Seria Fourier trigonometrică

Seria Fourier trigonometrică - reprezentarea unei funcții arbitrare cu o perioadă sub formă de serie $f$ $2\pi$

f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)

(unu)

sau folosind notația complexă, ca o serie:

f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}

Produsul punctual și ortogonalitatea

Fie , două funcții ale spațiului . Să definim produsul lor scalar $\phi _{n}$ $\phi_m$ $L^2\left[-\frac{\tau}{2},\frac{\tau}{2}\right]$

\langle \phi_m(x), \phi_n(x)\rangle:=\int\limits_{-\frac{\tau}{2}}^{\frac{\tau}{2}}\phi_m(x) \phi_n(x)dx

Condiție de ortogonalitate

\int \limits _{-{\frac {\tau }{2}}}^{\frac {\tau }{2}}\phi _{m}(x)\phi _{n}( x)dx=\|\phi _{m}(x)\|^{2}\delta _{nm}

unde este simbolul Kronecker . Astfel, produsul scalar al funcțiilor ortogonale este egal cu pătratul normei funcției la sau zero în caz contrar. $\delta_{nm}$ $n=m$

Următoarea observație este esențială în teoria seriei Fourier: funcțiile de forma , sunt ortogonale pe perechi în raport cu acest produs scalar, adică pentru toate numerele întregi nenegative : $\sin(kx)$ $\cos(kx)$ $k\neql$

\int\limits_{-\pi}^{\pi}\sin(kx)\sin(lx)dx = \int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\cos(lx) dx = 0

și pentru toate numerele întregi nenegative , $k$ $l$

\int\limits_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\sin(lx)dx = 0

O altă proprietate importantă este că sistemul trigonometric de funcții este o bază în spațiu $L^2[0,2\pi]$ . Cu alte cuvinte, dacă o funcție din acest spațiu este ortogonală cu toate funcțiile de forma , atunci este identic egală cu zero (pentru a fi mai precis, este egală cu zero aproape peste tot ). $\cos(kx), \sin(kx), k\in\mathbb{Z}$

Definiție clasică

Seria Fourier trigonometrică a unei funcții este o serie funcțională a formei $f\în L_2([-\pi,\pi])$

f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)

(unu)

Unde

a_0= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,

a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx,

b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx.

Numerele și ( ) se numesc coeficienți Fourier ai funcției . Formulele pentru acestea pot fi explicate după cum urmează. Să presupunem că vrem să reprezentăm o funcție ca o serie (1) și trebuie să determinăm coeficienții necunoscuți și . Dacă înmulțim partea dreaptă a lui (1) cu și integrăm pe intervalul , din cauza ortogonalității din partea dreaptă, toți termenii vor dispărea, cu excepția unuia. Din egalitatea rezultată, coeficientul este ușor de exprimat . La fel pentru $a_{0}$ $un$ $b_n$ $n = 1, 2, \ldots$ $f$ $f\în L_2([-\pi,\pi])$ $a_{0}$ $un$ $b_n$ $\cos(kx)$ $[-\pi,\pi]$ $a_{k}$ $b_{k}$

Seria (1) converge către o funcție în spațiu . Cu alte cuvinte, dacă notăm prin sumele parțiale ale seriei (1): $f$ $L_2([-\pi,\pi])$ $S_k(x)$

S_k(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{k}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)

atunci abaterea lor standard de la funcție va tinde spre zero: $f$

\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(f(x)-S_k(x))^2dx=0

În ciuda convergenței pătrate-rădăcină, seria Fourier a unei funcții, în general, nu este necesară să convergă punctual către ea (vezi mai jos).

Notație complexă

Adesea, atunci când lucrați cu seria Fourier, este mai convenabil să folosiți exponenții argumentului imaginar în loc de sinusuri și cosinusuri ca bază. Considerăm spațiul $L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$ funcțiilor cu valori complexe cu produs interior

\langle f,g\rangle := \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx

Luăm în considerare și sistemul de funcții

\varphi_k(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx), k\in\mathbb{Z}

Ca și înainte, aceste funcții sunt ortogonale pe perechi și formează un sistem complet și, astfel, orice funcție poate fi extinsă peste ele într-o serie Fourier: $f\în L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$

f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}

unde seria din partea dreaptă converge către în norma în . Aici $f$ $f\în L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$

\hat{f}_k= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx

Coeficienții : sunt legați de coeficienții Fourier clasici prin următoarele formule: $\hat{f}_k$

\hat{f}_k = (a_k-ib_k)/2, k>0;

\hat{f}_0 = a_0/2;

\hat{f}_k = (a_{|k|}+ib_{|k|})/2, k<0;

a_k = \hat{f}_k+\hat{f}_{-k}, k>0;

b_k = i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k}), k>0.

Funcția complexă a unei variabile reale este extinsă în aceeași serie Fourier în exponenți imaginari ca și cea reală, dar, spre deosebire de aceasta din urmă, pentru extinderea ei , și nu va fi, în general, conjugată complexă. $\hat{f}_k$ $\hat{f}_{-k}$

Proprietățile seriei trigonometrice Fourier

Toate afirmațiile din această secțiune sunt adevărate în ipoteza că funcțiile care participă la ele (și rezultatele operațiunilor cu acestea) se află în spațiul $L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$ .

Calculul coeficienților Fourier este o operație liniară:

\widehat{(\alpha f+\beta g)}_k=\alpha \hat{f}_k+\beta\hat{g}_k

Egalitatea lui Parseval este adevărată :

2\pi \sum_{k=1}^\infty \hat{|f|}_k^2 = ||f||^2

Coeficienții Fourier ai derivatei sunt ușor exprimați în termenii coeficienților Fourier ai funcției în sine:

\widehat{(f')}_k=ik\hat{f}_k

coeficienții Fourier ai produsului a două funcții sunt exprimați prin convoluția coeficienților Fourier ai factorilor:

\widehat{(fg)}_k=\sum\limits_{j=-\infty}^{\infty}\hat{f}_j\hat{g}_{kj}

luați în considerare operația de convoluție a funcției :

(f\ast g)(t):=\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(tx)g(x) dx,

unde se presupune că funcțiile sunt extinse periodic de la interval la întreaga linie. Apoi $[-\pi,\pi]$

\widehat{(f\ast g)}_k =2\pi\hat{f}_k\hat{g}_k

Expansiuni Fourier ale unor funcții

Funcţie	Seria Fourier
	${\frac {4a}{\pi }}\left({\frac {\sin t}{1}}+{\frac {\sin 3t}{3}}+{\frac {\sin 5t {5}}+\puncte\dreapta)$
	${\frac {4a}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\sin {\frac {2\pi (2n -1)t}{T}}$

Vezi și

Note

Literatură

Zhuk V.V., Natanson G.I. Serii Fourier trigonometrice și elemente de teoria aproximărilor. - L . : Editura Leningrad. un-ta, 1983. - S. 188.
Rudin U. Fundamentele analizei matematice. — 1976.
Piskunov N. S. Calcul diferențial și integral pentru VTUZ. - M . : „Nauka”, 1964. - T. 2.

Secvențe și rânduri
Secvențe	Succesiunea numerică Secvență fundamentală Secvență liniară recurentă numerele Fibonacci numere ondulate Factorială secvența Barker de bruijn secvenţă
Rânduri, de bază	Suma rândurilor Restul rândului Convergență condiționată Serii alternante Rând multisecțiune
Seria de numere ( operații cu seria de numere )	serie armonică seria Leibniz O serie de pătrate inverse O serie de numere prime reciproce rândul Dirichlet Seria Mercator Row Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
rânduri funcționale	Seria Taylor Seria Laurent Seria Fourier Seria Fourier trigonometrică serie trigonometrică Seria Wiener
Alte tipuri de rânduri	Seria Neumann rândul Puiseux

Calcul integral

Principal

Generalizări
ale integralei Riemann

Transformări integrale

Integrare numerică

teoria măsurării

subiecte asemănătoare

Liste de integrale