Folosim egalitatea lui Parseval pentru cazul spațiului L 2 :

Dacă , atunci următoarea identitate este adevărată: $f\in \mathbb {L} _{2)$ $\int \limits _{Q}{f^{2}}=\pi \left({\frac {a_{0}^{2}}{2}}+\sum \limits _{n= 0}^{\infty }{\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)}\right)$

Este necesar să se substituie în această egalitate $f=\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}$

Mai întâi, trebuie să scrieți o expresie pentru utilizarea nucleului Fejér și a nucleului Dirichlet : $\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}$

$\Phi _{n-1}(t)={\frac {1}{2\pi n}}\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\ sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{D_{ k}(t)}=$
$={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{{\frac {1}{\pi }}\left({\frac {1 }{2}}+\sum \limits _{j=1}^{k}{\cos {jt}}\right)}$

Rezultă că

${\displaystyle \left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}=2\pi n {\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=0}^{n-1}{{\frac {1}{\pi }}\left({\frac {1}{2} }+\sum \limits _{j=1}^{k}{\cos {jt}}\right)}=n+2\sum \limits _{k=0}^{n-1}{\sum \limits _{j=1}^{k}{\cos {jt))))$

Schimbând cele două sume și aplicând transformarea corespunzătoare pentru indici, obținem:

$\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right)^{2}=n+2\ suma \limits _{j=1}^{n-1}\sum \limits _{k=1}^{nj}{\cos {jt}}=n+\sum \limits _{j=1}^{ n-1}{(nj)\cos{jt}}$

În plus, este evident că coeficienții polinomului trigonometric rezultat vor fi coeficienții Fourier ai sumei sale, adică $a_{0}=2n,a_{k}=kj(0<k<n),a_{k}=0(k>n-1),b_{k}=0$

Rămâne doar să înlocuim acești coeficienți în expresia corespunzătoare pentru integrală:

$\int \limits _{Q}{\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2}}}{\sin {\frac {t}{2}}}}\right) ^{4}}=\pi \left(2n^{2}+4\sum \limits _{j=1}^{n-1}{\left(nj\right)^{2}}\right) =\pi \left(2n^{2}+4\sum _{j=1}^{n-1}{j^{2}}\right)=\pi \left(2n^{2}+4 \left({\frac {n(n-1)(2n-1)}{6}}\dreapta)\right)=$
$=\pi \left({\frac {12n^{2}+8n^{3}-12n^{2}+4n}{6}}\right)={\frac {2\pi n( 2n^{2}+1)}{3}}$
Deci, substituind în identitatea de bază nucleul Jackson, putem obține o expresie pentru constantă: Astfel, aserția despre constantă este dovedită.
$\gamma _{n}={\frac {1}{\int \limits _{Q}{\left({\frac {\sin {\frac {nt}{2)}}{\sin { \frac {t}{2}}}}\right)^{4}}}}={\frac {3}{2\pi n(2n^{2}+1)))$

Vezi și

Literatură

AV Efimov. Jackson Singular Integral (link indisponibil) (2001). Consultat la 11 octombrie 2010. Arhivat din original pe 2 octombrie 2010. (nedefinit)
A. Shadrin. Teoria aproximării – Cursul 9 (Universitatea din Cambridge - Departamentul de Matematică Aplicată și Fizică Teoretică) (link inaccesibil) (2005). Consultat la 11 octombrie 2010. Arhivat din original pe 5 iunie 2011. (nedefinit)
Zhuk V.V., Natanson G.I. Serii Fourier trigonometrice și elemente de teoria aproximărilor. - L . : Editura Leningrad. un-ta, 1983. - S. 188.
Bari N.K. Seria trigonometrică . - Moscova: Editura de Stat de Literatură Fizică și Matematică, 1961. - P. 936 .
D.Jackson. Teoria aproximării. — Amer. Matematică. Soc., 1930.