Numărul Kaprekar

Numărul Kaprekar pentru un sistem de numere dat este un număr întreg nenegativ al cărui pătrat în acest sistem poate fi împărțit în două părți, a căror sumă dă numărul inițial. De exemplu, 45 este un număr Kaprekar deoarece 45 2  = 2025 și 20 + 25 = 45. Numerele Kaprekar sunt numite după D. R. Kaprekar .

Definiție

Fie X un întreg nenegativ. X este un număr Kaprekar la baza b dacă există numere nenegative n , A și B pozitive care îndeplinesc condițiile:

X 2 = Ab n + B , unde 0 < B < b n X = A + B

Rețineți că X este, de asemenea, baza b n numărul Kaprekar pentru n dat . Într-un sens mai restrâns, putem defini mulțimea K ( N ) pentru un întreg N dat ca mulțime de numere întregi X pentru care [1]

X 2 = AN + B , unde 0 < B < N X = A + B

Fiecare număr Kaprekar X la baza b se încadrează apoi într-una dintre seturile K ( b ), K ( b 2 ), K ( b 3 ),….

Exemple

297 este un număr Kaprekar în baza 10 deoarece 297 2 = 88209, care poate fi împărțit în 88 și 209 și 88 + 209 = 297. Prin convenție, a doua parte poate începe de la 0, dar nu trebuie să fie zero. De exemplu, 999 este un număr Kaprekar în baza 10, deoarece 999 2 = 998001, care poate fi împărțit în 998 și 001, 998 + 001 = 999. Dar 100 nu este un număr Kaprekar, deși 100 2 = 10000 + și 100 00 = 100, a doua parte este zero.

Primele numere Kaprekar din baza 10 sunt:

1 9 45 55 99 297 703 999 2223 2728 4879 4950 5050 7272 7777 9999 17344 22222 77778 82656 95121 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170, 538461, 609687, 643357 , 648648, 670033, 681318, 791505, 812890, 818181, 851851, 857143, 961038, 994708, 999999, ... ( secvența AE0688 )

În special, 9, 99, 999... sunt numere Kaprekar. Mai general, pentru orice bază b , există infinit de numere Kaprekar, inclusiv toate numerele de forma b n - 1.

Alte motive

În baza 12 , numerele Kaprekar sunt

1, E, 56, 66, EE, 444, 778, EEE, 12XX, 1640, 2046, 2929, 3333, 4973, 5E60, 6060, 7249, 8889, 9293, 9293, 9293, 9293, 9293, 2929, 3333, 4973, 5E60, 6060, 7249 , 99999, EEEEE, 12E649, 16EX51, 1X1X1X, 222222, 22X54X, 26X952, 35186E, 39X39X, 404040, 4197X2, 4505870E, 450570E

În baza 16 , numerele Kaprekar sunt

1, 6, A, F, 33, 55, 5B, 78, 88, AB, CD, FF, 15F, 334, 38E, 492, 4ED, 7E0, 820, B13, B6E, C72, CCC, EA1, FA5, FFF 191A 2A2B 3C3C 4444 5556 6667 7F80 8080 9999 AAAA BBBC C3C4 D5D5 E6E6 FFFF 1745E 20EC2 2ACAB 2D02E 30684 3831F 55555 62FCA 689A3 7278C 76417 7A427 7FE00 80200 85BD9 89AE5 89BE9 8D874 9765D 9D036 AAAAB AF0B0 B851F BDEF8 C1F08 C795C1...

Proprietăți

Vezi și

Note

  1. ↑ 1 2 Iannucci, 2000 , p. 00.1.2.

Literatură