142 857 (număr)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 1 mai 2022; verificarea necesită 1 editare .

142 857
o sută patruzeci și două de mii opt sute cincizeci și șapte
← 142 855 142 856 142 857 142 858 142 859 →
Factorizarea	$3 3 11 13 37$
Notație romană	CXL MMDCCCLVII
Binar	100010111000001001
Octal	427011
hexazecimal	22E09
Fișiere media la Wikimedia Commons

142857 ( o sută patruzeci și două de mii opt sute cincizeci și șapte ) este un număr natural situat între numerele 142856 și 142858. Nu este un număr prim , dar relativ la șirul numerelor prime este situat între 142841 și 142867 [1 ] .

142.857 se mai numește și numărul samsarei [2] .

Proprietăți matematice

Fiind perioada de expansiune a unei fracții obișnuite într-o fracție zecimală, are câteva proprietăți interesante. ${\frac {1}{7))$

Număr ciclic

Dacă 142857 este înmulțit cu 2 , 3 , 4 , 5 sau 6 , rezultatele vor fi formate printr-o deplasare ciclică a numărului 142857 [3] .

1 x 142.857 = 142.857 2 x 142.857 = 285.714 3 x 142.857 = 428.571 4 x 142.857 = 571.428 5 x 142.857 = 714.285 6 x 142857 = 857142 7 x 142.857 = 999.999

(rețineți că numerele din dreapta sunt punctele, respectiv , etc.) ${\frac {1}{7))$ ${\frac {2}{7))$

Generalizări ale ciclicității

Dacă înmulțiți 142857 cu numere întregi mai mari , rezultatul va fi într-un anumit sens și o variație a numărului 142857 sau 999999 [3] :

000008 × 142857 = 1142856 0000( adăugarea primei cifre la ultima dă 142857 ) 000042 × 142857 = 5999994 0000( adăugarea primei cifre la ultima dă 999999 ) 142857 × 142857 = 20408122449 _ _

Mai formal, dacă împărțim produsul rezultat în grupuri de șase cifre, începând cu unele, apoi adăugăm aceste grupuri și repetam această operație până când numărul are mai mult de 6 cifre, vom ajunge în cele din urmă fie la 142.857, fie la 999.999.

Rezultatele împărțirii unui număr la 2 sau 5 (adică înmulțirea acestuia cu sau respectiv cu) pot fi obținute și printr-o deplasare: ${\frac {5}{10}}$ ${\frac {2}{10))$

142 857 / 2 = 71 428,5 142 857 / 5 = 28 571,4

După pătrarea ultimelor trei cifre și scăderea pătratului primelor trei cifre din ele, se va obține și rezultatul deplasării:

857^{2}=734449

142^{2}=20164

734449-20164=714285

Ca și perioada unei fracții comune

Numărul 142.857 este, de asemenea, o secvență care se repetă în fracția periodică . Astfel, înmulțirea acestei fracții cu numere de la 2 la 6 dă și rezultate ale căror părți fracționale se obțin unele de altele prin deplasări ciclice [3] [4] [5] : ${\frac {1}{7))$

1/7 = 0. 142857 142857 142857 14… 2/7 = 0,2857 142857 142857 1428 ... 3/7 = 0,42857 142857 142857 142 ... 4/7 = 0,57 142857 142857 142857 … 5/7 = 0,7 142857 142857 142857 1… 6/7 = 0,857 142857 142857 14285 …

Fracția 1/7 este prima reciprocă cu perioada maximă în notație zecimală (lungimea perioadei este cu o mai mică decât numitorul fracției) [3] [5] . Primele valori ale lui n pentru care lungimea perioadei fracției 1/ n în notație zecimală este n - 1 sunt 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113 , 131 [3] [6 ] .

Alte operațiuni

Dacă înregistrarea zecimală a numărului 142 857 este împărțită în două părți, adică 142 și 857 și se adună, atunci obțineți 999. Și dacă este împărțită în 3 părți, adică 14, 28 și 57, și apoi și adăugat, obțineți 99 [3] .

Alte proprietăți

142 857 este, de asemenea, numărul de Harshads [7] :

142857=5291\cdot (1+4+2+8+5+7)

și numărul Kaprekar [8] [3] [4] :

142857^{2}=20408122449,

142857=20408+122449.

Vezi și

Note

↑ Proprietățile numărului 142857 Arhivat 29 august 2016 la Wayback Machine en.numberempire.com
↑ Numărul Samsarei este 142 857. Vă spun de ce este interesant . Zen | platforma de blogging . Data accesului: 30 iunie 2022. (Rusă)
↑ 1 2 3 4 5 6 7 David Wells. 142857 // Dicționarul Pinguin al numerelor curioase și interesante . - Ed. I. - Penguin Books , 1987. - 229 p. — ISBN 0-14-008029-5 .
↑ 1 2 Robert Munafo. 142857 . Proprietăți notabile ale numerelor specifice la MROB . Consultat la 24 octombrie 2015. Arhivat din original pe 11 octombrie 2015. (nedefinit)
↑ 1 2 Robert Munafo. 7 . Proprietăți notabile ale numerelor specifice la MROB . Consultat la 24 octombrie 2015. Arhivat din original pe 11 octombrie 2015. (nedefinit)
↑ Secvența OEIS A006883 = Prime cu perioadă lungă: expansiunea zecimală a lui 1/p are perioada p-1 .
↑ Secvența OEIS A005349 = numere Niven (sau Harshad): numere care sunt divizibile cu suma cifrelor lor .
↑ Secvența OEIS A006886 = numere Kaprekar : n astfel încât n=q+r și n^2=q*10^m+r, pentru unele m >= 1, q>=0 și 0<=r<10^m , cu n != 10^a, a>=1.

Literatură

Martin Gardner . Cele mai bune jocuri și puzzle-uri de matematică. - M. : AST, Astrel, 2009. - S. 111-121. — ISBN 978-5-17-058244-0 („Editura AST”), 978-5-271-23247-3 („Editura Astrel”).
Yakov Perelman . Inele magice // Aritmetică distractivă: ghicitori și curiozități în lumea numerelor. — Ediția a opta, prescurtată. - M .: Detgiz , 1954. - S. 90-96.
David Wells. 142857 // Dicționarul Pinguin al numerelor curioase și interesante . - Ed. I. - Penguin Books , 1987. - 229 p. — ISBN 0-14-008029-5 .
Joe Roberts. Ademenirea numerelor întregi . - MAA , 1992. - P. 26 . — ISBN 0-88385-502-X .